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第1章 一元二次方程 单元模拟演练卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．方程4x2＝81化成一元二次方程的一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．4，0，81 B．﹣4，0，81
C．4，0，﹣81 D．﹣4，0，﹣81
3．用配方法解方程 ，下列配方结果正确的是（ ）．
A． B． C． D．
4．某学校举行篮球对抗赛，有支球队参加，每两队之间比赛一场，共安排了28场比赛，则正确的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知方程，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（ ）
A．6 B．9 C．2 D．-2
6．将一个容积为600cm3的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列出关于x的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．对于一元二次方程 下列说法：①当 时，则方程 一定有一根为 ；②若 则方程 一定有两个不相等的实数根；③若c是方程 的一个根，则一定有 ；④若 ，则方程 有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④
8．设x1，x2是方程x2+3x-3=0的两个实数根，则x12+x22的值为（ ）
A．3 B．9 C． D．15
9．关于x的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程 同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；② ；③ ．其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．已知α，β是方程x2+2014x+1=0的两个根，则（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．2023年11月，我国某品牌新能源汽车的销量为64万辆，预计2024年1月销量达到81万辆，设该厂销售月平均增长率为x，则 ．
12．已知一元二次方程有两个实数根，，则的值等于 ．
13．已知方程（x-3）（x+m）=0与方程x2-2x-3=0的解完全相同，则m= ．
14．若将方程x2+mx+8＝0用配方法化为（x﹣3）2＝n，则m+n的值是
.
15．若 ，则 = .
16．若对任何实数a，关于x的方程x2-2ax-a+2b＝0都有实数根，求实数b的取值范围 ．
17．已知关于x的方程 ，其中p、q都是实数.若方程有三个不同的实数根 、 、 ，且 ，则q的值为 .
18．已知（x﹣2016）2+（x﹣2018）2=80，则（x﹣2017）2= ．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．
（1）用配方法解方程：x2﹣4x﹣1=0
（2）解方程：（2x+1）2=﹣3（2x+1）
20．解下列方程：
（1） ；
（2） .
21．已知关于x的一元二次方程
（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根。
（2）如果这个方程的两个实数根分别是 ，且 ，求m的值。
22．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根.
（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2＝4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值.
23．某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同.
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1600元，每件应降价多少元？
24．已知：如图所示．在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？说明理由．
25．如图，在长为50米，宽为30米的矩形地面上修建三条同样宽的道路，余下部分种植草坪，草坪总面积为1392平方米.
（1）求道路宽多少米；
（2）现需要A、B两种类型的地砖铺设道路，A种类型的地砖每平方米原价300元，现打八折出售，B种类型的地砖每平方米价格是200元，若铺路费用不高于23600元，（不考虑地砖损失的情况下）最多选A种类型地砖多少平方米？
26．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED的边长，已知 ，这时我们把关于x的形如 二次方程称为“勾系一元二次方程”.
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程” ，必有实数根；
（3）若x=-1是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形ACDE的周长是6 ，求△ABC的面积.
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第1章 一元二次方程 单元模拟演练卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】一元二次方程是指 (a≠0).B选项含有分式，不符合条件；C选项没有说明a≠0；D选项经化简后不含二次项.
【分析】一元二次方程：只有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。
2．方程4x2＝81化成一元二次方程的一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．4，0，81 B．﹣4，0，81
C．4，0，﹣81 D．﹣4，0，﹣81
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：方程整理得：4x2﹣81＝0，
二次项系数为4；一次项系数为0，常数项为﹣81，
故答案为：C.
【分析】将方程化为一般形式可得4x2-81＝0，然后根据二次项系数、一次项系数、常数项的概念进行解答.
3．用配方法解方程 ，下列配方结果正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ＝3，
∴ +4＝3+4，
∴(x-2)2=7；
答案为：A。
【分析】利用配方法，二次项系数化为1后，移项，两边同时加上一次项系数一半的平方.
4．某学校举行篮球对抗赛，有支球队参加，每两队之间比赛一场，共安排了28场比赛，则正确的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：根据题意得：
故答案为：A
【分析】根据有支球队参加，直接列出方程即可。
5．已知方程，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（ ）
A．6 B．9 C．2 D．-2
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】设印刷不清的数字是a，
（x-p）2=7，
x2-2px+p2=7，
∴x2-2px=7-p2，
∴x2-2px+4=11-p2，
∵方程x2-6x+4=□，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成（x-p）2=7的形式，
∴-2p=-6，a=11-p2，
∴p=3，a=11-32=2，
即印刷不清的数字是2，
故答案为：C．
【分析】设印刷不清的数字是a，将方程化为一般式，再根据待定系数法可得-2p=-6，a=11-p2，求出p、a的值即可。
6．将一个容积为600cm3的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列出关于x的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可得：长方体的长为：15，宽为：，
则根据题意，列出关于x的方程为：．
故答案为：C．
【分析】根据题意直接列出方程即可。
7．对于一元二次方程 下列说法：①当 时，则方程 一定有一根为 ；②若 则方程 一定有两个不相等的实数根；③若c是方程 的一个根，则一定有 ；④若 ，则方程 有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），
△＝b2 4ac，
①将x＝ 1代入方程ax2＋bx＋c＝0，得a b＋c＝0，即b＝a＋c．故①符合题意．
②若ab＞0，bc＜0，则ac＜0，则△＝b2 4ac＞0，即方程ax2＋bx＋c＝0一定有两个不相等的实数根．故②符合题意．
③将x＝c代入方程ax2＋bx＋c＝0，得ac2＋bc＋c＝0，得c＝0或ac＋b＋1＝0．故③不符合题意．
④若b＝2a＋3c，△＝b2 4ac＝（2a＋3c）2 4ac =4（a＋c）2＋5c2＞0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．故④符合题意．
所以正确的是①②④，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根的意义及根的判别式，逐项分析判断即可．
8．设x1，x2是方程x2+3x-3=0的两个实数根，则x12+x22的值为（ ）
A．3 B．9 C． D．15
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵x1，x2是一元二次方程x2+3x-3=0的两个实数根，
∴x1+x2=-3，x1x2=-3，
则x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=9+6=15．
故答案为：D．
【分析】完全平方公式的应用， x12+x22 =（x1+x2）2-2x1x2，根据韦达定理：x1+x2=-,x1×x2=.列出关系式，整理求解即可。
9．关于x的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程 同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；② ；③ ．其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解法一：因为关于 的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，由韦达定理得 ，所以 同号；同理 为同号。根据 得 均为负整数，因此结论①正确；又由题意得 ， ，则 ， ，故结论②正确；因为 均为负整数，则它们均小于等于 。设 ， ，则 分别为 的二次函数，其图象开口向上，与横轴的交点坐标均小于或等于 且为整数，因此当 时， 。当 时， ，即 ，故结论③正确。
应选D。
解法二：设 的两个整数根为 、 ，
的两个整数根为 、 ，
则 ， ，
由题意得： ， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ， ，∴①正确；
∵ 的两个整数根为 、 ，
∴ ，即 ，
∴ ，同理： 。
∴
，∴②正确；
∵ 、 为负整数，∴ 、 ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，∴
，∴ ，
同理： ，即 ，
∴ ，∴③正确；
故答案为：D.
【分析】根据题意以及一元二次方程根与系数，可得出两个整数根都是负数，可对①作出判断；利用一元二次方程根的判别式，可对②作出判断；利用一元二次方程根与系数进行解答，可对③作出判断，综上所述，可得出答案。
10．已知α，β是方程x2+2014x+1=0的两个根，则（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵α，β是方程x2+2014x+1=0的两个根，
∴α+β=﹣=﹣2014，α β==1，
（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）
=（αβ+2016α+α2）（αβ+2016β+β2）
=α（β+2016+α） β（α+2016+β）
=αβ （2016﹣2014）（2016﹣2014）
=4．
故选D．
【分析】由根与系数的关系找出“α+β=﹣=﹣2014，α β==1”，利用整体替换的方法将代数式（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）中的1换成αβ，提取公因数代入数据即可得出结论．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．2023年11月，我国某品牌新能源汽车的销量为64万辆，预计2024年1月销量达到81万辆，设该厂销售月平均增长率为x，则 ．
【答案】12.5%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】由题意可得
解得（舍去），
该厂销售月平均增长率为 0.125，即12.5%，
故答案为：12.5% .
【分析】根据2023年11月某品牌新能源汽车的销量为64万辆，预计2024年1月销量达到81万辆，设该厂销售月平均增长率为x，利用2024年1月销量=2023年11月的销售量（1+x）2，得到关于x的一元二次方程，解方程取符合题意的x的值即可求解.
12．已知一元二次方程有两个实数根，，则的值等于 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】 解：∵一元二次方程有两个实数根，，
∴，，
∴.
故答案为：2.
【分析】根据一元二次方程根与系数关系，即可求解.
13．已知方程（x-3）（x+m）=0与方程x2-2x-3=0的解完全相同，则m= ．
【答案】1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：把方程x2-2x-3=0左边因式分解得，
（x-3）（x+1）=0，
∵方程（x-3）（x+m）=0与方程x2-2x-3=0的解完全相同，
∴m=1，
故答案为：1．
【分析】利用十字相乘法求出方程化简为（x-3）（x+1）=0，即可得到m的值。
14．若将方程x2+mx+8＝0用配方法化为（x﹣3）2＝n，则m+n的值是
.
【答案】-5
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
移项： ，
配方得： ，
∴ ，
∵方程 利用配方法可化成 ，
∴ ，
∴
∴ .
故答案为：-5.
【分析】先把方程的常数移到右式， 再把两边同加m2，把左式配成完全平方式，结合 （x﹣3）2＝n，比较各项系数，分别列方程联立求解，最后代值计算即可.
15．若 ，则 = .
【答案】3
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，或 ，
∵ ， ，
∴ ，
即 .
故答案为：3.
【分析】由，利用直接开平方可得或，再根据≥0确定结果即可.
16．若对任何实数a，关于x的方程x2-2ax-a+2b＝0都有实数根，求实数b的取值范围 ．
【答案】b≤
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】根据题意
x2-2ax-a+2b＝0有实数根
故填：
【分析】一元二次方程的判别式大于等于0，方程有实数根，由判别式得到关于a的二次不等式，二次不等式的判别式如果小于等于0，说明无论a取何值，二次不等式的最小值是大于等于0的，即原方程总有实数根，解这个二次不等式的判别式小于等于0时的b值即可。
17．已知关于x的方程 ，其中p、q都是实数.若方程有三个不同的实数根 、 、 ，且 ，则q的值为 .
【答案】3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：依题意，
设
方程有三个不同的实数根 、 、 ，
则 与 的图象有三个不同的交点，
，对称轴为
则 与 的图象有三个不同的交点，
则 经过 的顶点
设 ，则
即
设 是 的两根，
则
即
，
解得
.
故答案为：3.
【分析】设y1=x2+2px-3p2+5，y2=±q，根据方程有三个不同的实数根可得y=-q经过y1的顶点，设x3=-p，据此可得q与p的关系，根据根与系数的关系可得x1+x2=-2p，x1x2=10-7p2，x3=-p，然后结合可得p2=2，根据判别式求出p的范围，进而可得q的值.
18．已知（x﹣2016）2+（x﹣2018）2=80，则（x﹣2017）2= ．
【答案】39
【知识点】完全平方公式及运用；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵（x﹣2016）2+（x﹣2018）2=80，
∴（x﹣2017+1）2+（x﹣2017﹣1）2=80，
（x﹣2017）2+2（x﹣2017）+1+（x﹣2017）2﹣2（x﹣2017）+1=80，
2（x﹣2017）2+2=80，
2（x﹣2017）2=78，
（x﹣2017）2=39．
故答案为：39
【分析】利用完全平方公式进行化简，然后开根号，求解。
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．
（1）用配方法解方程：x2﹣4x﹣1=0
（2）解方程：（2x+1）2=﹣3（2x+1）
【答案】（1）解：
解得：
（2）解：
故 或
解得：
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1） 用配方法解方程即可。
（2）用因式分解法解方程。
20．解下列方程：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：原方程化为 ，
，
由求根公式得， ，
所以原方程的解为 ；
（2） ，
原方程无实数根.
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）由题意先将原方程化为一般形式，然后根据一元二次方程的求根公式x=可求解；
（2）由题意先求得b2-4ac的值，再根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可求解.
21．已知关于x的一元二次方程
（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根。
（2）如果这个方程的两个实数根分别是 ，且 ，求m的值。
【答案】（1）证明：判别式△=(2m 1)2 4m(m 2)=4m2 4m +1 4m2+8m =4m +1
∵m >0 ∴4m +1>0
所以方程有两个不相等的实数根。
（2）解：由韦达定理得x1+x2=(2m 1)/m
x1 x2=(m 2)/m
所以(x1 3)( x2 3)=5m
x1 x2 3(x1+ x2)+9=5m
(m 2)/m 3×(2m 1)/m +9=5m
(5m+1)(m 1)=0
解得m =1或m = 0.2(舍去)
经检验m =1是方程的根。
所以m的值是1.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式得出△=4m +1，由m >0，得出4m +1>0，即可得出这个方程有两个不相等的实数根；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，求出x1+x2与 x1 x2的值，由（x1-3）（x2-3）=5m得出
x1 x2 3(x1+ x2)+9=5m ，把x1+x2与 x1 x2的值整体代入，得出关于m的方程，求出方程的解，即可求解.
22．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根.
（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2＝4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值.
【答案】（1）解：∵x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根，
∴由根与系数的关系可知，x1x2＝ ，x1+x2＝﹣ ；
∵一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0有两个实数根，
∴△＝4a2﹣4（a﹣6） a≥0，且a﹣6≠0，解得，a≥0，且a≠6；
∵﹣x1+x1x2＝4+x2，∴x1x2＝4+（x1+x2），即 ＝4﹣ ，解得，a＝24＞0；
∴存在实数a，使﹣x1+x1x2＝4+x2成立，a的值是24
（2）解：∵（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝ ﹣ +1＝﹣ ，
∴当（x1+1）（x2+1）为负整数时，a﹣6＞0，且a﹣6是6的约数，
∴a﹣6＝6，a﹣6＝3，a﹣6＝2，a﹣6＝1，∴a＝12，9，8，7；
∴使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值有12，9，8，7
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系“X1+x2=-，x1x2=”可将X1+x2和x1x2用含a的代数式表示，结合题意由一元二次方程的根的判别式可得b2-4ac≥0，由此可得关于a的不等式，解之可得a的范围，把X1+x2和x1x2代入等式 ﹣x1+x1x2＝4+x2 可得关于a的方程，解之可求解；
（2）由题意把（1）中的X1+x2和x1x2代入代数式（x1+1）(x2+1)并根据这个代数式为负整数可得关于a的不等式，结合解之即可求解.
23．某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同.
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1600元，每件应降价多少元？
【答案】（1）解：设该种商品每次降价的百分率为x，
依题意，得：200（1﹣x）2＝162，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）.
答：该种商品每次降价的百分率为10%.
（2）解：设每件商品应降价x元，根据题意，得：
（200﹣156﹣x）（20+5x）＝1600
解方程得 x＝4或x＝36，
∵在降价幅度不超过10元的情况下，
∴x＝36不合题意舍去，
答：每件商品应降价4元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程，利用直接开平方法求解并检验即可；
（2）根据每件商品的盈利×（原来的销售量＋增加的销售量）＝1600列出方程，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可.
24．已知：如图所示．在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？说明理由．
【答案】（1）解：设t秒后，则：AP=tcm，BP=（5﹣t）cm；BQ=2tcm．
S△PBQ=BP×BQ，即 ，解得：t=1或4．（t=4秒不合题意，舍去）
故：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2．
（2）解：∵PQ=5，则PQ2=25=BP2+BQ2，即25=（5﹣t）2+（2t）2，t=0（舍）或2．
故2秒后，PQ的长度为5cm．
（3）解：令S△PQB=7，即：BP× =7， ，整理得：t2﹣5t+7=0．
由于b2﹣4ac=25﹣28=﹣3＜0，则方程没有实数根．
所以，在（1）中，△PQB的面积不等于7cm2．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设P、Q分别从A、B两点出发，x秒后，AP=xcm，PB=（5-x）cm，BQ=2xcm则△PBQ的面积等于 ×2x（5-x），令该式等于4，列出方程求出正确的解； （2）利用勾股定理列出方程求解即可；（3）看△PBQ的面积能否等于7cm2，只需令 ×2x（5-x）=7，化简该方程后，判断该方程的△与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．
25．如图，在长为50米，宽为30米的矩形地面上修建三条同样宽的道路，余下部分种植草坪，草坪总面积为1392平方米.
（1）求道路宽多少米；
（2）现需要A、B两种类型的地砖铺设道路，A种类型的地砖每平方米原价300元，现打八折出售，B种类型的地砖每平方米价格是200元，若铺路费用不高于23600元，（不考虑地砖损失的情况下）最多选A种类型地砖多少平方米？
【答案】（1）解：设道路宽x米，由题意得
，
解得
（舍去） ，
答：道路宽1米.
（2）解： 平方米.
设最多选A种地砖m平方米，由题意得
，
解得
，
答：最多可选A种地砖50平方米.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设道路宽x米，根据草坪总面积为1392平方米列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）设选A种类型步道砖m平方米，根据铺路费用不高于23600元，列出不等式求解即可.
26．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED的边长，已知 ，这时我们把关于x的形如 二次方程称为“勾系一元二次方程”.
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程” ，必有实数根；
（3）若x=-1是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形ACDE的周长是6 ，求△ABC的面积.
【答案】（1）解：当a=3，b=4，c=5时，
勾系一元二次方程为
（2）证明：依题意得△=（ ）2-4ab=2c2-4ab，
∵a2+b2=c2，∴2c2-4ab=2（a2+b2）-4ab=2（a-b）2≥0，
即△≥0，故方程必有实数根
（3）解：把x=-1代入得a+b= c
∵四边形ACDE的周长是6 ，
即2(a+b)+ c=6 ，故得到c=2，
∴a2+b2=4，a+b=2
∵(a+b)2=a2+b2+2ab
∴ab=2，
故△ABC的面积为 ab=1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理
【解析】【分析】（1）由勾股定理和勾股数的意义可求解；
（2）根据一元二次方程的根的判别式计算b2-4ac的值，并结合勾系方程的意义即可求证；
（3）由题意把x=-1代入原方程可求得a+b=c，根据四边形的周长等于四边之和可得关于c的方程，解方程可求得c的值，则a+b的值可求解，结合完全平方公式可求得ab的值，则S△ABC=ab可求解.
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