北师大版八年级数学上册试题 第2章 实数 章节测试卷（含解析）

第2章《实数》章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点B关于点A的对称点为C，则C所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知3既是的平方根，也是的立方根，则关于的方程的解是（ ）．
A． B． C．或 D．或
3．若，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知x，y为实数，且，则（　　）
A．﹣1 B．﹣7 C．﹣1或﹣7 D．1或﹣7
5．若的小数部分是a，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．12
6．化简二次根式 的结果是（ ）
A． B．－ C． D．－
7．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图下面说法正确的是（ ）
A．输入值为16时，输出值为4
B．输入任意整数，都能输出一个无理数
C．输出值为时，输入值为9
D．存在正整数，输入后该生成器一直运行，但始终不能输出值
8．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则A，B，C，D四个点中可能是原点的为（　　）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
9．设S=，则不大于S的最大整数[S]等于(　　)
A．98 B．99 C．100 D．101
10．当时，多项式的值为( ).
A．1 B． C． D．
二、填空题
11．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
12．正方体的体积是正方体的体积的倍，那么正方体的棱长是正方体的棱长的 倍．
13．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 ．
14．设为的小数部分，为的小数部分，则值为 ．
15．将、、、……按如图方式排列．若规定（x，y）表示第x排从左向右第y个数，则：
①（6，6）表示的数是 ；
②若在（x，y），则（2x﹣y）3的值为 ．
16．在一个正方形的内部按照如图所示的方式放置大小不同的两个小正方形，其中较小的正方形面积为10，重叠部分的面积为3，则：
（1）较小正方形的边长为 ．
（2）设两处空白部分的面积分别为，，
① ；（填>， <或=）
②若，则正方形内部较大的正方形面积为 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）计算：
(1)； (2)．
18．（6分）已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中．
（1）求_______________．
（2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形．
19．（8分）已知的立方根是，的算术平方根为，．
(1)分别求，，的值；
(2)若，求的平方根．
20．（8分）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“近整区间”为，如，所以的“近整区间”为．
(1)无理数的“近整区间”是_________；无理数的“近整区间”是_________；
(2)实数x，y满足关系式：，求的算术平方根的“近整区间”．
21．（8分）据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：
(1)由，，可以确定是______位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是______，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定、59319的十位上的数字是______；
(2)已知32768，都是整数的立方，按照上述方法，请你分别求它们的立方根．
22．（8分）经研究发现：，由于30没有大于1的平方约数，因此为有理数的条件是正整数（其中t为正整数）．
(1)若正整数a使得，则a的值为_________．
(2)已知a、b、c是正整数，满足．当时，称为“三元数组”．
①若为“三元数组”，且，则________；
②若为“三元数组”，且，则________，________；
③“三元数组”共有_________个．
23．（8分）阅读与思考
请你阅读下列材料，并完成相应的任务．
裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用．具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和．例如：．
在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项．例如：，．
(1)模仿材料中的计算方法，化简：______．
(2)观察上面的计算过程，直接写出式子______．
(3)利用根式裂项求解：．
答案解析
一．选择题
1．C
【分析】首先根据数轴上点A表示的数为，点B表示的数为，可以求出线段的长度，然后根据点B和点C关于点A对称，求出的长度，最后可以计算出点C的坐标．
【详解】解：∵数轴上点A表示的数为，点B表示的数为，
∴，
∵点B关于点A的对称点为点C，
∴，
设点C表示的数为x，则，
∴；
∴点C的坐标为：．
故选：C．
2．D
【分析】根据平方根和立方根的概念可得，，求解可得，，然后带入原方程，利用平方根解方程即可．
【详解】解：根据题意，3既是的平方根，也是的立方根，
可得，，
解得，，
则关于的方程即为，
∴，
∴，
解得 或．
故选：D．
3．C
【分析】先进行实数的运算，再进行估算即可．
【详解】解：，
∵，
∴
∴；
故选C．
4．C
【详解】直接利用二次根式的性质得出x，y的值，然后讨论进而得出答案．
【解答】解：∵，
∴
∴
∴y＝4，
∴，
当时，；
当时，；
∴或，
故选：C．
5．C
【分析】根据题意得出的值，然后化简计算原式即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
，
故选：C．
6．B
【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可
【详解】
故选B
7．D
【分析】根据运算规则即可求解．
【详解】解∶A．输入值x为16时，，，即y=，故A错误；
B．当x=0， 1时，始终输不出y值． 因为0， 1的算术平方根是0， 1，一定是有理数，故B错误；
C．x的值不唯一． x=3或x=9或81等，故C错误；
D．当x= 1时，始终输不出y值． 因为1的算术平方根是1，一定是有理数；故D正确；
故选∶D．
8．D
【分析】分①若原点的位置为A点时，②若原点的位置为B点或C点时，③若原点的位置为D点时，结合有理数的加法法则和点在数轴上的位置分析即可得出正确选项．
【详解】解：根据数轴可知，
①若原点的位置为A点时，x＞0，则，，，
∴，舍去；
②若原点的位置为B点或C点时，，
则或，，
∴，舍去；
③若原点的位置为D点时，
则 ，
∴，符合条件，
∴最有可能是原点的是D点，
故选：D．
9．B
【分析】由，代入数值，求出S=+++ …+=99+1-，由此能求出不大于S的最大整数为99．
【详解】∵
=
=，
∴S=+++ …+
=
=
=100-，
∴不大于S的最大整数为99．
故选B.
10．B
【分析】由原式得，得，原式变形后再将代和可得出答案.
【详解】∵，
，即，
．
原式．
二．填空题
11．
【分析】由同类二次根式的定义可知，，从而可求得、的值，最后代入计算即可．
【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式，
，．
解得：，．
．
故答案为：．
12．
【分析】设正方体的棱长是，正方体的棱长是，根据题意得出根据立方根的定义得出，即可求解．
【详解】解：设正方体的棱长是，正方体的棱长是，
依题意得：
∴
即正方体的棱长是正方体的棱长的倍.
故答案为：
13．
【分析】根据当是最小的完全平方数时，n最小，从而得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】运用完全平方公式化简，后估算法确定整数部分和小数部分，最后分母有理化计算即可．
【详解】∵
，且，为的小数部分，
∴；
∵
，且，为的小数部分，
∴；
∴
，
故答案为：．
15．
【分析】观察式子，得到如下规律，第排的个数为个，前排的总数为个，奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列，根据规律求解即可．
【详解】解：观察式子可得，
第1排的个数为，前1排的总数为，
第2排的个数为，前2排的总数为，从右到左依次增大排列，
第3排的个数为，前3排的总数为，从左到右依次增大排列，
第4排的个数为，前4排的总数为，从右到左依次增大排列，
……
第排的个数为个，前排的总数为个，奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列，
（6，6）表示第6排从左向右第6个数
前5排的总数为25，第6排的个数为11个，为偶数排，从右向左依次增大，
第6排中，从左向右第6个数，也就是从右向左第6个数，
所以（6，6）表示的数为；
因为，
所以是在第45排，即
第45排，为奇数排，从左向右依次增大，
因为，所以
将，代入得
故答案为：，
16． 12
【分析】（1）根据面积和算术平方根的定义可求解；
（2）先求得重叠部分正方形的的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式可求空白部分的长，最后求出较大正方形的边长即可求出面积．
【详解】解：（1）∵较小的正方形面积为10，
∴较小正方形的边长为，
故答案为：；
（2）①∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，
∴；
②由①得，∴重叠部分也为正方形，
∵重叠部分的面积为3，
∴重叠部分的边长为，
∴一个空白长方形的宽为，
∵空白部分的面积为，
∴一个空白长方形面积为，即，
∴一个空白长方形的长为，
∴较大正方形边长为，
∴大正方形面积，
故答案为：①；②12．
三．解答题
17．（1）原式
（2）原式
18．解：（1），
故答案为：10；
（2）边长为的正方形，则面积为，
则每个三角形的面积为，
则作图如下：
.
19．（1）解：∵的立方根是，的算术平方根为，
∴，，
解得：，，
∵，
∴；
（2）∵，则，
∵，，
∴，
∴的平方根是；
20．（1）解：，
，
无理数的“近整区间”是；
，
，
，
无理数的“近整区间”是，
故答案为：；；
（2）解：，
，，
，，
的算术平方根为，
，
，
的算术平方根的“近整区间”是．
21．（1）∵
∴ 是两位数
∵ 的个位上的数是 9
∴ 的个位上的数字是 9
∵划去59319后面的三位 319 得到数 59 ，
∴ 的十位上的数字是 3
故答案是：两，9，3 ；
（2）①求 32768 的立方根
∵
∴ 的立方根是两位数
∵ 个位数是 8
∴ 的立方根个位数是 2
∵
∴ 的立方根十位数是 3
综合可得 32768 的立方根是 32
②求立方根
∵
∴ 的立方根是两位数
∵ 个位数是 5
∴ 的立方根个位数是 5
∵
∴274625的立方根十位数是6
∴274625的立方根65
∴的立方根是
22．（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）①∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：270，
②∵，
∴，
∴，
设，（，为正整数而且），
∴，即，
∵，
∴，，
∴，，
∴，；
故答案为：120，1080；
③设，，（，，为正整数而且），
∵，
∴，
∴，
又∵
∴，，
当时，，此时，，
当，∴，∴，
当时，同②，，，；
当时，，，，；
综上所述：“三元数组”共有3个．
故答案为：3.
23．（1）解：；
故答案为：．
（2）解：；
故答案为：．
（3）解：原式
．
故答案为：2022．