广东省梅州市曾宪梓中学2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷（含解析）

广东省梅州市曾宪梓中学2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2．复数的实部和虚部分别是( )
A.1，1 B.1，i C.， D.，
3．下列结论正确的是( )
A.底面是正方形的棱锥是正四棱锥
B.绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥
C.有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台
D.棱台的所有侧棱所在直线必交于一点
4．在中，“”是“”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5．一艘轮船从A地出发，先沿东北方向航行15海里后到达B地，然后从B地出发，沿北偏西方向航行10海里后到达C地，则A地与C地之间的距离是( )
A.海里 B.海里 C.海里 D.15海里
6．已知向量，，若向量，的夹角，则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7．已知函数在上的值域为，则( )
A.4 B.5 C.8 D.10
8．已知为第一象限角，若函数的最大值是2，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知复数，则( )
A. B. C. D.
10．已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则下列结论正确的是( )
A.的图象关于直线对称
B.
C.当时，的值域是
D.当时，
11．对任意两个非零的平面向量和，定义：；.若平面向量，满足，且和都在集合中，则的值可能为( )
A.1 B. C. D.
三、填空题
12．一个棱台至少有______个面.
13．如图，在扇形中，半径，，C在半径上，D在半径上，E是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形的周长的取值范围是______.
四、双空题
14．已知，，且，则的最小值是______；当取得最小值时，的最小值是______.
五、解答题
15．已知复数，.
（1）若z是纯虚数，求a的值；
（2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围.
16．已知向量，的夹角为，且.
（1）求向量在向量上的投影向量；
（2）若，求t的值.
17．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，.
（1）求的值；
（2）若，，求的面积.
18．在中，点D，E分别在边，上，且，，F是，的交点.设，.
（1）用，表示，；
（2）求的值.
19．如图，在平面四边形中，，，，.
（1）若A为锐角，且，求的面积；
（2）求四边形面积的最大值；
（3）当时，P在四边形所在平面内，求的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：，则，
故选：C.
2．答案：A
解析：，
所以数的实部和虚部分别是1,1，
故选：A.
3．答案：D
解析：对于A，底面是正方形的棱锥且顶点在底面的射影为底面中心才是正四棱锥，故A错误；
对于B，以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴时，所形成的几何体是两个同底的圆锥，故B错误；
对于C，如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，C错误；
对于D，由棱台结构特征知侧棱延长后必交于一点，D正确.
故选：D.
4．答案：B
解析：时，，充分性满足，
当时，，不必要.
所以应为充分不必要条件.
故选：B.
5．答案：A
解析：在中，由题意可知海里，海里，.
由余弦定理可得，
则海里.
故选：A.
6．答案：B
解析：由，得，
而，
则，解得，
故选：B.
7．答案：D
解析：的对称轴为，则，解得，
则在上单调递增，
所以，即，
所以m，n为方程的两个根，
即m，n为方程的两个根，所以.
故选：D.
8．答案：A
解析：由题意可得，
，
则，解得，又为第一象限角，，
所以
.
故选：A.
9．答案：BD
解析：对A，，则，故A错误；
对B，，故B正确；
对C，，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：BD.
10．答案：ABD
解析：因为，则关于直线对称，
则，因为函数是定义在R上的偶函数，
则，则，则B正确，
则
则的图象关于直线对称，故A正确；
对C，因为函数是定义在R上的偶函数，则当时，的值域与时值域相同，
当时，，显然其为增函数，则的值域为，即，故C错误；
对D，当时，，则，
当时，，根据的周期为4，
则，故D正确；
故选：ABD.
11．答案：AC
解析：因为，
设向量和的夹角为，，
则.
因为，所以，
所以，
所以，
故，.
当时，，又，所以，符合题意；
当时，，又，所以，符合题意.
所以或.
故选：AC.
12．答案：5
解析：由题意，面数最少的棱台是三棱台，其中三棱台有5个面.
故答案为：5.
13．答案：
解析：设，则，由，得，显然，
连接，由，，得，
，，
因此的周长，
显然，当，即时，，而时，，
所以的周长的取值范围是.
故答案为：.
14．答案：8；
解析：由，，，得，则，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值8；
当时，，，当且仅当时取等号，
所以，，时，取得最小值.
故答案为：8；.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）是纯虚数，
故，解得.
（2）
因为在复平面内对应的点在第二象限，
所以，解得，
故a的取值范围为.
16．答案：（1）
（2）或3
解析：（1）由向量，的夹角为，且，得，
所以向量在向量上的投影向量为.
（2）由（1）知，，由，得，即，
整理得，解得或，
所以t的值是或3.
17．答案：（1）2
（2）
解析：（1）因为，所以，
所以，所以.
因为，所以，所以，
所以.
（2）因为，所以.
由（1）可得，则，所以.
因为，所以.
因为，所以，则.
因为，所以.
因为，所以，则的面积.
18．答案：（1），
（2）
解析：（1）因为，所以D是的中点，
则.
因为，所以，
则.
（2）因为，所以.
因为A，F，D三点共线，所以
.
因为B，F，E三点共线，所以，
则解得.
故.
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）连接.
在中，由余弦定理可得，即.
在中，由余弦定理可得，即，
则，即.
因为A为锐角，且，所以，所以，则，
故的面积为.
（2）四边形的面积，
则.①
由（1）可知，则.②
联立①②，解得，则，等号成立当且仅当，
所以四边形面积的最大值为.
（3）将绕点A旋转，使得P，D分别与，重合，连接，，
则，，，.
因为，所以，
所以，则.
由图可知，
当且仅当B，P，，四点共线时，等号成立，
故的最小值是.