7.3离散型随机变量的均值 课件(共17张PPT)-人教A版高中数学选择性必修三

(共17张PPT)
7.3离散型随机变量的数字特征
7.3.1离散型随机变量的均值
1.复习
(1)离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x ,x , …,x, 我们称X
取每一个值x;的概率
P(X=x;)=p,i=1,2, …,n
为X的概率分布列(list of probability distribution), 简称分布列.
(2)离散型随机变量的分布列的性质
根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质：
①p;≥0,i=1,2,…,n;
②p +P +…+Pn=1.
离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律.但在解决
有些实际问题时，直接使用分布列并不方便，例如，要比较不同班级某次考
试成绩，通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射箭水平，一般会 比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性.因此，类似于研究一组 数据的均值和方差，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统 称为随机变量的数字特征。
问 题 1甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示.
环 数 X 7 8 9
10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3
0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4
0.2
如何比较他们射箭水平的高低呢
类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再 看稳定性。
即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9,这个平均值的大小可以
反映甲运动员的射箭水平.
同理，乙射中环数的平均值为7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.6 5.
从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.
环 数 X 7 8 9
10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3
0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4
0.2
当n足够大时，频率稳定于概率，所以x 稳定于
7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9.
假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为 n ,n ,n ,n
甲n 次射箭射中的平均环数为
n'n'n'n
为随机变量X的均值或数学期望 ，数学期望简称期 望 .均值是随机变量
可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值 的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
X X X
Xn
P P P ●
Pn
E(X)=x P +X P + … 十
2.随机变量的均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
则称
例1在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命 中的概率为0.8,那么他罚球1次的得分X的均值是多少
解：由题意得，X 的分布列为
P(X=0)=0.2,P(X=1)=0.8.
∴E(X)=0×0.2+1×0.8=0.8.
即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8.
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么
E(X)=0×(1-p)+1×p=p.
例2抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X, 求X的均值。
解：由题意得，X的分布列为
即点数X 的均值是3.5.
,k=1,2,3,4,5,6.
观察掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为3.5.随机模拟这个试 验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数.根据观 测值的平均数(样本均值)绘制统计图，分别如图(1)和(2)所示.观察图形，在 两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别
4
3.9
3.8
3.7
3.6
3.5
3.4
3.3
3.2
3.1
3
1 3 4 5 6 7
n=300
(2)
n=60
(1)
观察图形可以发现：在这12组掷骰子试验中，样本均值各不相同，但
它们都在掷出点数X的均值3.5附近波动，且重复掷300次的样本均值波动 幅度明显小于重复60次的.
事实上，随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性， 它围绕随机变量的均值波动.随着重复试验次数的增加，样本均值的波 动幅度一般会越来越小，因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估 计随机变量的均值.
探究如果X是一个离散型随机变量，X加一个常数或乘一个常数后，其均值 会怎样变化 即E(X+b) 和E(aX)(其中a,b 为常数)分别与E(X)有怎样的关系
设X的分布列为
P(X=x;)=pi,i=1,2,…,n
根据随机变量均值的定义，
E(X+b)=(x +b)p +(x +b)p +…+(xn+b)pn
=(x P +X P +…+x,Pn)+b(p +P +…+pn)
=E(X)+b.
类似地，可以证明 E(aX)=aE(X).
一般地，下面的结论成立：
E(aX+b)=aE(X)+b.
(1)求E(X);(2) 求E(3X+2).
解：(1)E(X)=1×0.1+2×0.3+3×0.4+4×0.1+5×0.1=2.8.
(2)E(3X+2)=3E(X)+2=3×2.8+2=10.4.
练 习 一课本66页
1.已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
5
P 0.1 0.3 0.4 0.1
0.1
练习 一课本67页
2.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得一1分，求得分X的均值。
解：由题意得
P(X=-1)=0.5,P(X=1)=0.5.
∴E(X)=(-1)×0.5+1×0.5=0.
规则如下：按照A,B,C 的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下
一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值。
解：由题意可得，X 的可能取值为0,1000,3000,6000,则X 的分布列为
P(X=0)=0.2,P(X=1000)=0.8×0.4=0.32,
P( X=3000)=0.8×0.6×0.6=0.288,P(X=6000)=0.8×0.6×0.4=0.192 .
X的均值为
E(X)=0×0.2+1000×0.32+3000×0.288+6000×0.192=2336.
例3猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节 目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A,B,C 歌名的概率及猜对 时获得相应的公益基金如表7.3-3所示.
歌曲 A B
C
猜对的概率 0.8 0.6
0.4
获得的公益基金额/元 1000 2000
3000
例4根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01. 该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时 要损失10000元.为保护设备，有以下3种方案：
方案1 运走设备，搬运费为3800元；
方案2建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；
方案3不采取措施。
工地的领导该如何决策呢
解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X ,X ,X .
采用方案1,有P(X =3800)=1.
采用方案2,有P(X =62000)=0.01,P(X =2000)=0.99.
采用方案3,有P(X =60000)=0.01,P(X =10000)=0.25,P(X =0)=0 .74.
∴E(X )=3800,E(X )=62000×0.01+2000×0.99=2600,∴
因此，从期望损失最
E(X )=60000×0.01+10000×0.25+0×0.74=3100.
小的角度，应采取方案2.
值得注意的是，上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的.一般地
,我们可以这样来理解“期望总损失”:
如果问题中的天气状况多次发生，那么采用方案2将会使总损失减到
最小.不过，因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以
对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的.
哪台机床更好 请解释你所得出结论的实际含义.
解：由题意得
E(X )=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1,
E(X )=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9.
由此可知，1h内甲机床平均生产1个次品，乙机床平均生产0.9个次品，所
以乙机床相对更好.
练习 一课本67页
3.甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1h内生产出 的次品数分别为X1,X , 其分布列分别为
甲机床次品数的分布列 乙机床次品数的分布列
X 0 1 2
3
P 0.4 0.3 0.2
0.1
X 0 1
2
P 0.3 0.5
0.2
则称E(X)=x p +X P + …+.
为随机变量X 的均值或数学期望，数学期望简称期 望
2.均值的性质：E(aX+b)=aE(X)+b.
3.随机变量X服从两点分布，则有
E(X)=0×(1-p)+1×p=p.
小结：
1.离散型随机变量的均值：
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
X X X
xn
P P P
Pn