9.2.4 总体离散程度的估计 课件(共39张PPT)高一下学期数学人教A版（2019）必修二

(共39张PPT)
第九章 >》
统计
9.2 用样本估计总体
9.2.4 总体离散程度的估计
学习目标
活动方案 检测反馈
学习目标
1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方 差、极差).
2.理解离散程度参数的统计含义.
活动方案
活 动 一 极差、方差、标准差的概念
— 《 背景引入 》—
有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数 如下：
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况作出评价 如果这 是一次选拔性考核，你应当如何作出选择
内容索引
均数、中位数、众数都是7.从这个角度看，两名运动员之间没有差
别.但从下图看，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，即甲的成绩 波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定.可见，他们的射击成绩是存在 差异的.那么,如何度量成绩的这种差异呢
通过简单的排序和计算，可以发现甲、乙两名运动员射击成绩的平
内容索引
甲
【解析】如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成 绩不会太远；相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击 成绩离平均成绩会比较远.因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们 的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度.
思考
极差在一定程度上刻画了数据的离散程度，但只用了数据最大、最 小两个值，如要考虑两个运动员的成绩的稳定性，应该用什么去衡量
内容索引
方差与标准差的定义及公式：
在一组数据x ,x ,…,xn 中，各数据与它们的平均数x 的差的平方
的平均数，叫作这组数据的方差，常用s 表示，即 方差
的算术平方根叫作这组数据的标准差，用s 表示，即
内 容 索 引
s=√s =√ 10.5≈3.24.
练习 求52,49,48,55,47,48,56,53的方差及标准差.
内容索引
体均值类似，总体方差也可以写成加权的形式.如果总体的 N 个变量值
中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y,Y ,…,Yk, 其 中Yi出现的
频数为f(i=1,2, … ,k), 则总体方差为
内 容 索 引
小 结
总体方差、总体标准差与样本方差、样本标准差的区别与联系：
(1)如果总体中所有个体的变量值分别为Y,Y , …,YN, 总体平均
为总体方差，S=S 为总体标准差.与总
数为Y, 则 称
(2)如果一个样本中个体的变量值分别为y ,y , …,yn, 样本平均
数为y, 则称 为样本方差，s=√s 为样本标准差.
内 容 索 引
活 动二掌握极差、方差、标准差的应用
例1 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分 配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其 平均数和方差分别为170.6和12.59,抽取了女生27人，其平均数和方差分 别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级 全体学生的身高方差作出估计吗
内容索引
记为s ; 把女生样本记为y ,y , … ,y 7, 其平均数记为y, 方差记为
把总样本数据的平均数记为2,方差记为s .
根据方差的定义，总样本方差为
【解析】把男生样本记为 x ,x ,…,x 3, 其平均数记为x, 方差
内容索引
心
●
同理可
内容索引
所以
由x=170.6,y=160.6, 根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数 与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为
内容索引
把已知的男生、女生样本平均数和方差的取值代入①,可得 {23×[12.59+(170.6—165.2) ]+27×[38.62+(160.6—165.2) ]}=51.4862.
我们可以计算出总样本的方差为51.4862,并据此估计高一年级学生 身高的总体方差为51.4862.
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1.标准差代表数据的离散程度，考虑数据范围时需要加减标准差.
2.计算样本平均数、样本方差直接利用公式，注意公式的变形和整 体代换.
内容索引
【解析】把专业人士打分样本记为x ,x , …,xg, 其平均数记为x,
方差记为s ; 把观众代表打分样本记为y ,y , … ,y , 其平均数为y,
方差记为s ; 把总体数据的平均数记为2,方差记为s ,
在一个文艺比赛中，8名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小
组，给参赛选手打分.在给某选手的打分中，专业人士打分的平均数和 标准差分别为47.4和3.7,观众代表打分的平均数和标准差分别为56.2和 11.8,试根据这些数据计算这名选手得分的平均数和方差.
跟踪训练
内容索引
所以这名选手得分的平均数为52.68分，方差为107.6.
则总样本平均数为
总样本方差为
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≈10
使用 天数 151~ 180 181 210 211 240 241 270 271 300 301 330 331 360
361
390
日光 灯数 1 11 18 20 25 16 7
2
例2 为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须
更换.已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下：
试估计这种日光灯使用寿命的平均数和标准差.
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255.5,285.5,315.5,345.5,375.5,
由此算得平均数约为165.5×1%+195.5×11%+225.5×18%十 255.5×20%+285.5×25%+315.5×16%+345.5×7%+375.5×2%=
268.4～268.
这些组中值的方差 +18×(225.5—268.4) +20×(255.5—268.4) +25×(285.5—268.4) +
16×(315.5—268.4) +7×(345.5—268.4) +2×(375.5—268.4) ]=
2128.59,
【解析】 各区间的组中值分别为165.5,195.5,225.5,
内容索引
故所求的标准差约为 √2128.59≈46,
故估计这种日光灯使用寿命的平均数为268天，标准差约为46天.
内容索引
对一组数据的评价，有多个角度，平均数、标准差等数值都是反映
这组数据的客观情况，根据实际需要确定求哪些数值.
内容索引
有一种鱼的身体吸收汞，身体中汞的含量超过其体重的1.00 ppm (即
百万分之一)的鱼被人食用后，就会对人体产生危害.在30条鱼的样本中 发现的汞含量(单位：ppm) 如下：
0.07 0.24 0.95 0.98 1.02 0.98 1.37 1.40 0.39
1.02
1.44 1.58 0.54 1.08 0.61 0.72 1.20 1.14 1.62
1.68
1.85 1.20 0.81 0.82 0.84 1.29 1.26 2.10 0.91
1.31
内 容 索 引
(1)请用合适的统计图描述上述数据，并分析这30条鱼的汞含量的分 布特点；
(2)求出上述样本数据的平均数和标准差；
(3)从实际情况看，许多鱼的汞含量超标的原因是这些鱼在出售之前 没有被检测过，你认为每批这种鱼的平均汞含量都比1.00 ppm 大吗
(4)在上述样本中，有多少条鱼的汞含量在以平均数为中心、距离平 均数为2倍标准差的范围内
内容索引
分组 频数
频率
[0.00,0.50] 3
0.10
[0.50,1.00] 10
0.33
(1.00,1.50) 12
0.40
[1.50,2.00] 4
0.13
[2.00,2.50] 1
0.03
合计 30
1.00
【解析】(1)频率分布表如下：
内容索引
作出如图所示的统计图如图：
A频率/组距
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0.51.01.52.02.5汞含量/ppm
汞含量的分布偏向于1.00 ppm 的方向，即多数鱼的汞含量分布在大
于1.00 ppm 的区域.
内容索引
2.25×0.03≈1.07(ppm),
样本方差s ≈(0.25—1.07) ×0.1+(0.75—1.07) ×0.33+(1.25— 1.07) ×0.4+(1.75—1.07) ×0.13+(2.25—1.07) ×0.03≈0.22,
标准差s=√0.22≈0.47.
(3)不一定，因为我们不知道其他各批鱼的汞含量分布是否都和这 批鱼相同，即使其他各批鱼的汞含量分布与这批鱼相同，上面的数据也
只能为这个分布作出估计，不能保证每批鱼的平均汞含量都大于1.00
ppm.
(4)由题意得，该范围为(0.13,2.01),所以有28条鱼的汞含量在以平 均数为中心、距离平均数为2倍标准差的范围内.
内容索引
(2)样本平均数x≈0.25×0.1+0.75×0.33+1.25×0.4+1.75×0.13+
1. (2022葫芦岛一模)有一组样本数据x ,X , …,xn, 由这组数据得
到新样本数据y ,y ,…,yn, 其中y;=x;+c(i=1,2,…,n),c 为非零实 数，则下列关于这两组样本数据的结论中正确的是( )
A.平均数相同 B.众数相同
C.中位数相同 D.极差相同
【解析】设样本数据x ,x ,…,xn 的平均数为x, 众数为m, 中位 数为a, 极差为b=xmax一Xmin,则新样本数据y ,y ,…,yn 的平均数为x 十c, 众数为m+c, 中位数为a+c, 极差为ymax一Ymin=(xmax+c)一(xmin十 c)=b, 所以两组样本数据的极差相等.
【答案】D
内容索引
1
4 5
2
3
第一组 第二组 第三组 第四组
A. 第一组 B. 第二组
C. 第三组 D. 第四组
2 . 样 本 量 为 9 的 四 组 数 据 ， 它 们 的 平 均 数 都 是 5 , 条 形 图 如 图 所 示 ，
则标准差最大的一组是( )
频率
1.0
0.4
0.3
0
45 6 数据
频率
1.0
0
5
内容索引
数据
2 3
4
5
1
【解析】第一组中，样本数据都为5,数据没有波动幅度，标准差
为0;第二组中，样本数据为4,4,4,5,5,5,6,6,6,标准差 第三组中，
第四组中，样本数据为
2,2,2,2,5,8,8,8,8,标准差为2 √2,故标准差最大的一组是第四组.
样本数据为3,3,4,4,5,6,6,7,7,标准差为
【答案】D
内容索引
2 3
4
5
1
则下列说法中正确的是( )
A.甲运动员得分的极差小于乙运动员得分的极差
B. 甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数 C. 甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值 D. 甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
场次 1 2 3 4 5
6
甲得分 31 16 24 34 18
9
乙得分 23 21 32 11 35
10
3. (多选)某赛季甲、乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况如下表：
内容索引
4
2
5
1
【解析】由题意，得甲的极差为34—9=25,中位数是21,均值为 22,方差为s通=75,同样乙的极差为35—10=25,中位数是22,均值为 22,方差为s ≈89.3. 故选BD.
【答案】BD
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4
2
5
1
4.若给定一组数据x ,X , …,xn, 方差为s .
(1)ax ,ax ,…,axn 的方差是 a s ;
(2)ax +b,ax +b,…,axn+b 的方差是 a s
内 容 索 引
1 2
4 5
3
5.一个小商店从一家有限公司购进21袋白糖，每袋白糖的标准质量
是500 g, 为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量(单位： g) 如下：486,495,496,498,499,493,493,498,484,497,504,489,495,503,499,503, 509,498,487,500,508.
(1)21袋白糖的平均质量是多少 标准差s是多少
(2)质量位于x-s 与x+s 之间有多少袋白糖 所占的百分比是多 少
内 容 索 引
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4
1
【解析】(1)平均质量 486+495+296+…+508≈496.9,
×[(486-496.9) +(495-496.9) +…+(508-496.9) ]≈42.89, 所以s= √42.89≈6.55.
(2)质量位于x—s 与x+s 之间等于在区间(490.35,503.45)上的白糖的 袋数，共有14袋，
所占的百分比
内容索引
4
2
3
1
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Thankyou for watching