6.3三角形的中位线 同步练习题（含详解）北师大版八年级数学下册

北师大版八年级数学下册《6.3三角形的中位线》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E、F分别是三边的中点，且DE＝4cm，则AF的长度是（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
2．如图，Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠BAC＝90°，D，E分别为AB，AC的中点，P为DE上一点，且满足∠EAP＝∠ABP，则PE＝（　　）
A．1 B． C． D．2
3．如图，四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF＝130°，则∠PEF的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．50°
4．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　）
A．2 B． C． D．
5．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，M，N分别是边BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合）点E，F分别是线段DM，MN的中点，若线段EF的最大值为2.5，则AD的长为（　　）
A．5 B． C．2.5 D．3
6．如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD延长线于点F，AC＝7，BC＝4，则EF的长为（　　）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
二．填空题
7．如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为 　 　．
8．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，BD＝．若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为 　 　．
9．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，当AB＝CD时，四边形GFHE是　 　．
10．如图，点A，B为定点，直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN与AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而发生变化的是　 　（填序号）．
11．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC＝4cm，BD＝6cm，则四边形EFGH的面积是　 　cm2．
12．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，DE∥AC交AB于点E，若DE＝3，则AB＝　 　．
13．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，CD⊥BD，垂足为D，E为AC中点．若AB＝10，BC＝6，则DE的长为　 　．
14．如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为 　 　．
15．如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，则线段DE的长为　 　．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E，F分别为边AC，BC的中点，连接DE，EF．
（1）若∠B＝40°，∠C＝55°，求∠DEF的度数；
（2）若AD＝6，BD＝8，CD＝4，求△DEF的周长．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求△ABC的周长．
18．已知，如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．
（1）求证：BM＝MN；
（2）若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．
19．如图：D、E是△ABC边AB，AC的中点，O是△ABC内一动点，F、G是OB，OC的中点．判断四边形DEGF的形状，并证明．
20．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC＝BD，E，F为AB、CD中点，连EF交BD、AC于P、Q求证：OP＝OQ．
21．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．
（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；
（2）如图2，请直接写出线段AB、AC、EF的数量关系．
参考答案
一．选择题
1．解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝8cm，
在Rt△BAC中，点F分别是斜边BC的中点，
则AF＝BC＝4cm，
故选：C．
2．解：在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，
由勾股定理得：BC＝＝＝10，
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE＝BC＝5，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAP+∠EAP＝90°，
∵∠EAP＝∠ABP，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∵D为AB的中点，
∴PD＝AB＝4，
∴PE＝DE﹣DP＝1，
故选：A．
3．解：∵P、F分别是BD、CD的中点，
∴PF＝BC，
同理可得：PE＝AD，
∵AD＝BC，
∴PF＝PE，
∵∠EPF＝130°，
∴∠PEF＝∠PFE＝×（180°﹣130°）＝25°，
故选：A．
4．解：取BC的中点G，AD的中点H，连接EG、GF、FH、HE，
∵E，G分别是AB，BC的中点，AC＝2
∴EG＝AC＝1，EG∥AC，
同理：FH＝AC，FH∥AC，EG＝AC，GF∥BD，GF＝BD＝1，
∴四边形EGFH为平行四边形，
∵AC＝BD，
∴GE＝GF，
∴平行四边形EGFH为菱形，
∵AC⊥BD，EG∥AC，GF∥BD，
∴EG⊥GF，
∴菱形EGFH为正方形，
∴EF＝EG＝，
故选：D．
5．解：∵点E，F分别是线段DM，MN的中点，
∴ED＝EM，MF＝FN，
∴EF＝DN，
∴DN最大时，EF最大，
∵线段EF的最大值为2.5，
∴DN＝2EF＝5．
∵N与B重合时DN最大，
此时DN＝DB＝＝＝5，
∴AD＝3．
故选：D．
6．解：延长AF、BC交于点G，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
在△ACF和△GCF中，
，
∴△ACF≌△GCF（ASA），
∴CG＝AC＝7，AF＝FG，
∴BG＝CG﹣CB＝3，
∵AE＝EB，AF＝FG，
∴EF＝BG＝1.5，
故选：A．
二．填空题
7．解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC＝6，BD＝AD＝AB＝4，
∴∠DFB＝∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠FBC，
∴∠DFB＝∠DBF，
∴DF＝BD＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝6﹣4＝2，
故答案为：2．
8．解：∵AD⊥BC，∠B＝45°，BD＝，
∴AD＝BD＝，
在Rt△ADC中，∠C＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴CD＝AC，
∵AC2＝CD2+AD2，
∴AC2＝（AC）2+（）2，
解得：AC＝2，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF＝AC＝1，
故答案为：1．
9．解：∵E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG＝AB，EG∥AB，
同理，HF＝AB，HF∥AB，
∴EG＝HF，EG∥HF，
∴四边形GFHE是平行四边形，
∵E，H分别是AD，AC的中点，
∴EH＝CD，
∵AB＝CD，
∴EG＝EH，
∴平行四边形GFHE是菱形，
故答案为：菱形．
10．解：∵l∥AB，
∴△PAB的面积不变，
∵PM＝MA，PN＝NB，
∴MN＝AB，∵AB的长为定值，
∴MN的长不变，△PMN的面积不变，直线MN与AB之间的距离不变，
故答案为：②⑤．
11．解；∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，
∴EH∥BD且EH＝BD，FG∥BD且FG＝BD，
∴EH∥FG，EH＝FG，
同理EF∥HG，EF＝HG，
又∵AC⊥BD，
∴四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH的面积＝EF×EH＝AC×BD＝×4××6＝6cm2．
12．解：延长AC交BD的延长线于点F，
在△ADB和△ADF中，
，
∴△ADB≌△ADF（ASA），
∴BD＝DF，AB＝AF，
∵DE∥AC，BD＝DF，
∴AF＝2DE＝2×3＝6，
∴AB＝6，
故答案为：6．
13．解：延长CD交AB于F，
在△BDC和△BDF中，
，
∴△BDC≌△BDF（ASA），
∴BF＝BC＝6，CD＝DF，
∴AF＝AB﹣BF＝4，
∵CD＝DF，CE＝EA，
∴DE＝AF＝2，
故答案为：2．
14．解：∵跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，AC、OD都与地面垂直，
∴OD是△ABC的中位线，
∴AC＝2OD＝2×50＝100cm．
故答案为100cm．
15．解：由勾股定理可知：BC＝＝．
∵点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE＝BC＝．
故答案为：．
三．解答题
16．解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝85°，
∵E，F分别为边AC，BC的中点，
∴EF∥AB，
∴∠CEF＝∠BAC＝85°，
在Rt△ADC中，E为边AC的中点，
∴DE＝AC＝EC，
∴∠EDC＝∠C＝55°，
∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝70°，
∴∠DEF＝85°﹣70°＝15°；
（2）在Rt△ADB中，AD＝6，BD＝8，
由勾股定理得：AB＝＝＝10，
∵E，F分别为边AC，BC的中点，
∴EF＝AB＝5，
在Rt△ADC中，AD＝6，CD＝4，
由勾股定理得：AC＝＝＝2，
∴DE＝AC＝，
∵BD＝8，CD＝4，
∴BC＝12，
∵F为边BC的中点，
∴CF＝6，
∴DF＝6﹣4＝2，
∴△DEF的周长＝5+2+＝7+．
17．解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE＝BC，DE∥BC，又EF∥DC，
∴四边形CDEF为平行四边形，
∵四边形CDEF的周长是25cm，
∴CD+DE＝，
∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴AB＝2CD，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝2×（CD+DE）+AC＝30（cm）．
18．（1）证明：∵∠ABC＝90°，M为AC的中点，
∴BM＝AC，
∵M、N分别为AC、CD的中点，
∴MN＝AD，
∵AC＝AD，
∴BM＝MN；
（2）解：∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝BAD＝30°，
∵∠ABC＝90°，M为AC的中点，
∴BM＝AM＝AC＝＝1，
∴∠BAC＝∠ABM＝30°，
∴∠BMC＝∠ABM+∠BAC＝30°+30°＝60°，
∵M、N分别为AC、CD的中点，AC＝AD＝2，
∴MN＝AD＝AC＝1，MN∥AD，
∴∠NMC＝∠DAC＝30°，
∴∠BMN＝∠BMC+∠NMC＝60°+30°＝90°，
即△BMN是等腰直角三角形，
由勾股定理得：BN＝＝＝．
19．解：四边形DEGF是平行四边形，
理由如下：∵D、E是△ABC边AB，AC的中点，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∵F、G是OB，OC的中点，
∴FG＝BC，FG∥BC，
∴DE＝FG，DE∥FG，
∴四边形DEGF是平行四边形．
20．证明：取BC中点G，连EG、FG，
∵E，G为AB、BC中点，
∴EG＝AC，EG∥AC，
∴∠FEG＝∠OQP，
同理，FG＝BD，FG∥BD，
∴∠EFG＝∠OPQ，
∵AC＝BD，
∴EG＝FG，
∴∠FEG＝∠EFG，
∴∠OPQ＝∠OQP，
∴OP＝OQ．
21．（1）证明：如图1中，
∵AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，
∴△ABD是等腰三角形，
∴BE＝DE，
∵BF＝FC，
∴EF＝DC＝＝（AC﹣AB）．
（2）结论：EF＝（AB﹣AC），
理由：如图2中，延长AC交BE的延长线于P．
∵AE⊥BP，
∴∠AEP＝∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠PAE+∠APE＝90°，
∵∠BAE＝∠PAE，
∴∠ABE＝∠APE，
∴AB＝AP，
∵AE⊥BP，
∴E为BP的中点，
∴BE＝PE，
∵点F为BC的中点，
∴BF＝FC，
∴EF＝PC＝（AP﹣AC）＝（AB﹣AC）．