2024-2025学年度北师版九上数学2.5一元二次方程的根与系数的关系 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
第二章　一元二次方程
*5　一元二次方程的根与系数的关系
数学 九年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
目录
CONTENTS
课前导入
数学 九年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 如果一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）有两个实数根
x1， x2，那么 x1＋ x2＝ 　－ 　， x1 x2＝ 　 　.
特别地，如果一元二次方程 x2＋ Px ＋ Q ＝0有两个实数根 x1，
x2，那么 x1＋ x2＝ ， x1 x2＝ .
2. 以两个实数 m ， n 为根的二次项系数为1的一元二次方程是
（ x － m ）（ x － n ）＝0，即 x2－（ m ＋ n ） x ＋ mn ＝0.
－ 　
　
－ p 　
q 　
数学 九年级上册 BS版
0 2
课前导入
复习引入
1. 一元二次方程的求根公式是什么？
想一想：方程的根与系数 a，b，c 之间还有其他关系吗？
2. 如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？
对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)，其判别式
Δ = b2 - 4ac.
当 Δ ＞ 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ ＜ 0 时，方程无实数根.
探索一元二次方程的根与系数的关系
算一算 解下列方程并完成填空：
(1) x2 + 3x - 4 = 0；(2) x2 - 5x + 6 = 0；(3) 2x2 + 3x + 1 = 0.
一元二次方程 两 根 关 系
x1 x2 x2 + 3x - 4 = 0
x2 - 5x + 6 = 0
2x2 + 3x + 1 = 0
-4
1
2
3
-1
x1 + x2 = -3
x1·x2 = -4
x1 + x2 = 5
x1·x2 = 6
将二次项系数化为 1
猜一猜
（1）一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？
重要发现
方程 x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 满足上面两个关系式
(x - x1)(x - x2) = 0
x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0
x2 + px + q = 0
x1 + x2 = -p， x1·x2 = q
猜一猜
（2）通过前面的表格猜想，如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根分别是 x1，x2，那么，你可以得到什么结论？
证一证：
注：b2 - 4ac≥0
↗
一元二次方程的根与系数的关系
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个实数根为 x1， x2，那么
注意
满足上述关系的前提条件
b2 - 4ac≥0.
归纳总结
数学 九年级上册 BS版
0 3
典例讲练
（1）已知关于 x 的一元二次方程 x2＋ x － a ＝0的一个根是2，则
另一个根是 .
－3　
【解析】（方法一）把 x ＝2代入原方程，得
4＋2－ a ＝0.解得 a ＝6.
则原方程为 x2＋ x －6＝0.
因式分解，得（ x －2）（ x ＋3）＝0.
解得 x1＝2， x2＝－3.
故答案为－3.
（方法二）设另一个根为 m .
由根与系数的关系，得 m ＋2＝－1.
∴ m ＝－3.故答案为－3.
【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系，既可以用方
程的根的意义来解答，也可以用根与系数的关系来解答.一般
地，第二种方法更为简捷.
（2）已知方程 x2－2 x ＋ m ＝0的两根分别为3和 n ，则 m ＋ n 的
值为 .
【解析】由根与系数的关系，得3＋ n ＝2，3 n ＝ m .
解得 n ＝－1， m ＝－3.
则 m ＋ n ＝－4.
故答案为－4.
－4　
【点拨】若一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）有两个实数
根 x1， x2，则 x1＋ x2＝－ ， x1 x2＝ .要注意 x1＋ x2和 x1 x2的符
号.一般情况下，运用根与系数的关系可以减少计算量.
1. 若4和8是方程 x2＋ mx ＋ n ＝0的两个根，则 m － n 的值为
（　B　）
A. －20 B. －44 C. 20 D. 44
2. 若关于 x 的方程2 x2＋ mx －4＝0的一个根为1，则另一个根
为 .
B
－2　
已知 x1， x2是方程 x2－3 x －2＝0的两个根，不解方程，求下列
代数式的值：
（1） ＋ ；　　　　（2）（ x1－3）（ x2－3）.
解：由一元二次方程的根与系数的关系，得
x1＋ x2＝3， x1 x2＝－2.
（1） ＋ ＝ ＋ ＋2 x1 x2－2 x1 x2＝（ x1＋ x2）2－2 x1 x2＝
32－2×（－2）＝13.
（2）（ x1－3）（ x2－3）＝ x1 x2－3 x1－3 x2＋9＝ x1 x2－3（ x1＋
x2）＋9＝－2－3×3＋9＝－2.
【点拨】小题中 x1， x2的地位是“对称的”，这样的式子一般
用一元二次方程的根与系数的关系就可以解决.
1. 已知关于 x 的方程 x2－（ k ＋4） x ＋4 k ＝0（ k ≠0）的两个实
数根为 x1， x2.若 ＋ ＝3，则 k ＝ 　 　.
2. 已知方程 x2－3 x －1＝0的两个实数根为α，β，求下列各
式的值：
　
解：由一元二次方程的根与系数的关系，得α＋β＝3，αβ＝－1.
（1） ＋ ；　
（1） ＋ ＝ ＝ ＝－3.
（2） ＋ ＝ ＝ ＝ ＝－11.
（2） ＋ ；
（3）α2－α＋2β.
（3）∵α方程是 x2－3 x －1＝0的一个根，
∴α2－3α－1＝0.
∴α2＝3α＋1.
∴α2－α＋2β＝3α＋1－α＋2β＝2（α＋β）＋1＝6＋1＝7.
已知关于 x 的一元二次方程 x2－6 x ＋2 m －1＝0有 x1， x2两个实数根.
（1）若 x1＝1，求 x2及 m 的值.
（2）是否存在实数 m ，满足（ x1－1）（ x2－1）＝ ？若存
在，求出实数 m 的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）根据题意，得Δ＝（－6）2－4（2 m －1）≥0.
解得 m ≤5.
由根与系数的关系，得 x1＋ x2＝6， x1 x2＝2 m －1.
∵ x1＝1，∴1＋ x2＝6， x2＝2 m －1.
∴ x2＝5， m ＝3.
（2）存在.
∵（ x1－1）（ x2－1）＝ ，
∴ x1 x2－（ x1＋ x2）＋1＝ ，
即2 m －1－6＋1＝ .整理，得 m2－8 m ＋12＝0.
解得 m1＝2， m2＝6.
经检验， m1＝2， m2＝6是原分式方程的解.
又∵ m ≤5且 m －5≠0，即 m ＜5，∴ m ＝2.
（2）是否存在实数 m ，满足（ x1－1）（ x2－1）＝ ？若存
在，求出实数 m 的值；若不存在，请说明理由.
【点拨】解决第（2）问需要注意的两个地方：①得到的关于 m
的方程是分式方程，需要检验是否有增根；②由于方程的系数
中有参数 m ，容易忽略由Δ≥0得出的参数的取值范围.
（2023·南充）已知关于 x 的一元二次方程 x2－（2 m －1） x －3
m2＋ m ＝0.
（1）求证：无论 m 为何值，方程总有实数根；
（1）证明：∵Δ＝ －4×1×（－3 m2＋ m ）＝16
m2－8 m ＋1＝ ≥0，
∴无论 m 为何值，方程总有实数根.
（2）解：∵ x1， x2是关于 x 的一元二次方程 x2－（2 m －1） x －
3 m2＋ m ＝0的两个实数根，∴ x1＋ x2＝2 m －1，
x1 x2＝－3 m2＋ m .∵ ＋ ＝ ＝ －2＝－ ，
∴ －2＝－ .∴ ＝－ .整理，
得5 m2－7 m ＋2＝0.解得 m1＝ ， m2＝1，∴ m 的值为 或1.
（2）若 x1， x2是方程的两个实数根，且 ＋ ＝－ ，求 m 的值.
演示完毕 谢谢观看