2023-2024学年重庆实验外国语学校高二（下）月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年重庆实验外国语学校高二（下）月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.二项式的展开式中第项的系数是( )
A. B. C. D.
2.若随机变量，且，那么( )
A. B. C. D.
3.若，则的解集为( )
A. B. C. D.
4.下列说法正确的序号是( )
A. 在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，响应变量会增加个单位
B. 利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得最小的原理
C. 已知，是两个分类变量，若随机变量的观测值越大，则结论“与有关系”的犯错概率越大
D. 若、两组成对数据的相关系数分别为，则组数据的相关性更强
5.中国南北朝时期的著作孙子算经中，对同余除法有较深的研究设，，为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为若，，则的值可以是( )
A. B. C. D.
6.如图，左车道有辆汽车，右车道有辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有种．
A.
B.
C.
D.
7.已知，，，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数有两个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则下列结论正确的有( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，，则
10.下列说法正确的是( )
A. 甲袋中有个白球、个红球，乙袋中有个白球、个红球，从两个袋中任选一袋，从中任取一球，则取到的球是白球的概率为
B. 件产品中有件正品，件次品，从中任取件，则至少取到件次品的概率为
C. 已知变量，线性相关，两个变量满足一元线性回归模型，则的最小二乘估计为
D. 定义统计量，则的值越大，表示模型的拟合效果越好
11.已知函数是定义域为的可导函数，若，且，则( )
A. 是奇函数 B. 是减函数
C. D. 是的极大值点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数在处的切线方程为，则 ______．
13.如图，一个质点在随机外力作用下，从原点出发，每隔秒等可能的向左或向右移动一个单位，移动次之后的质点位于，则 ______．
14.我市周边接壤的省份如图，用若干种颜色标注个地图的区域，使得相邻区域颜色不同，则最少需要______种颜色，此时共有______种涂色方案．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求曲线在处的切线方程；
求的极值．
16.本小题分
某学校组织学生参加知识竞赛，为了解该校学生的考试成绩，采用随机抽样的方法抽取名学生进行调查，成绩全部分布在分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示．
求频率分布直方图中的值；
估计这名学生成绩的中位数；
由频率分布直方图可以认为，这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，，试用正态分布知识解决下列问题：
若这次竞赛共有万名学生参加，试估计竞赛成绩超过分的人数结果精确到个位；
现从所有参赛的学生中随机抽取人进行座谈，设其中竞赛成绩超过分的人数为，求随机变量的期望和方差．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
17.本小题分
某种疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取患该疾病的病人进行调查，其中女性是男性的倍，男性患Ⅰ型病的人数占男性病人的，女性患Ⅰ型病的人数占女性病人的．
若该地区男性患者人，请列出的列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为所患疾病类型与性别有关？
某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物两个团队各至多安排个接种周期进行试验甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，每人每次接种花费元，每个周期至多接种次，第一个周期连续次出现抗体则终止本接种周期进入第二个接种周期，否则需依次接种至第一周期结束，再进入第二周期；第二接种周期连续次出现抗体则终止试验，否则需依次接种至试验结束；乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，每人每次花费元，每个周期接种次，每个周期必须完成次接种，若一个周期内至少出现次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期，假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立当，时，从两个团队试验的平均花费考虑，试证明该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的．
附：，
18.本小题分
已知函数，．
当时，求的单调区间；
当时，记的极小值点为，证明：存在唯一零点，且参考数据：
19.本小题分
设集合，为的非空子集，随机变量，分别表示取到子集中的最大元素和最小元素的数值．
若的概率为，求；
若，求且的概率；
求随机变量的均值．
参考答案
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15.解：由题意得．
则，又，
所以所求的切线方程为，即．
由可知，
令，得．
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故当时，有极小值，无极大值．
16.解：由频率分布直方图中条形图的面积所表示的频率之和为得：
，
解得．
由频率分布直方图，因为前组的频率为，
所以估计名学生成绩的中位数为．
由频率分布直方图，可利用区间中点值和频率来估计平均数，
即，
所以，
则，
题意中是把这个万人看成一个总体，这里面每个人的成绩分布是服从正态分布，
为了便于计算，我们又可以把这个事件看成伯努利事件，
每个人的成绩超过分的概率约是，
所以，
此时，
即估计竞赛成绩超过分的人数约为人．
由得，则，
由于是从所有参赛的学生中随机抽取人，
所以我们把这个事件看作伯努利事件，即随机变量，
所以，．
17.解：列联表如下：
Ⅰ型病 Ⅱ型病 合计
男
女
合计
零假设：所患疾病类型与性别无关，
由表可得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
故认为所患疾病类型与性别有关，此推断犯错误的概率不大于．
设甲研发团队试验总花费为元，则的可能取值为、、，
，
，
，
，
在递减，
，
设乙研发团队试验总花费为元，则的可能取值为、，
，
，
，
设，
，
所以函数在递减，，
恒成立，
所以，该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的．
18.解：当时，函数，
，
设，则，
当时，，在区间单调递增；
当时，，在区间单调递减，
当时，取得极大值，所以，即，
即在上单调递减，无单调递增区间；
证明：，
设，则，
当时，，所以在上单调递增，
，，
所以存在，使得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又且时，，
所以存在唯一，使得，存在唯一零点．
要证，只需证，
即要证，
因为，
所以，，
设，则，
令，解得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
当时，取得极大值，
所以，即成立，命题得证．
19.解：由题意，集合的非空子集的个数为，所以集合共有种可能，
当时，则最大元素为的子集可视为集合的子集与集合的并集，
而集合的子集为个，
所以若时，集合共有种可能，
所以，可得，解得．
当时，集合的非空子集个数有个，
所以集合的所有可能情况有个，
若且，即集合中最大的元素为，最小元素为，
则集合中元素个数最少为，即，
集合中元素个数最多为，即，
因为集合中一定含有和，将和绑定与元素，，，，，进行任意组合，
则满足且的集合可能情况有：种，
所以，
故当时，且的概率为．
集合的非空子集共有个，其中最大值为的子集可视为的子集与集合的并集，
而集合的子集有个，所以为的子集共有个，
同理可得：为的子集共有个；为的子集共有个，
，为的子集共有个，
所以，
最小元素为的子集可视为集合与集合的并集，
因为集合的子集为个，
所以最小元素为的子集有个，
同理可得：元素为的子集有个；为的子集有个；
，为的子集共有个，所以，
由此可得：，
故E．
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