2023-2024学年甘肃省白银市靖远一中高二（下）期末数学模拟试卷（含答案）

2023-2024学年甘肃省白银市靖远一中高二（下）期末数学模拟试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，，，则( )
A. B. C. D.
2.复数( )
A. B. C. D.
3.双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
4.已知等比数列，是其前项和，，则( )
A. B. C. D.
5.若函数的单调递增区间是，则( )
A. B. C. D.
6.某服装品牌市场部门为了研究销售情况，统计了一段时间内该品牌不同服装的单价元和销售额元的数据，整理得到下面的散点图：
已知销售额单价销量，根据散点图，下面四个回归方程类型中最适宜作为服装销量与单价的回归方程类型的是( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆的方程为，其中，，，依次将椭圆的下半部分分成等份，若是椭圆的右焦点，则( )
A. B. C. D.
8.已知方程在上恰有个不等实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下药物效果与动物试验列联表：
患病 未患病 总计
服用药
没服用药
总计
由上述数据给出下列结论，其中正确的是( )
附：；
A. 能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效
B. 不能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效
C. 能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效
D. 不能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效
10.下列说法正确的是( )
A. 设随机变量服从二项分布，则
B. 已知随机变量服从正态分布，且，则
C. 设随机变量服从二项分布，若，则
D. 已知随机变量服从两点分布，，且，则随着的增大而增大，随着的增大而增大
11.如图，在直四棱柱中，四边形为正方形，，为面对角线上的一个动点，则下列说法正确的有( )
A. 平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与所成角的正切值为
D. 异面直线与所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点，，若点在平面内，则 ______．
13.某车间加工零件的数量与加工时间的统计数据如表：
零件数个
加工时间分钟
现已求得如表数据的线性回归方程为，但由于某种失误，丢失了其中一个数据，则丟失的数据是______．
14.抛物线镜面有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经过抛物线上的另一点反射后，平行于入射光线射出，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某学校为丰富学生的课余生活，利用下午放学后的个小时时间，组织多种形式的文体兴趣小组经过一个学期后，学校对兴趣小组满意度进行调查，现从该校的初、高中学生中随机抽取人作为样本，得到如表单位：人次．
满意度 初中学生 高中学生
男生 女生 男生 女生
满意
不满意
通过上表判断能否有的把握认为对兴趣小组的满意度与初、高中学生有关；
现利用分层抽样的方法从调查的学生中按满意与不满意的标准抽取出人，再从这人中任选人，记为这人中为满意的人数，求的分布列和数学期望．
16.本小题分
如图，是圆柱底面圆的直径，点、是的两个三等分点，、为圆柱的母线．
求证：平面；
设，为的中点，求二面角的余弦值．
17.本小题分
前些年，为了响应绿色环保出行，提供方便市民的交通，某市大力推行“共享单车”，根据统计，近年这个城市“共享单车”保有量数据如表：
年份代号
保有量万辆
从这年中任意选取两年，记单车保有量超过万辆的年份数量为，求的分布列及期望；
用函数对两个变量，的关系进行拟合，求关于的回归方程系数精确到．
参考数据：，设．
参考公式：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．
18.本小题分
已知椭圆及直线：．
若直线与椭圆没有公共点，求实数的取值范围；
为椭圆上一动点，若点到直线距离的最大值为，求直线的方程．
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若，设．
(ⅰ)证明：函数在区间内有唯一的零点；
(ⅱ)记(ⅰ)中的零点为，证明：当时，．
参考答案
1.
2.
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4.
5.
6.
7.
8.
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10.
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12.
13.
14.
15.解：根据题意，得到的列联表，如下表所示：
初中学生 高中学生 合计
满意
不满意
合计
零假设：兴趣小组的满意度与初、高中学生无关，
则，
根据小概率值的独立性检验，可以判断不成立，
即有的把握认为对兴趣小组的满意度与初、高中学生有关；
由题意，满意的中学生抽取人，则不满意的学生中抽取人，
故的可能取值为，，，
则，
所以变量的分布列为：
则．
16.证明：连结，
点、是的两个三等分点，
，平面；
又、均为圆柱的母线，，
平面，
又，平面平面，
又平面，平面．
解：连结，
是圆的直径，，
又为圆柱的母线，故CD、、两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
由条件，，，，，，，
，，
设平面的法向量，则，
取，得，
取平面的法向量，
，
故所求二面角的余弦值为．
17.解：的所有取值为，，，
，
的分布列为：
分
对两边取自然对数得：，
设，，
，
，
又，，分
18.解：联立方程组，消去得：，
因为直线与椭圆没有公共点，
所以，解得或，
所以实数的取值范围为；
由题意，点到直线距离的最大值，
等价于与直线平行且与椭圆相切的直线与直线间的距离，
由中，，解得或，
此时直线：或直线：与椭圆相切，
当与之间的距离为时，可得，解得或舍去，
当与之间的距离为时，可得，解得或舍去，
综上，所求直线的方程为或．
19.解：由，
，令，得或．
当时，由，得或，由，得．
所以在和上单调递增，在上单调递减，
当时，由，得，
所以在上单调递增
当时，由，得或，由，得．
所以在和上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
证明：当时，，
与的单调性相同，
由知，当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
，
由零点存在定理有在上有唯一零点，
所以函数在区间内有唯一的零点．
证明：设，则，
由，得，
由，得．
所以在上单调递减，在上单调递增．
又因为，所以要证明当时，，即证，
只要证明，即证，
即证，
因为，即，
所以只要证明，即证．
因为在上单调递增，所以只需证明．
因为，所以只需证明．
因为，
设，
则，
所以在上单调递增，
所以，
所以，即原不等式得证．
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