2023-2024学年福建省泉州市晋江一中高二（下）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省泉州市晋江一中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数是奇函数，则( )
A. B. C. D.
2.等差数列和等比数列都是各项为正实数的无穷数列，且，，的前项和为，的前项和为，下列判断正确的是( )
A. 是递增数列 B. 是递增数列 C. D.
3.中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比较大时，公式中真数中的可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从提升至，则大约增加了
A. B. C. D.
4.年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.已知菱形的边长为，，则( )
A. B. C. D.
7.下列结论正确的是( )
A. 已知一组样本数据，，，现有一组新的数据，，，，则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大
B. 已知具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是
C. 名学生在一模考试中的数学成绩，已知，则的人数为人
D. 已知随机变量，若，则
8.已知是椭圆：的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知函数的图象如图所示，令，则下列说法正确的是( )
A.
B. 函数 图象的对称轴方程为
C. 若函数 的两个不同零点分别为，，则的最小值为
D. 函数 的图象上存在点，使得在点处的切线斜率为
11.已知抛物线：的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于、两点，为线段中点，、、分别为、、在上的射影，且，则下列结论中正确的是( )
A. 的坐标为 B.
C. A、、、四点共圆 D. 直线的方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为______．
13.在中，，，的对边分别为，，，若，，，则的值为______．
14.已知，分别是函数和图像上的动点，若对任意的，都有恒成立，则实数的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
当时，求函数在区间上的最大值．
16.本小题分
如图，是圆柱下底面的圆心，该圆柱的轴截面是边长为的正方形，为线段上的动点，，为下底面上的两点，且，，交于点．
当时，证明：平面；
当为等边三角形时，求二面角的余弦值．
17.本小题分
某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取个球，每次摸球结果相互独立，盒中有分和分的球若干，摸到分球的概率为，摸到分球的概率为．
若学生甲摸球次，其总得分记为，求随机变量的分布列与期望；
学生甲、乙各摸次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励已知甲前次摸球得了分，求乙获得奖励的概率．
18.本小题分
已知双曲线：的一条渐近线方程为，焦距为，左顶点为，点，是双曲线的右支上相异的两点，直线，分别与直线：交于点，，且以线段为直径的圆恰过双曲线的右焦点．
求双曲线的标准方程；
求面积的最小值．
19.本小题分
记集合无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设，．
定义运算：若，，则，且．
设，用，，，，，表示；
若，，，证明：；
若数列满足数列满足设，证明：．
答案解析
1.
【详解】解：函数，其定义域为，
又由是奇函数，则以，
即
，
所以．
故选：．
2.
【详解】解：等差数列和等比数列都是各项为正实数的无穷数列，设公差为，，
公比为，，且，，
若，则，，为常数列，故AB错误；由，故C错误；
由排除法可得D正确．
故选：．
3.
【详解】解：当时，，当时，，
，
大约增加了，
故选：．
4.
【详解】解：先将五位球迷分成组，其中组人数为”，，“，
再将这组分到三个不同的区域，
则不同座位方式共有种．
故选：．
5.
【详解】解：因为，
可得，
所以，
则．
故选：．
6.
【详解】解：已知菱形的边长为，，
因为，
所以．
故选：．
7.
【详解】解：对于，新数据的和为，故平均数不变，
又，
故原数据的极差为，新数据极差为，
所以，所以极差变小了，
由于平均数没变，说明新数据相对于原数据更集中于平均数附近，
故数据更稳定，所以方差应该变小，故A错误；
对于，因为线性回归方程为过样本点的中心，
所以，解得，故B错误；
对于，因为，已知，
所以，所以人数为人，故C错误．
对于，因为，
所以，，解得，故D正确．
故选：．
8.
【详解】解：由题意，椭圆的图形如图：是椭圆：的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，圆的圆心为：，圆的半径为：，
所以，，
所以，
所以：，可得，
可得，即，
所以
则椭圆的离心率：．
故选：．
9.
【详解】解：对于，因为，
所以，故A正确；
对于，，故B正确；
对于，，故C正确；
对于，，故D错误．
故选：．
10.
【详解】解：由图象知，
，得，得，得，
则，
，得，得，，
得，，
，当时，，则，，
则，
则，故A正确，
由，得，，
即的对称轴方程为，，故B正确，
由得，得，
则或，
即或，，
则当时，，即的最小值为 ，故C正确，
，，
函数 的图象上不存在点 ，使得在 点处的切线斜率为，故D错误，
故本题选ABC．
11.
【详解】解：对于选项，抛物线：的焦点为，错；
对于选项，当点在第一象限，过点作垂直于，为垂足，如图所示，
设，则，
因为，，，则四边形为矩形，
所以，，
则，
设直线的倾斜角为，则为锐角，且，则，
此时，直线的方程为，
当点在第二象限时，同理可知，直线的方程为，
综上所述，直线的方程为，对；
对于选项，不妨设点在第一象限，则直线的方程为，
设点、，
联立，可得，
，，，
设点，则，故点，
所以，直线的斜率为，
而直线的斜率为，所以，，故，
又因为，故A、、、四点共圆，
同理可知，当点在第二象限时，、、、四点共圆，
综上所述，故A、、、四点共圆，对；
对于选项，，
，对．
故选：．
12.
【详解】解：因为，
所以，
则的虚部为．
故答案为：．
13.
【详解】解：因为，，，
即，
所以，
故为等边三角形，
则．
故答案为：．
14.
【详解】解：点到直线的距离，
则，
，
令，由知，在上单调递增，
当时，，当时，所以，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
因为对任意的，都有恒成立，
所以，
所以实数的最大值为．
故答案为：．
15.解：函数，定义域为，
则，
当时，，在上为增函数，
当时，若，，为减函数，若，，为增函数，
综上，当时，的增区间为，没有减区间；当时，的减区间为，增区间为；
由知：当时，在区间上为增函数，函数的最大值为，
当时，在区间上为减函数，函数的最大值为，
当时，在上为减函数，在上为增函数，
函数的最大值为，
由，得，
若时，函数的最大值为，
若时，函数的最大值为，
综上，当时，函数的最大值为；当时，函数的最大值为．
【详解】求出，再分和两种情况讨论，结合的正负得到的单调性；
对分情况讨论，得到的单调性，进而求出函数在区间上的最大值．
16.证明：由题，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
此时，
由于，可求出，
因此，
设平面的法向量，
则令，则，即，
所以，即，
所以平面；
解：由则有，
设，若为等边三角形，则，
又，于是或舍去，
由知平面的法向量为，
，
设平面的法向量为，
则取，则，
设二面角为，由图知为锐角，．
【详解】建立空间坐标系求出平面的法向量，再说明可证；
利用空间向量二面角求法即可求解．
17.解：由题意知学生甲摸球次总得分的取值为，，，
，，，
所以的分布列为：
所以；
记甲最终得分为分，，，，乙获得奖励，
，
．
当甲最终得分时，乙获得奖励需要最终得分，
则；
当甲最终得分时，乙获得奖励需要最终得分或分，
则，
故
，
即乙获得奖励的概率为．
【详解】由题意知学生甲摸球次总得分的取值为，，，结合相互独立事件的概率公式求出各概率，即可求解分布列及期望值；
记甲最终得分为分，，，，乙获得奖励，结合相互独立事件的概率公式及条件概率，全概率公式即可求解．
18.解：由题意可知，
解得，
故双曲线的标准方程为；
由知，，则直线是线段的垂直平分线，
因为以线段为直径的圆恰过点，则以线段为直径的圆恰过点，
所以，故，
设直线：，，，
由双曲线的对称性可得，必在轴两侧，
则，故，
中联立方程，化简得，
则，即，
所以，，
由题、必在轴两侧，可得，
因为，所以，所以，所以，
又，，
则
，
将代入中并整理，得，
解得舍去或，
所以直线：过定点，，
所以
，
令，则，
由对勾函数的性质可得在上单调递减，则，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以面积的最小值为．
【详解】利用双曲线的性质列方程即可求解；
由题可得，设直线：，，，由双曲线的对称性可得，必在轴两侧，然后联立直线与双曲线的方程，由根与系数的关系结合向量的坐标运算可得，可得的值并能判断直线：过定点，然后可得，再利用函数的单调性即可求解面积的最值．
19.解：因为，所以
所以，
所以．
证明：因为，
所以，
又因为
，
所以
，
所以；
证明：对于，，
因为，
所以，
所以，
所以，
，
所以
．
【详解】根据新定义，由项系数相等可得；
利用新定义证明即可；
根据多项式的乘法可得，然后利用通项公式整理化简即可得证．
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