2023-2024学年上海市长宁区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市长宁区高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某高中共有学生人，其中高一、高二、高三的学生人数比为：：，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为的样本，则高三年级应该抽取人．
A. B. C. D.
2.圆与圆的位置关系是( )
A. 相交 B. 内切 C. 相离 D. 外切
3.给出下列个命题：
若事件和事件互斥，则；
数据，，，，，，，的第百分位数为；
已知关于的回归方程为，则样本点的离差为；
随机变量的分布为，则其数学期望．
其中正确命题的序号为( )
A. B. C. D.
4.将正整数分解为两个正整数、的积，即，当、两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解如，其中即为的最优分解，当、是的最优分解时，定义，则数列的前项的和为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.双曲线的渐近线方程为______．
6.直线与直线的夹角大小为______．
7.在的二项展开式中，项的系数为______．
8.已知等差数列中，，，则的值等于 ．
9.设随机变量服从正态分布，且，则 ______．
10.已知函数，则 ______．
11.从装有个红球和个蓝球的袋中，每次不放回地随机摸出一球记“第一次摸球时摸到红球”为，“第二次摸球时摸到蓝球”为，则 ______．
12.某单位为了解用电量度与气温之间的关系，随机统计了某天的用电量与气温由表中数据所得回归直线方程为，据此预测当气温为时，用电量的度数约为______度
气温
用电量度
13.有名男生与名女生排成一队照相，名女生互不相邻的概率为______．
14.已知在上可导的函数的图象如图所示，则不等式的解集为______．
15.设、为双曲线：左、右焦点，且的离心率为，若点在的右支上，直线与的左支相交于点，且，则 ______．
16.对于任意的、，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为______．
三、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知数列满足，．
求证：数列是等比数列；
求数列的通项公式．
18.本小题分
已知直线方程：，：，求出实数分别取何值时，与分别：相交、平行、垂直；
已知曲线的方程为，求过点且与曲线相切的直线方程．
19.本小题分
为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随机调查了名人员，调查数据如表单位：个若规定显著性水平，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效．
附：，．
未患病者 患病者 合计
未服用中草药甲
服用中草药甲
合计
已知一个盒子中装有大小和质地相同的个红球和个白球现从盒子中不放回地依次随机取出个球，设个球中红球的个数为，求的分布、期望和方差．
20.本小题分
已知抛物线：．
求抛物线的焦点的坐标和准线的方程；
过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点、，求线段的长；
已知点，是否存在定点，使得过点的直线与抛物线交于两个不同的点、均不与点重合，且以线段为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
已知函数其中为常数．
若，求曲线在点处的切线方程；
当时，求函数的最小值；
当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由．
答案解析
1.
【详解】解：高三年级学生的人数所占的比例为，
故应从高三年级抽取的学生的人数为：，
故选：．
2.
【详解】解：把圆化为标准方程得：，
圆心的坐标为，半径，
由圆，得到圆心坐标为，半径，
两圆心间的距离，
，即，
则两圆的位置关系是内切．
故选：．
3.
【详解】解：对于，若事件和事件互斥，，错误；
对于，共有个数据，，根据百分位数的定义直接取第六位即可，正确；
对于，若关于的回归方程为，则样本点的残差为，正确；
对于，，错误．
故选：．
4.
【详解】解：当时，，
则，
当时，，
则，
故数列的前项的和为．
故选：．
5.
【详解】解：双曲线的，，
可得渐近线方程为，
即有
故答案为：．
6.
【详解】解：因为直线的斜率为，则其倾斜角为，
所以直线与直线的夹角大小为．
故答案为：．
7.
【详解】解：根据二项式定理，的通项为，，，，，，
当时，即时，可得，
即项的系数为，
故答案为：．
8.
【详解】解：根据题意，设等差数列的公差为，
若，，则有，
解可得：，
则；
故答案为：．
9.
【详解】解：服从正态分布，其正态分布曲线关于轴对称，
由对称性可知．
故答案为：．
10.
【详解】解：由题意得，，
，，．
故答案为：．
11.
【详解】解：由题意可知，，，
故．
故答案为：．
12.
【详解】解：根据题意，，
则，
所以，
故当时．．
故答案为：．
13.
【详解】解：名男生与名女生排成一队照相，共有种不同的排法，
其中名女生互不相邻的排法有种，
所以名女生互不相邻的概率为．
故答案为：．
14.
【详解】解：由函数图象可知的解集为：，
的解集为：．
由，得
或
解得：或；
解得：．
不等式的解集为：．
故答案为：．
15.
【详解】解：由的离心率为，可得，解得．
因为，所以由双曲线的定义，
可得．
故答案为：．
16.
【详解】解：令，，
则，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，
所以；
令，
所以，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，
所以，
又因为对于任意的、，且，不等式恒成立，
即对于任意的、，且，不等式恒成立，
即恒成立，
所以，
即，，
所以的取值范围为：．
故答案为：．
17.解：证明：数列满足，变形可得，
又由，则，
故数列是首项为，公比为的等比数列；
根据题意，由的结论，数列是首项为，公比为的等比数列，
则，
变形可得：．
【详解】根据题意，由，变形可得，结合等比数列的定义分析可得结论；
根据题意，由等比数列的通项公式可得，变形可得答案．
18.解：若与平行，则，解得或，
当时，：与平行，故满足假设，
当时，： 与：重合，故不满足假设，
所以当且仅当时，与平行，
若与垂直，则，解得，
而如果与不平行，也不重合时，那么与相交，
换言之若与相交，则当且仅当且；
圆：的圆心为，半径为；
过点且斜率不存在的直线为，圆心到直线的距离等于半径，故满足题意，
过点且斜率为的直线为，若它与题设圆相切，
则有，解得，此时所求直线为，即，
综上所述，所求直线为或．
【详解】先分别求出平行、重合以及垂直时的值，然后再利用直线的位置关系以及补集的概念即可求得相交时的范围；
分所求直线斜率是否存在进行讨论，由圆心到直线的距离等于半径即可列式求解．
19.解：零假设：中草药甲对预防此疾病无效，确定显著性水平，
，
否定零假设，
中草药甲对预防此疾病有效果．
的所有可能取值为，，，
，
，
，
的分布列为：


．
．
【详解】计算出卡方，即可判断；
的所在可能取值为，，，服从超几何分布，由此能求出结果．
20.解：抛物线：，
则，且焦点在轴正半轴，
故抛物线的焦点，准线：；
由可得，，
则直线方程为，
设，，
联立方程，化简整理可得，，
，，
故；
存在，理由如下：
设直线：，，，
联立方程，消去可得，，
则，，，
，，
若以线段为直径的圆恒过点，
则，
，
，解得或，
若，即，
直线：，过定点，与点重合，不符合题意，
若，即，
则，
则直线：，过定点，
综上所述，直线过定点；
【详解】根据已知条件，结合抛物线的性质，即可求解；
根据已知条件，先求出直线的方程，再与抛物线联立，推得，再根据韦达定理，以及抛物线的定义，即可求解；
根据已知条件，设出直线，并与抛物线联立，推得，再结合向量垂直的性质，以及韦达定理，即可求解．
21.解：当时，可得，
可得，所以且，
所以切线方程为，即，
所以曲线在点处的切线方程为．
解：由函数，可得函数的定义域为，
又由，令，解得，，
当时，与在区间的情况如下表：


极小值
所以函数的极小值为，也是函数的最小值，
所以当时，函数的最小值为；
解：当时，，令，解得，舍去所以函数在上有一个零点；
当时，与在区间的情况如下表：


极大值 极小值
所以函数在单调递增，在上单调递减，
此时函数的极大值为，
所以函数在上没有零点；
又由且函数在上单调递增，
且当时，，
所以函数在上只有一个零点，
综上可得，当时，在上有一个零点．
【详解】当时，求得，得到且，进而求得切线方程；
求得，利用导数求得函数的单调性和极值，即可求解；
当时，求得在上有一个零点；当时，利用导数求得函数的单调性和极值，进而得出函数零点的个数．
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