2023-2024学年重庆市南开中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年重庆市南开中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
3.已知命题：对恒成立，命题：函数在上单调递减，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知，则下列不等式不一定成立的是( )
A. B. C. D.
5.已知函数的图象如图所示，则的解析式可能为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
7.将，，，，，，，，这个数填入如图所示的的九宫格中，每个格子中只填入个数，已知个偶数分别填入有阴影的格子中，则每一行的个数字之积都能被整除的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知，，均为正实数，，且，若恒成立，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于的展开式，下列说法中正确的是( )
A. 各项系数之和为 B. 第二项与第四项的二项式系数相等
C. 常数项为 D. 有理项共有项
10.已知非常值函数及其导函数的定义域均为，则( )
A. 若，则为奇函数
B. 若为偶函数，则
C. 若为偶函数，为奇函数，则
D. 若与均为偶函数，则
11.、世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数对数的发明是数学史上的重大事件恩格斯曾经把对数的发明称为世纪数学的三大成就之一已知，，则下列说法中正确的是( )
A. 若正实数，，满足，则
B. 若一个正整数的次方是一个位整数，则
C. 是位数为的正整数
D. 将无理数写成小数形式后，其小数点后第一位数字为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则不等式的解集为______．
13.写出一个同时具有下列性质的函数 ______．
为定义在上的非常值函数；
且，均存在唯一的且，使得成立；
，均存在，使得成立．
14.已知函数，若函数有三个不同的零点，，，则实数的取值范围为______；的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知二次函数满足且．
求的解析式；
设，，求函数的最小值．
16.本小题分
甲，乙，丙，丁四名选手进行象棋比赛，已知甲和乙是专业选手，丙和丁是业余选手已知专业选手对业余选手时专业选手获胜的概率为、业余选手获胜的概率为，专业选手对专业选手时每人获胜的概率均为，业余选手对业余选手时每人获胜的概率均为，比赛规则为：第一轮随机安排两两对赛，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮胜者为第一名．
求选手甲和丁在第一轮对赛的概率；
求选手甲和丁在第二轮对赛的概率；
现有两种比赛方案，
方案一：第一轮安排专业选手与专业选手对赛；
方案二：第一轮安排业余选手与专业选手对赛．
比较两种方案中业余选手获得第一名的概率的大小，并解释结果．
17.本小题分
已知函数．
当时，证明：为奇函数；
当时，函数在上的值域为，求的取值范围；
当时，证明：为中心对称函数．
18.本小题分
已知函数．
求的单调性；
若，求实数的取值集合．
19.本小题分
已知椭圆的左右顶点为，，左右焦点为，，过，分别作两条互相平行的直线，，其中交于，两点，交于，两点，且点，位于轴同侧，直线与交于点当与轴垂直时，是面积为的等腰直角三角形．
求椭圆的方程；
若直线与直线的斜率之和为，求直线，的方程；
求的取值范围．
参考答案
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15.解：设，
则，
所以，，即，
因为，
所以，；
，
的开口向上，对称轴为，
当，即时，在上单调递减，则；
当，即时，在上单调递增，则；
，即时，在上先减后增，则，
故．
16.解：由题意，第一轮的对赛的所有情况有：
甲乙，丙丁；甲丙，乙丁；甲丁，乙丙，共三种情况，
故甲和丁在第一轮对赛的概率为；
由，第一轮的对赛的所有情况有三种：
甲乙，丙丁：甲和丁在第二轮对赛则甲、丁分别战胜对手，
故甲和丁在第二轮对赛的概率为；
甲丙，乙丁：甲和丁在第二轮对赛则甲、丁分别战胜对手，
故甲和丁在第二轮对赛的概率为；
甲丁，乙丙：甲和丁在第二轮对赛的概率为，
故甲和丁在第二轮对赛的概率为；
方案一：第一轮安排专业选手与专业选手对赛：
则第二轮必定为专业选手与业余选手对赛，则业余选手获得第一名的概率为，
方案二：第一轮安排业余选手与专业选手对赛：
第二轮为全专业选手的概率为，
则业余选手获得第一名的概率为，
第二轮为全业余选手的概率为，
则业余选手获得第一名的概率为，
第二轮为一个专业选手与一个业余选手的概率为，
此时业余选手获得第一名的概率为，
综上业余选手获得第一名的概率为，
所以方案一中业余选手获得第一名的概率大于方案二中业余选手获得第一名的概率．
17.证明：当时，，
由，得函数的定义域为，
，
所以函数为定义域上的奇函数．
解：当时，，
所以是单调增函数，在上的值域为，
所以，，
则、是的两个解，得，
设，则，，
在和上单调递减，上单调递增，
其中，在上值域为，
在上值域为且取该区间最大值，
综上，，即的取值范围为
当时，，
，
所以关于中心对称．
18.解：的定义域为，，
设，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，即在定义域内恒成立，
所以在和上单调递减，无单调增区间．
当时，等价于；当时，等价于，
设，则，
设，则，
当时，
若，则，，所以在上单调递减，
所以，不符合题意；
若，则，所以，即在上单调递增，
所以，即，
所以在上单调递增，
所以，符合题意；
若且时，，令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，即，在上单调递减，
所以，不符合题意，
综上，，
当时，同理可得，
所以，
故实数的取值集合为
19.解：设，，故直线的方程为，
联立方程，得，所以，
不妨设，由是等腰直角三角形可得，
所以直线的方程为：，同理可得的方程为：，
所以交点，
由是等腰直角三角形面积为可得，解得，
又在直线上，所以，
所以，又，
解得：，，
所以椭圆的方程为；
由图形对称性可得：，因为直线与直线的斜率之和为，
所以，
设：，，，
将和椭圆得方程联立得，
所以，
所以
，
即，又，，，
故直线：，直线：；
由题，易得点与点关于原点对称，由知，
则直线，直线，
将两式相乘得，
其中
，
故点的轨迹方程为：，即，
设，则，
所以，
当时，，
当时，，
由基本不等式可得当且仅当时取等号，
则，
所以，
综上，，
故．
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