2023-2024学年上海市黄浦区格致中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年上海市黄浦区格致中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.有件产品，其中有件次品，从中不放回地抽件产品，抽到的次品数的数学期望值是( )
A. B. C. D.
2.在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，用表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则( )
A. B. C. D.
3.若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.定义区间，，，的长度为如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为其中，为自然对数的底数，那么称这个函数为“函数”下列四个命题：
函数不是“函数”；
函数是“函数”，且；
函数是“函数”；
函数是“函数”，且．
其中正确的命题的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.双曲线的离心率为______．
6.若一个球的表面积为，则该球的半径为______．
7.已知函数，则 ______．
8.设随机变量服从二项分布，则 ______．
9.已知一个二胎家庭中有一个男孩，则这个家庭中有女孩的概率为______．
10.事件、互斥，它们都不发生的概率为，且，则 ______．
11.若直线与曲线相切，则实数的值为______．
12.设随机变量的分布，则 ______．
13.某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若参加此次联考的学生共有人，则数学成绩超过分的人数大约为______．
14.已知双曲线：，任取双曲线右支上两个不相同的点，，都有成立，则实数的取值范围是______．
15.正项等比数列中，与是的两个极值点，则 ______．
16.椭圆：的内接等腰三角形，其中它有至少两个顶点是椭圆的顶点，这样的等腰三角形的个数为______．
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在正三棱柱中，已知，是的中点．
求直线与所成的角的大小；
求证：平面平面，并求点到平面的距离．
18.本小题分
某公司为了解服务质量，随机调查了位男性顾客和位女性顾客，每位顾客对该公司的服务质量进行打分已知这位顾客所打的分数均在之间，根据这些数据得到如下的频数分布表：
顾客所打分数
男性顾客人数
女性顾客人数
估计这位顾客所打分数的平均值同一组数据用该组区间的中点值为代表．
若顾客所打分数不低于分，则该顾客对公司服务质量的态度为满意；若顾客所打分数低于分，则该顾客对公司服务质量的态度为不满意根据所给数据，完成下列列联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关？
满意 不满意
男性顾客
女性顾客
附；．
19.本小题分
设常数且，椭圆：，点是上的动点．
若点的坐标为，求的焦点坐标；
设，若定点的坐标为，求的最大值与最小值；
设，若上的另一动点满足为坐标原点，求证：到直线的距离是定值．
20.本小题分
已知函数．
若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数的值；
设，若函数在区间为减函数时，求实数的取值范围；
对于函数，若函数有两个极值点为、，且不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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14.．
15.
16.
17.解：，是直线与所成的角，
在直角三角形中，，
直线与所成的角的大小为；
平面，平面，，
又是的中点，，
，，平面，平面，
又平面，平面平面，
过作于，平面平面，
且平面平面，平面，
平面，线段的长就是点到平面的距离，
，点到平面的距离为．
18.解：由题意知，计算，
所以估计这位顾客所打分数的平均值约为．
根据题意，填写列联表如下：
满意 不满意 合计
男性顾客
女性顾客
合计
根据表中数据，计算，
因为，
所以有的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关．
19.解：椭圆：，点是椭圆上的点，所以，
则，
所以的焦点坐标为；
解：设，其中，且，
则，即，
所以，
因为，
所以当时，取得最大值为，
当时，取得最小值为，
所以的最大值为，最小值为；
证明：当时，椭圆的方程为，
设，，
当直线的斜率存在时，设其方程为，
联立方程组，
可得，
所以，
则，
因为，
所以，
即，
即，
所以，
化简可得，满足，
故点到直线的距离为定值；
当直线的斜率不存在时，因为，
则直线的方程为，
所以点到直线的距离为定值．
综上所述，到直线的距离是定值．
20.解：因为，其中，则，
所以，，
所以函数的图象在点处的切线方程为，
将原点的坐标代入切线方程可得，解得．
，则，
因为函数在区间上为减函数，
故对任意的，恒成立，可得，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
因为，，则，故．
故实数的取值范围是．
因为，
由题意可知，方程在上有两个不等的实根，
即方程在上有两个不等的实根，
则，可得，
由可得，
又因为
，
所以，
令，令，其中，，
所以函数在上为减函数，
故当时，，所以，
因此，实数的取值范围是．
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