6.1 余弦定理与正弦定理 教案

第二章 平面向量及其应用
§6 平面向量的应用
6.1余弦定理与正弦定理（2）
1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.
2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题.
3.通过正弦定理的推导、和应用提升逻辑推理、数学运算的素养.
教学重点：正弦定理.
教学难点：正弦定理的推导.
PPT课件.
一、探索新知
★资源名称： 【知识点解析】正弦定理
★使用说明：本资源详细讲解了正弦定理的内容和相关知识.
注：此图片为视频截图，如需使用资源，请于资源库调用．
1.创设情境，引入课题
问题1：如图，在△ABC中，已知A＝30°，B＝45°，BC＝4，如何求AC的长度？
师生活动：能用余弦定理进行求解吗？情境中的问题可以转化为什么问题求解？
预设的答案：不能，情境中的问题可以转化为：已知两角A,B和一角对边，如何求
设计意图：通过提出实际问题，以前所学知识很难解决这个问题, 要解决这个问题，就需要进一步学习——正弦定理.（版书）
2．推导正弦定理
问题2：观察直角三角形，它的边角之间有什么关系？
师生活动：学生回忆，回答问题.
预设答案：.
追问1：你能发现两等式之间的联系吗？
师生活动：学生回忆，回答问题.
预设答案：能，.
设计意图：直观感受直角三角形的边角关系，为学习正弦定理做铺垫.
追问2：在直角三角形中，我们知道＝＝成立，在一般的△ABC中，＝＝还成立吗？
师生活动：学生回忆，回答问题.
预设答案：在一般的△ABC中，＝＝仍然成立．
设计意图：由一般到特殊，因为正弦定理.
问题3:在锐角三角形ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，如何推导成立？
师生活动：教师引导学生推导.
预设答案：如图，设AB边上的高为CD，CD＝asin_B＝bsin_A，
∴＝，同理，作AC边上的高BE，可得＝，
∴＝＝.
追问1问题3的推导，体现了什么数学思想？如果是钝角三角形，又如何转化证明？
师生活动：让学生自由发挥，分组讨论，一起判断，教师点评.
预设答案：转化化归，化斜为直.如图，在钝角三角形ABC中，A为钝角，过C作CD⊥AB，垂足为点D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知，＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sin A，＝sin B.
∴CD＝bsin A＝asin B，∴＝.
同理，＝，故＝＝.
设计意图：用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使我们理解更深刻，记忆更牢固.
知识讲解1：
正弦定理：
(1)语言表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
(2)符号表示：＝＝.
追问：你能解决问题1提出的问题吗？
师生活动：学生思考，解决问题.
预设答案：能，因为A＝30°，B＝45°，BC＝4，所以由正弦定理得,所以.
设计意图：进一步理解正弦定理.
3.正弦定理的变形
问题4：在△ABC中，若已知角A和角B，边b，能求△ABC的其它的角和边吗？
师生活动：学生思考.
预设答案：能求，由C＝π－(A＋B)可求角C，由a＝，c＝，可求边a和c．
问题5：在△ABC中，若已知a＞b，能否利用正弦定理得到sin A＞sin B
师生活动：学生思考.
预设答案：能得到，设＝＝=t,由a＞b，且a＝tsin A，b＝tsin B，可得tsin A＞tsin B，即sin A＞sin B．
设计意图：进一步理解正弦定理及其应用，归纳正弦定理的变形.
知识讲解2：
正弦定理的常见变形：
(1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
(2)＝＝＝
问题6：正弦定理的基本作用是什么？
预设的答案：正弦定理的基本作用是边角互换
设计意图：培养学生分析和归纳的能力.
二、初步应用
例1某地出土古代玉佩，如图所示，其一角已破损.现测得如下数据：.为了复原，请计算原玉佩另两边的长.（精确到）
师生活动：学生思考、求解，找学生板演.
预设答案：参考教材P111例4的解析.
设计意图：初步理解运用正弦定理解决实际问题.
例2在中，角所对的边分别为，若，则 .
师生活动：学生分析解题思路，给出答案．
预设答案：由正弦定理的变形可得.
设计意图：应用正弦定理的变形解决问题.
练习：教科书第112页练习1,2.
师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予点评指导.
【板书设计】
§6 6.2正弦定理
一、探索新知 二、初步应用
2．推导正弦定理
例1
知识讲解1：=
3.正弦定理的变形 例2
知识讲解2：
三、归纳小结，布置作业
问题5：本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：
（1）正弦定理及其推论有哪些？
（2）正弦定理的证明方法是什么？
（3）利用正弦定理如何实现三角形中边角关系的相互转化？
师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.
预设的答案：（1）正弦定理及其推论：；
（2）正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，②也可以利用三角形面积推导.
（3）利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决.
设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确正弦定理的有关知识．
布置作业：教科书第123页,A组1,2.
四、目标检测设计
1．在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin B＝b，则A等于(　　)
A. B. C. D.
设计意图：巩固运用正弦定理.
2.在△ABC中，A＝60°，B＝45°，b＝2，则a等于(　　)
A. B. C. D.3
设计意图：巩固运用正弦定理.
3.在中，角所对的边分别为，若，则_______.
设计意图：巩固运用正弦定理.
4. 在△ABC中，已知a＝2，A＝30°，B＝45°，解三角形.
设计意图：巩固运用正弦定理.
参考答案：
1.D.在△ABC中，利用正弦定理得2sin Asin B＝sin B，又∵sin B≠0，∴sin A＝.又A为锐角，∴A＝.
2.C【解析】由正弦定理得a＝＝＝.
3.由正弦定理可得.
4.解析：∵＝＝，∴b＝＝＝＝4.∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c＝＝＝＝4sin(30°＋45°)＝2＋2.
教学目标
教学重难点
课前准备
教学过程