6.1余弦定理与正弦定理 教案

第二章 平面向量及其应用
§6 平面向量的应用
6.1余弦定理与正弦定理（3）
1.能利用正弦定理推导正弦定理与三角形外接圆直径的关系.
2.能运用正弦定理判断三角形的形状.
3.掌握利用正弦定理解三角形，并加以合理运用．
教学重点：正弦定理的应用.
教学难点：利用正弦定理解三角形.
PPT课件.
一、探索新知
1.复习引入
问题1：正弦定理如何描述？
师生活动：学生思考，举手回答.
预设的答案：
文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
符号语言：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，则＝＝.
设计意图：通过知识回顾，巩固正弦定理.
问题2：正弦定理的常见变形有哪些？
师生活动：学生思考，举手回答.
预设的答案：(1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
(3)＝＝＝.
设计意图：通过知识回顾，承前启后，为后面的学习作铺垫.
问题3:我们知道每个三角形都有外接圆，请问外接圆的直径与正弦定理之间有关系吗？有什么样的关系呢？
师生活动：学生思考，教师补充.
预设的答案：有，(R是外接圆的半径).
设计意图：通过复习提出，引出本节课课题——余弦定理与正弦定理（3）.（版书）
2.正弦定理的变形
★资源名称： 【知识点解析】正弦定理的变式
★使用说明：本资源详细讲解了正弦定理的变式的内容和相关知识.
注：此图片为视频截图，如需使用资源，请于资源库调用．
问题3在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.对任意三角形都成立吗？
师生活动：教师指导学生思考.
预设答案：当时，△ABC外接圆的圆心在斜边中点，所以,所以，所以由正弦定理得.当C为锐角或钝角时，如下图.
在△中，,根据同弧的圆周角相等得,所以，在△ABC中，由正弦定理得，所以，所以上式对任意三角形都成立.
设计意图：通过探究，感受正弦定理变形.
问题4根据，你能推出正弦定理的哪些变形？
师生活动：学生思考，推导.
预设答案：若R为△ABC外接圆的半径，则
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)＝2R.
知识讲解：
R为△ABC外接圆的半径，则：
(1)
(2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(4)＝2R.
追问：在中，，，则外接圆的面积为________.
师生活动：学生思考，求解.
预设答案：设外接圆的半径为R，则，故外接
圆的面积为.
设计意图：巩固正弦定理的变式.利用正弦定理解三角形的类型:(1)已知两角一边；已知两边及其一边的对角.
3.三角形解的变形
问题5已知两条边的边长和其中一边的对角的大小解三角形，它的解有几种情况？
师生活动：学生思考，教师补充.
预设答案：已知两角一边,有解时,只有一解；已知两边及其一边的对角，有解的情况可分别为几种情况.为锐角时,若无解；或，一解；，两解；为钝角或直角时,若均无解；，一解.
追问：已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A＝60°，c＝6，a＝6，则此三角形有几解？
师生活动：学生思考，教师补充.
预设答案：由等边对等角可得C＝A＝60°，由三角形的内角和可得B＝60°，所以此三角形为正三角形，有唯一解．
设计意图：培养学生分析和归纳的能力.
问题6：判断三角形形状时，围绕三角形的边角关系，如何利用正弦定理进行边角互化？
师生活动：要么把角转化为边，通过代数变形找出边之间的关系，要么把边转化为角，通过三角变换找出角之间的关系，当然也可以边角同时考虑．
预设的答案：利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径：
(1)化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2，或余弦定理，进而确定三角形的形状．利用的公式为sin A＝，sin B＝，sin C＝.
(2)化边为角．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C．
设计意图：培养学生分析和归纳的能力.
二、初步应用
例1已知中，内角所对的边分别为，且，.
（1）求外接圆的面积；
（2）若，求角A.
师生活动：学生思考、求解，教师写解题过程.
预设答案：（1）由正弦定理，，故，因为，所以，故，则，故，则外接圆的面积为.
（2）由（1）知，又，，所以由正弦定理得，所以，又，所以.
设计意图：初步理解运用正弦定理以及变形解决问题.
例2在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状.
师生活动：师生分析思路，利用余弦定理化角为边或利用正弦定理化边为角.
预设答案：法一(化角为边)
将已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccos Bcos C.
由余弦定理并整理，得
b2＋c2－b2－c2＝2bc，
∴b2＋c2＝＝＝＝＝a2.
∴A＝90°.∴△ABC是直角三角形.
法二(化边为角)
由正弦定理，已知条件可化为
sin2Csin2B＋sin2Csin2B＝2sin Bsin Ccos Bcos C.
又sin Bsin C≠0，∴sin Bsin C＝cos Bcos C，即cos(B＋C)＝0.
又∵0°∴△ABC是直角三角形.
设计意图：应用正弦定理、余弦定理判断三角形形状.
例3台风中心位于某市正东方向处，正以的速度向西北方向移动，距离台风中心范围内将会受其影响.如果台风风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？这种影响持续多长时间？（精确到）
师生活动：师生分析解题思路，教师板书解题思路.
预设答案：参考教材P113例6的解析.
设计意图：利用正弦定理解决实际问题.
练习：教科书第114页练习1,2.
师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予点评指导.
【板书设计】
§6 6.1余弦定理与正弦定理（3）
一、探索新知 二、初步应用
2.正弦定理的变形 例1
知识讲解： 例2
3.三角形解的变形
例3
三、归纳小结，布置作业
问题5：本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：
（1）正弦定理的应用有哪些？
（2）正弦定理如何实现三角形中边角关系的相互转化？
师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.
预设的答案：1.正弦定理的应用：①已知两角和任一边，求其他两边和一角.②已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角.2.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决.
设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确正弦定理及变形的有关知识．
布置作业：教科书第114页，练习3,4.P124，B组第1题.
四、目标检测设计
1.在△ABC中，若a＝2bsin A，则B＝(　　)
A.　 B. C.或 D.或
设计意图：巩固正弦定理及其变形.
2.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝(　　)
A. B. C. D．
设计意图：检查运用正弦定理解三角形.
3.在中，的对边分别为，若，则△ABC的外接圆的面积为_____.
设计意图：检查运用正弦定理的变式的灵活应用
4.在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.
设计意图：巩固利用正弦定理可以实现三角形中边角转化.
参考答案：
1.C 由正弦定理，得sin A＝2sin Bsin A，所以sin A(2sin B－)＝0.因为02.B由正弦定理，得＝，即＝，解得sin C＝.因为AB＜AC，所以C＜B，所以cos C＝＝.
3.【解析】在中，，，设外接圆的半径为R，则由正弦定理可得，解得，则的外接圆的面积为.
4.方法一　根据正弦定理＝＝.∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，B＋C＝90°，∴2sin Bcos C＝2sin Bcos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，∴sin B＝.∵0°方法二：根据正弦定理＝＝.∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角.∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcos C，∴sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，∴sin(B－C)＝0.又－90°教学目标
教学重难点
课前准备
教学过程