6.2直观图 教案

第六章　立体几何初步
6.2直观图
1．了解空间图形的不同表现形式，直观地了解空间图形在平面上的表示方法．
2．会用斜二测法画水平放置的平面图形的直观图和长方体、正方体的直观图．
3．会画正棱锥、圆柱的直观图．
教学重点：用斜二测法画空间几何体的直观图．
教学难点：识别水平放置的平面图形的直观图．
PPT课件．
一、导入新课
皮影戏的表演是借助一面影窗，利用灯光照射原理和平面映象，将纸偶或皮偶影射出来，配合音乐、唱白来表演戏剧故事．学好本节内容你就会真正明白“两手托起千秋将，孤灯照出万古人”的原理．
设计意图：利用皮影戏的投影，引出本节课的研究主题–直观图（版书）．
二、新知探究
1．画平面图形直观图的画法
问题1：边长的正方形水平放置的直观图如下，在直观图中，与与呢？在原图与直观图中，与相等吗？与呢？
师生活动：学生阅读教材第201页，思考，举手回答．
预设答案：．
追问：相等的角在直观图中还相等吗？
师生活动：学生思考，举手回答．
预设答案：不一定，如正方形的直观图是平行四边形．
设计意图：探究画水平放置的平面图形的直观图．
问题2：你能写出平面图形的斜二测画法的步骤吗？
师生活动：学生阅读教材第201页，写出斜二测画法的步骤，教师补充．
预设答案：斜二测画法的步骤
(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy．画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平的平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的．
设计意图：探究画水平放置的平面图形的画法．
★资源名称：【例题讲解】立体图形的直观图．
★使用说明：本资源为《立体图形的直观图》例题讲解，通过具有代表性的几道例题巩固所学知识，加深学生对于知识的理解和掌握．
注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．
问题3：如何画水平放置的正六边形的直观图？
师生活动：学生思考，画图．
预设答案：（详细步骤参考教材P201例1的解析）
（1）如图（1），在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴HG为y轴，两轴相交于点O．
（2）另选一平面画直观图，先画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O，使∠x′Oy′=45°．
如图（2），将已知图形中x轴上的线段AD在直观图中画成x'轴上的线段A′D′，且保持原长度不变，点O是A′D′的中点；将已知图形中y轴上的线段HG画成y′轴上的线段H′G′，且长度为原来的一半，点O′是H′G′的中点．
（3）如图（3），将已知图形中平行于x轴的线段FE，BC在直观图中分别画成平行于x′轴的线段F′E′，B′C′，且保持原长度不变，点H′，G′分别是，的中点．
（4）如图（4），连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′．
（5）擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F'′，如图（5）．
设计意图：巩固画水平放置的平面图形的画法．
2．立体图形的直观图的画法
问题4阅读课本，你能用斜二测画法画长、宽．高分别为的长方体的直观图吗？
师生活动：学生思考，举手回答，教师补充．
预设答案：用斜二测画法画长方体步骤
（1）画轴．如图，画轴、轴、轴，三轴相交于点，使．
（2）画底面，以点为中心，在轴上取线段，使；在轴上取线段，使．分别过点和作轴的平行线，过点和作轴的平行线，设它们的交点分别为，四边形就是长方体的底面．
（3）画侧棱．过各点分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取长的线段．
（4）成图．顺次连接，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图．
设计意图：让学生充分经历、体验用斜二测画法画直观图的方法．
★资源名称：【知识点解析】小结——立体图形的直观图．
★使用说明：本资源为《立体图形的直观图》小结，通过归纳总结，理清知识结构，掌握知识间的内在联系．在学习立体图形的直观图中使用，起到巩固所学知识，深化理解的作用．
注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．
问题5：根据问题4总结用斜二测画法画立体图形的步骤？
师生活动：学生阅读教材第202页，写出斜二测画法的画立体形的步骤，教师补充．
预设答案：(1)在已知的空间图形中取水平平面和相互垂直的轴，再取轴，使，且．
(2)画直观图时，把，画成对应的，使∠x′O′y′＝45°（或135°），，所确定的平面表示水平平面．
(3)已知图形中平行于x轴、y轴和z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴和轴的线段．
(4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
（5）擦去辅助线，并将被遮线画成虚线．
追问：空间几何体的直观图唯一吗？
师生活动：学生思考，举手回答．
预设答案：不唯一．作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同．
追问：下面说法正确吗，为什么？
（1）水平放置的正方形的直观图可能是梯形
（2）两条相交的直线的直观图可能是两条平行直线
（3）互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直
（4）水平放置的平行四边形的直观图仍是平行四边形
师生活动：学生思考，举手回答．
预设答案：正方形的直观图中对应边互相平行，不可能是梯形，（1）错；两条相交的直线的直观图仍然相交，不可能平行，（2）错；互相垂直的两条直线的直观图可能不垂直，（3）错，只有（4）正确．
设计意图：巩固用斜二测画法画立体图形的直观图．
三、巩固练习
例1如图所示，是底面边长为、高为的正六棱锥的直观图，请指出底面、对角面、侧面的真实形状，并画出相应的图形．
师生活动：学生思考、求解，找学生板演．
预设答案：底面是正六边形，对角面是等腰三角形，侧面也是等腰三角形，如图所示．（详解参考教材P203例3的解析）
设计意图：巩固用斜二测画法及应用．
例2有一座纪念碑，底座是一个长方体，长为，宽为，高为；底座上面的碑体也是长方体，放在底座的正中，各面相应地与底座的各面平行，碑体的长为，宽为，高为．请用表示，画出该纪念碑的直观图．
师生活动：师生分析思路，教师板书解题过程．
预设答案：（详解参考教材P203例4的解析）
设计意图：巩固用斜二测画法步骤．
练习：教科书第204页练习1．
师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予点评指导．
【板书设计】
6.2直观图
二、新知探究 三、巩固练习
1．画平面图形直观图的画法 例1
2．立体图形的直观图的画法 例2
四、归纳小结
问题7：本节课我们学习了直观图的画法，请你说说通过比较的学习，你有什么收获？
师生活动：学生尝试总结，老师适当补充．
预设的答案：（1）画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将此点转到与轴平行的线段上来确定．
（2）画空间几何体时，首先依照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图，然后根据平行于z轴的线段在直观图中保持长度不变，画出几何体的各侧面，所以画空间多面体的步
骤可简单总结为：→→→
布置作业：教科书第204页，A组第2，3，4，5题，B组第2，3题．
五、目标检测设计
1．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为(　　)
A．16　　B．64　　C．16或64　　D．无法确定
设计意图：检查学生对平面直观图画法的掌握情况．
2．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的直观图是正△A1B1C1，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形　　B．直角三角形　　C．钝角三角形　　D．任意三角形
设计意图：检查学生对平面直观图画法的掌握情况．
3．如图为△ABO水平放置的直观图，其中O′D′＝B′D′＝2A′D′，且B′D′∥y′轴，由图判断原三角形中AB，OB，BD，OD的大小关系是________．
设计意图：检查学生对斜二测画法及应用的掌握情况．
4．画出正五棱柱的直观图．
设计意图：检查学生对利用斜二测画法画立体图形的掌握情况．
参考答案：
1．答案：C．
解析：等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64．
2．答案：C．
解析：水平放置的△ABC有一边在水平线上，因为直观图是正三角形，所以原图形有一角大于90°，故为钝角三角形．
3．答案：OD解析：将直观图还原为平面图形如下所示，由三角形的有关性质可知，OB>AB>BD>OD．
4．解：(1)画轴，画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°，如图①所示．
(2)画底面，按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE．
(3)画侧棱，过点A、B、C、D、E分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′都相等．
(4)成图，顺次连接A′、B′、C′、D′、E′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②所示．