6.3.1空间图形基本位置关系的认识 教案

第六章 立体几何初步
6.3.1空间图形基本位置关系的认识
1．借助长方体，通过对图形的观察和操作，在直观中认识空间点、直线、平面的位置关系．
2．提升直观想象和数学抽象素养．
教学重点：空间点、直线、平面的位置关系．
教学难点：空间直线与平面、平面与平面的位置关系．
一、新课导入
想一想：构成平面图形的基本元素是什么？它们之间的位置关系有哪些？
追问1：构成空间立体图形的元素有哪些呢？它们之间又存在什么位置关系呢？
答案：点、线、面.
今天我们就来学习，在空间图形中点线面的位置关系是怎么样的.
设计意图：通过复习平面图形中点、线的位置关系引入空间图形中的基本位置关系，方便学生进行知识的迁移.
二、新知探究
问题1：空间图形中，点与直线、点与平面的位置关系有哪些？
追问1：点A与直线AB是什么关系？
答案：点A在直线AB上.
追问2：点A与直线BC是什么关系？
答案：点A在直线BC外（点A不在直线BC上）.
总结：点与直线的位置关系：点在直线上、点在直线外.
思考：能否从集合的角度出发，用符号语言表示点与直线的位置关系呢？
答案：点可以看成是一个元素，直线可以看成是由无数个点构成的集合，所以点与直线的位置关系可以表示为：
(1)点P在直线a上：P∈a；
(2)点P不在直线a上：P a.
追问3：点A与平面ABCD是什么关系？
答案：点A在平面ABCD内.
追问4：点A与平面BCC′B′是什么关系？
答案：点A在平面BCC′B′外（点A不在平面BCC′B′上）.
追问5：你还能找到点与平面的其它位置关系吗？
答案：不能.
总结：点与平面的位置关系：点在平面内、点在平面外.
表示：(1)P∈;(2)P .
问题2：空间图形中，直线与直线、直线与平面的位置关系有哪些？
追问1：直线AB与直线BC的关系是？
答案：相交于点B.
追问2：直线AB与直线B′C′的关系是？
答案：不相交.
追问3：在空间图形中，不相交等同于平行吗？
答案：不等同，如： AB与B′C′不相交，但也不平行，AB与A′B′也不相交，但AB∥A′B′．可见，在空间图形中，不相交包括但不仅限于平行.
总结：直线与直线的位置关系：相交、不相交（包括平行）.
表示：(1)a∩b = P；(2)a∩b = .
追问4：直线AB与平面ABCD的关系是？
答案：AB在平面ABCD内.
追问5：直线AB与平面BCC′B′的关系是？
答案：相交.
追问6：直线AB与平面A′B′C′D′的关系是？
答案：平行.
总结：直线与平面的位置关系：直线在平面内、相交、平行.
表示：（1）a α；（2）a α =P；（3）a∥α.
各抒己见：用符号语言表示：
（1）直线AD在哪些平面内？
（2）直线AD与哪些平面相交？
（3）直线AD与哪些平面平行？
答案：（1）AD 平面ABCD、AD 平面ADD′A′；
（2）AD 平面ABB′A′、AD 平面CDD′C′；
（3）AD∥平面BCC′B′、AD∥平面A′B′C′D′；（或AD平面BCC′B′、AD平面A′B′C′D′）
问题3：空间图形中，平面与平面的位置关系有哪些？
追问1：平面ABCD与平面BCC′B′的位置关系是？
答案：相交.
追问2：平面ABCD与平面C′B′D′A′的位置关系是？
答案：不相交（平行）.
总结：平面与平面的位置关系：相交、不相交（平行）.
表示：（1）α β=l；（2）α∥β.（或）
各抒己见：用符号语言表示：
（1）平面ADD′A′与哪些平面平行？
（2）平面ADD′A′与哪些平面相交？
答案：（1）平面ADD′A′∥平面BCC′B′；
平面ADD′A′平面ABB′A′、平面ADD′A′平面CDD′C′DD′、平面ADD′A′平面ABCDAD、平面ADD′A′平面A′B′C′D′A′D′.
三、应用举例
例1 画图表示下列由集合符号给出的关系：
（1）A∈α，B α，A∈l，B∈l；
（2）a α，b β，a∥c，b c=P，α β=c.
解：（1）如图所示 （2）如图所示
例2 如图所示，用符号语言可表达为（ ）
A. α β=m，n α，m n=A B. α β=m，n∈α，m n=A
C. α β=m，n α，A m，A n D. α β=m，n∈α，A∈m，A∈n
分析：点是元素，线、面是点的集合
n∈α错误，B、D错误
A m，A n错误，C错误
故选择A.
设计意图：通过例题，熟悉空间图形的基本位置关系．
四、课堂练习
1．在正六棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′有 条棱与棱BC平行.
2.用符号语言描述下列语句：
（1）点C在平面内；
（2）直线m与n相交与点A；
（3）点A在平面与平面的交线l上；
（4）平面内的直线a平行于平面内的直线b．
3.根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：
（1）A∈α，B α；
（2）A∈α，m＝A，A l，l α；
（3）P∈l，P α，Q∈l，Q∈α.
参考答案：
1．分析：做出正六棱柱，如图
与棱BC平行的连线有：EF、E′F′、B′C′
故共有3条.
2.（1）；
（2）;
（3）；
（4）∥b.
3.解析：（1）点A在平面α内，点B不在平面α内；
（2）直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上；
（3）直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.
图形分别如下图所示：
（1）（2）（3）
五、课堂小结
1、点与线：点在线上、点在线外
2、点与面：点在面内、点在面外
3、线与线：相交、不相交（包括平行）
4、线与面：线在面内、相交、平行
5、面与面：相交、平行
六、布置作业
教材第214页习题6-3第1题．