6.3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理 教案

第六章 立体几何初步
6.3.2刻画空间点、线、面位置关系的公理(1)
1．结合问题实例，认识3个基本事实(公理)，并能够用准确的数学语言表达这些公理．
2．提升直观想象和数学抽象素养．
教学重点：认识3个基本事实(公理)，用三种语言表述这些公理．
教学难点：对基本事实的理解．
一、新课导入
问题：在下面图片中，有哪些共同要素？
答案：平面.
平面是构成我们生活的空间的基本元素之一，增加了对平面的研究，几何的学习就由二维到三维.生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等，都给我们以平面的印象.那么，如何确定一个平面？平面又有什么性质呢？这就是我们这节课所要学习的内容.
设计意图：通过生活实例中的平面，引出本次课的课题.
二、新知探究
问题1：我们知道，两点可以确定一条直线，那么几个点可以确定一个平面？
追问1：过一个点有多少个平面？
答案：无数个.
追问2：过两个点有多少个平面？
答案：无数个.
追问3：过三个点有多少个平面？
答案：过同一条直线上的三个点有无数个平面，过不在同一直线上的三个点有且只有一个平面.
追问4：过四个点能确定一个平面吗？
答案：不一定. 如图：点A，C，D，E确定一个平面；点A，C，D，D'形成了一个三棱锥，确定4个平面.
基本事实1：过不在一条直线的三个点，有且只有一个平面.
注意：①三点不共线；
②“有”，指平面的存在性；
③“只有一个”，指平面的唯一性.
符号语言：
思考：生活中有没有基本事实1的一些应用呢？在数学中又有哪些作用呢？
答案：生活中：三角凳，相机的三脚架，把书打开可以立在桌面上等等.
数学中：确定一个平面；判定两平面重合；证明点、线共面等等.
问题2：如何确定一条直线在一个平面内？
追问1：若平面与直线有一个公共点，那么直线在平面内吗？
答案：不一定在.
追问2：若平面与直线有两个公共点呢？
答案：在.
追问3：为什么两个公共点可以？
答案：两点确定一条直线.
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
符号语言：若A∈l，B∈l，且A∈，B∈，则l .
追问1：基本事实2有哪些作用呢？
答案：判定线面之间的关系；间接判断点是否在平面内（点在线上，线在面内，则点在面内）等等.
思考：下列条件能够确定一个平面吗？
一条直线和该直线外一点；
两条相交直线；
两条平行直线.
总结：
推论1：一条直线和该直线外一点确定一个平面；
推论2：两条相交直线确定一个平面；
推论3：两条平行直线确定一个平面.
以上三条推论与基本事实1都是确立平面的依据.
问题3：把三角尺的一个角立在桌面上，三角尺所在平面与桌面所在平面是否只有一个公共点？如果还有其他公共点，它们与这个公共点有什么样的关系呢？
答案：不止一个公共点，这些公共点是共线的.
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
符号语言：P∈，P∈且P∈l.
追问1：基本事实3有哪些作用呢？
答案：判断两平面的位置关系：要么平行，要么相交（直交或者斜交）；通过确定两个公共点来确定两平面的交线等等.
三、应用举例
例1 设A,B,C是三个点，AB是过点A,B的直线，是一个平面.将下列命题改写成语言叙述，判断正误，并说明理由：
当时，直线；
.
解：（1）当点A在平面内，点B不在平面内时，直线AB在平面内；该命题错误.若AB 成立，则AB上所有点都在平面内，与条件B矛盾，故错误.
（2）当点A、B在平面内，点C在直线AB上时，点C也在平面内；该命题正确.∵A∈，B∈，∴AB （基本事实2），又 C∈AB，∴C∈.
例2 若直线l与平面相交于点O，A，B∈l，C，D∈，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是 .
解：如图，∵AC∥BD，
∴AC，BD确定一个平面，设为平面，
则C，D，l均在平面内，
∵点O在直线l上，
∴点O在平面内，
又点O，C，D在平面内，
∴平面相交于O，C，D所在直线（基本事实3），
故O，C，D三点共线.
设计意图：通过例题，熟悉三个公理以及三个推论．
四、课堂练习
1．判断正误，并说明理由：
（1）平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点.
（2）一个点和一条直线确定一个平面.
（3）两两相交的三条直线确定一个平面.
（4）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合.
2.下列推理错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.如图，正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，过对角线AC′的截面为菱形AEC′F，试着画出截面AEC′F与底面ABCD的交线.
参考答案：
（1）错误，根据基本事实3，两平面交于一条直线，有无限个公共点，错误.
（2）错误，根据推论1，只有当点在线外，才能确定一个平面，若点在线上，则确定无数个平面，错误.
（3）错误，若交点不重合，则能确定一个平面，若交点重合，则能确定三个平面，错误.
（4）正确，若两平面平行，无公共点；若相交，交点共线.故重合，正确.
2.A选项，，可能，所以A选项推理错误；
B选项，根据基本事实2可知，B选项正确;
C选项，因为，所以，所以，
C选项正确；
D选项，显然正确.
故选择A选项.
3.延长CB、C′E交于点M，
延长CD、C′F交于点N，连接MN，
则平面C′MN即截面AEC′F，
故MN即所需画的交线.
五、课堂小结
1、基本事实1：过不在一条直线的三个点，有且只有一个平面.
2、基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
3、推论1：一条直线和该直线外一点确定一个平面.
4、推论2：两条相交直线确定一个平面.
5、推论3：两条平行直线确定一个平面.
6、基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
六、布置作业
教材第214页习题6-3第2、4、5题.