6.3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理 教案

第六章 立体几何初步
6.3.2刻画空间点、线、面位置关系的公理(2)
1.认识基本事实4和定理，并能做简单的应用．
2.认识异面直线的概念，识别异面直线，并能够求简单的异面直线夹角.
3.提升直观想象和数学抽象素养．
教学重点：认识基本事实4、定理、异面直线的概念及夹角．
教学难点：通过平移，体会将空间问题转化为平面问题的思想，求异面直线的夹角．
一、新课导入
回顾：上节课，我们学习了哪些刻画空间点、线、面的公理及推论？
答案：1、基本事实1：过不在一条直线的三个点，有且只有一个平面.
2、基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
3、推论1：一条直线和该直线外一点确定一个平面.
4、推论2：两条相交直线确定一个平面.
5、推论3：两条平行直线确定一个平面.
6、基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
今天我们要继续学习刻画点、线、面的基本事实.
设计意图：通过复习，巩固上一课时的知识，进而引出本次课的课题，有助于知识的迁移.
二、新知探究
问题1：我们知道在平面中，平行线具有传递性，在空间中，平行线是否仍具有传递性？
追问：如图，已知AB∥CD，CD∥C′D′，那么AB∥C′D′吗？
答案：平行.
基本事实4：平行于同一直线的两条直线平行.（空间平行线的传递性）
符号语言：若a∥b，b∥c，则a∥c.
思考：两条没有公共点的直线一定平行吗？
答案：不一定.
不同在任何一个平面内（不共面）的两条直线称为异面直线.
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
追问1：长方体中与AD异面的直线有几条？
答案：4条，BB′、CC′、A′B′、C′D′.
总结：空间直线间的位置关系可分为共面直线和异面直线，其中共面直线又分为平行直线和相交直线.
相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：在同一平面内，没有公共点；
追问2：若空间中有直线a、b、c，且a⊥b，b⊥c，那么a⊥c成立吗？
答案：不成立.垂直没有传递性.
问题2：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角的大小有什么关系？
分析：通过平移，空间中两角关系可转化为平面中两角关系.
答案：相等或互补.
定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
问题3：正方体ABCD-A′B′C′D′中，E为BC的中点，判断直线A′C′、B′C′、C′E、C′C与直线AB的位置关系.
答案：异面（各自与AB的相对位置却不同）.
仅用“异面”不足以描述异面直线的相对位置，我们是否可以类比平面几何中直线相交夹角的概念，引入“异面直线所成的角”.
追问1：如何确定“异面直线所成的角”？
答案：平移.
如图，已知两条异面直线a，b，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，这时a′，b′共面，我们把a′与b′所成的不大于90°的角称为异面直线a，b所成的角（或夹角）.
思考：异面直线a，b所成角的范围是多少？
答案：(0°，90°]
假设两条异面直线a，b所成的角为0°，则两直线平行（共面），故不存在0°角的情况；
若两条异面直线a，b所成的角为直角，则称这两条直线互相垂直（异面垂直），记作：a⊥b.
故现在两直线垂直关系包括：相交垂直（共面），异面垂直，都记作a⊥b.
研究异面直线所成的角，就是通过平移，使得空间问题转化为平面几何问题.这种解决问题的思想方法在后面解决问题中很常用.
三、应用举例
例1 四个顶点不在同一平面内的四边形称为空间四边形.如图，在空间四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形.
解：如图，连接BD，
∵FG是△CBD的中位线
∴FG∥BD，FG=BD
又∵EH是△ABD的中位线
∴EH∥BD，EH=BD
∴FG∥EH，FG=EH
∴四边形EFGH是平行四边形
例2 如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a.
（1）正方体的哪些棱所在的直线与直线BC′是异面直线？
（2）求异面直线AA′与BC所成的角；
（3）求异面直线BC′与AC所成的角.
解：（1）A′A，A′B′，A′D′，DA，DC，DD′.
（2）∵BC∥AD，AD⊥AA′
∴AA′与BC所成的角为90°
（3）连接A′B，A′C′，
在正方体ABCD-A′B′C′D′中，易得AC∥A′C′
∴∠BC′A′即所求角
∵A′B=A′C′=BC′
∴△BA′C′是等边三角形
∴BC′与AC所成的角为60°
总结：求两条异面直线所成的角的一般步骤：
（1）构造：根据异面直线的定义，用平移法(常用三角形中位线、平行四边形性质等)作出异面直线所成的角．
（2）证明：证明作出的角就是要求的角．
（3）计算：求角度，常放在三角形内求解．
（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.
设计意图：通过例题，熟悉异面直线的相关解题方法，并体会将空间问题转化为平面问题的思想．
四、课堂练习
1．如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F，G，H，M，N分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.GH和MN平行，GH和EF相交 B.GH和MN平行，MN和EF相交
C.GH和MN相交，GH和EF异面 D.GH和EF异面，MN和EF异面
2.如图，正方体ABCD-A′B′C′D′中，AA′=a，E，F分别是BC，DC的中点，求直线AD′与EF的夹角.
3.如图，在空间四边形ABCD中，已知AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF=，求异面直线AD，BC所成角的大小.
参考答案：
1.∵GH∥A′B，A′B∥D′C，∴GH∥D′C
又∵MN∥D′C，∴GH∥MN.
由异面直线定义可知，GH与EF异面.
延长EF，MN，易证二者相交.
故选B.
2.如图，连接BC′，BD
在正方体ABCD-A′B′C′D′中，易得AD′∥BC′
∵E，F分别是BC，DC的中点
∴EF∥BD
连接C′D
易得△BCD、△CDC′、△BCC′为全等的等腰直角三角形
∴BD=BC′=C′D ∴△BC′D是等边三角形
∴∠DBC′=60°
∴直线AD′与EF的夹角为60°.
3.取BD中点G，连接EG、FG
∵E，F分别是AB，CD的中点
∴EG、FG分别是△ABD、△BCD的中位线
∴EG= AD=1，FG=BC=1，EG∥AD，FG∥BC
∴∠EGF即所求角或所求角的补角
由余弦定理得
∴∠EGF=120°
∴异面直线AD，BC所成角的大小为180° 120°=60°.
五、课堂小结
1、基本事实4：平行于同一直线的两条直线平行（空间平行线的传递性）.
2、相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
3、不同在任何一个平面内（不共面）的两条直线称为异面直线.
4、异面直线所成的角：通过平移把空间问题转化为平面几何问题.
六、布置作业
教材第214页习题6-3A组第3题，215页B组第1题．