6.4.1直线与平面平行 教案

第六章 立体几何初步
6.4.1直线与平面平行(1)
1.通过直观感知、操作确认，了解空间中直线与平面的平行关系，定性地归纳出性质定理，并对性质定理加以证明；
2.能运用公理、有关平行关系的性质定理，论证线线平行，并能正确地表达论证过程；
3.进一步形成认识图形、分析图形、识别图形的空间观念，逐步养成运用数学语言进行逻辑推理的思维习惯.
教学重点：直线与平面平行的性质定理．
教学难点：直线与平面平行的性质定理的应用．
一、新课导入
情境：由前面的学习我们知道直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，同学们能不能举出生活中直线与平面平行的例子呢？
答案：双杠所在的直线与地面；长方体上底面棱所在直线与下底面；课桌桌面边缘所在直线与地面等等.
追问1：直线与平面平行时，该直线与平面内直线有什么关系呢？
答案：平行或者异面.
追问2：如何确保平面内的直线与已知直线平行呢？
答案：排除异面，只需平面内的直线与已知直线共面即可.
设计意图：通过复习，巩固上一课时的知识，进而引出本次课的课题，有助于知识的迁移.
二、新知探究
问题1：观察，桌上的书本翻动时，书页边沿所在直线a与桌面的关系是什么？
答案：平行.
追问1：书页边沿所在直线a和书页与桌面交线b之间是什么关系？为什么？
答案：平行，因为书页是矩形，对边平行.
追问2：直线a与桌面其他直线也平行吗？
答案：不一定，也可能异面.
问题2：观察，门在开合时，边缘所在直线c与墙面的关系是什么？为什么？
答案：平行，因为门是矩形，对边平行.
追问1：边缘所在直线c和门与墙面交线d之间是什么关系？
答案：平行.
追问2：直线c与墙面其他直线也平行吗？
答案：不一定，也可能异面.
思考：结合问题1和问题2，猜想直线与平面平行有什么性质呢？
答案：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
下面我们证明此猜想是否成立.
已知：∥，.
求证：∥.
证明：∵∥，∴．
又∵，∴．
∵，∴．
又∵，∴∥．
直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
符号语言：若∥，，则∥.
注意：此定理共三个条件，在应用时缺一不可，即：①线面平行，“∥”；②线在面内，“”；③面面相交，“”.
作用：在空间中，常用此定理来由“线面平行”来得出“线线平行”，即“线线平行”是“线面平行”的必要条件.
思考：下列几个关于直线与平面平行的说法是否正确？
（1）若一条直线与一个平面平行，则该直线与平面内的所有直线平行；
（2）若直线l与平面内的无数条直线平行，则直线l与平面平行；
（3）若直线l与平面不平行，则l与内的任意直线都不平行；
（4）若直线l与平面内的无数条直线不平行，则直线l与平面不平行；
答案：（1）错误，也可能异面；
错误，l 时，中也有无数条直线与l平行；
注意：运用性质定理时，三个条件缺一不可！
错误，若l∩，则l与内的任意直线都不平行，若l ，则内有无数直线与l平行；
错误，∥时，中也有无数直线与l不平行（异面）；
注意：直线与平面有平行、相交、线在面内三种位置关系，注意分类讨论！
三、应用举例
例1 有一块木料如图，已知棱BC∥平面A1B1C1D1，要经过木料表面A1B1C1D1内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？
解：∵BC∥平面A1B1C1D1，BC平面A1B1C1D1，
平面A1B1C1D1 平面BCC1B1= B1C1
∴BC∥B1C1（线面平行的性质定理）
过P点作EF∥B1C1
∴EF∥BC（基本事实4）
∴EB 平面EBCF，FC 平面EBCF
连接EB、CF，则EF、EB、CF即所需画的线
例2 已知：如图，AB∥，AC∥BD，且AC∩ = C，BD∩ = D.
求证：AC=BD.
解：∵AC∥BD，∴A、B、D、C四点共面．
连接CD，
∵AB∥，AB 平面ABDC，平面ABDC∩ = CD，
∴由直线与平面的性质定理，得AB∥CD．
又∵AC∥BD，∴四边形ABDC是平行四边形．
∴AC=BD．
设计意图：通过例题，熟悉线面平行的性质定理的解题思路，并提醒学生注意性质定理的注意事项．
四、课堂练习
1．已知a、b表示直线，表示平面.则下列命题中正确的有 个.
①若a∥，b∥，则a∥b；
②若a∥，b ，则a∥b；
③若a∥b，b∥，则a∥.
2．已知直线a∥平面，a 平面，=b，b∥平面，=c.
求证：a∥c.
3.如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB、CD的平面截此四面体.
求证：截面MNPQ是平行四边形.
参考答案：
1.①平行的传递性仅限于直线之间
②缺少a、b共面的条件
③a也有可能在α内
故正确个数为0个.
2.∵a∥，a ，=b，∴a∥b（线面平行的性质定理）
∵=b，∴b ．
又∵b∥，=c，∴b∥c．∴a∥c．
3.∵AB∥平面NBPQ，AB 平面ABC，
平面MNPQ平面ABC=MN
∴AB∥MN
同理可得AB∥PQ．
∴MN∥PQ．
同理可得MQ∥NP．
∴截面MNPQ是平行四边形
五、课堂小结
线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
注意：此定理共三个条件，在应用时缺一不可，即：①线面平行，“∥”；②线在面内，“”；③面面相交，“”.
六、布置作业
教材第217页练习第1、2、3题．