6.5.1 直线与平面垂直 教案

第六章 立体几何初步
6.5.1直线与平面垂直（1）
1.理解和掌握线面垂直的定义、性质定理及线面夹角的定义；
2.理解线线垂直、线面垂直和线线平行间的相互转化；
3.通过启发引导，让学生在探索中寻找真理，培养学生勇于探索，敢于创新的精神．
教学重点：线面垂直的性质定理．
教学难点：线面垂直的性质定理的应用．
一、新课导入
情境：观察下列各组图片，这些图片都给我们什么样的印象呢？
答案：直线与平面垂直．
设计意图：通过生活中线面垂直的实例，给学生以线面垂直的直观印象，方便后面的学习．
二、新知探究
问题1：观察，天安门广场的旗杆与底面垂直，旗杆所在直线与其在地面的影子所在直线是什么关系呢？
答案：垂直．
追问1：随着时间的变化，影子的位置会移动，旗杆与影子的位置关系是否发生变化？
答案：不变，仍然垂直．
追问2：旗杆与地面的其他不相交直线是什么关系呢？
答案：异面垂直．
追问3：旗杆与地面上的任意直线都垂直吗？
答案：是的（相交垂直或异面垂直）．
同学们，尝试用线线垂直来定义线面垂直吧！
一般地，如图，如果直线l与平面α内的任何一条直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直.记作l⊥α.直线l称为平面α的垂线，平面α称为直线l的垂面，它们唯一的公共点P称为垂足．
【概念巩固】
1：如果直线l与平面α内的无数条直线都垂直，那么直线l与平面α垂直吗？
答案：不一定．
2：如果直线l与平面α内的所有直线都垂直，那么直线l与平面α垂直吗？
答案：垂直．
注意：“任何一条直线”与“所有直线”等价，但与“无数条直线”不同．
思考：（1）过空间一点有几条直线和已知平面垂直？
过空间一点有几个平面与已知直线垂直？
答案：（1）有且只有一个；
（2）有且只有一个．
问题2：我们知道，在平面内，如果两条直线同垂直于另一条直线，那么这两条直线平行．这个性质能推广到空间吗？
探究：（1）如图，长方体ABCD-A′B′C′D′中，四条侧棱AA′、BB′、CC′、DD′与底面ABCD是什么关系？
答案：垂直．
（2）四条侧棱AA′、BB′、CC′、DD′之间是什么关系？
答案：互相平行．
（3）平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.此性质能推广到空间吗？
答案：猜想：垂直于同一平面的两直线平行．
下面我们证明此猜想是否成立．
已知：垂足分别为A，B.
求证：∥.
证明：假定a与b不平行，则过点B作a的平行线b′，b′与b不重合.
∵bb′=B，∴直线b与b′确定一个平面，记为β，且记αβ=l.
∵a⊥α，b⊥α，∴b⊥l，a⊥l．
又b′∥a，∴b′⊥l．
此时，在平面β内，经过直线l上同一点B就有两条直线b与b′都与l垂直，这与“平面内，过直线上的一点只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾．
∴a∥b.
直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行．
符号语言：若a⊥α，b⊥α，则a∥b．
作用：此定理揭示了“平行”与“垂直”间的一种联系，可以用此定理判定两直线平行.
追问：目前为止，我们学了哪些定理可以判定线线平行？
答案：线面平行的性质定理；面面平行的性质定理；线面垂直的性质定理.
思考：（1）在证明直线与平面垂直的性质定理时，用到了“平面内，过直线上的一点只有一条直线与已知直线垂直”，那么，在空间内，过直线上的任意一点有多少条直线与已知直线垂直？这些直线之间有什么关系？
（2）两异面直线能否垂直于同一平面？
答案：（1）在空间内，过直线上的任意一点有无数条直线与已知直线垂直，这些直线都在同一平面内，且相交于一点．
（2）不能．若两直线垂直于同一平面，则这两条直线平行，不可能异面．
问题3：前面我们已经学习了点到平面的距离，即，从平面外一点作一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离称为点到平面的距离．那么，直线与平面的距离如何定义呢？
答案：直线到平面的距离：如果一条直线与平面平行，那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离．
追问：如果一条直线平行于一个平面，那么这条直线上各点到这个平面的距离有什么关系？为什么？
猜想：如果一条直线平行于一个平面，那么这条直线上各点到这个平面的距离均相等．
下面对猜想进行验证：
已知：直线l与平面α平行.
求证：直线l上的各点到平面α的距离相等．
解：过直线l上任意两点A，B分别作平面α的垂线，垂足分别为E，F.
∵AE⊥α，BF⊥α，∴AE∥EF．
设过直线AE和BF的平面为β，则αβ=EF.
∵l∥α，∴l∥EF．
∴四边形AEFB是平行四边形．
∴AE=BF，即直线l上的各点到平面α的距离相等．
问题4：直线与平面之间的位置关系有哪些？线面垂直属于哪一类？
答案：线在面内，线面相交，线面平行.线面相交还可细分为两类：垂直和斜交．
如图，一条直线与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线称为这个平面的斜线，斜线与平面的交点A称为斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面作垂线，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的投影.平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角．
一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；
一条直线于平面平行，或在平面内，就说它们所成的角是0°的角．
三、应用举例
例1 已知直线a在平面β上，则“直线l⊥a”是“直线l⊥β”的（ ）条件．
A.充分非必要 B.必要非充分
C.充要 D.非充分非必要
解：①先讨论必要性．
∵l⊥β，∴l垂直于β内的所有直线，∴l⊥a．必要性成立．
②再讨论充分性.
如图，长方体中，l⊥a，但l与底面β并不垂直．充分性不成立.
故选择B选项.
例2 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
（1）求D1A与底面ABCD所成的角；
（2）设正方体的棱长为a，求D1B与底面ABCD所成角的余弦值.
解：（1）∵DD1⊥底面ABCD，
∴∠D1AD是D1A与底面ABCD所成的角.
∵侧面A1ADD1是正方形，
∴∠D1AD=45°，
即D1A与底面ABCD所成的角为45°．
（2）连接BD，则BD=a.
∵DD1⊥底面ABCD，
∴∠D1BD是D1B与底面ABCD所成的角，且D1D⊥DB.
在Rt△D1BD中，DD1=a，BD=a，D1B=a，
∴cos∠D1BD.
即D1B与底面ABCD所成的角的余弦值为.
设计意图：通过例题，熟悉线面垂直的性质定理的应用，并带领学生熟悉线面夹角的解题过程.
四、课堂练习
1．（1）a⊥α，b∥α，则a与b的位置关系是 .
（2）若直线l不垂直于平面α，那么在平面α内（ ）
A.不存在与l垂直的直线 B.只存在一条与l垂直的直线
C.存在无数条直线与l垂直 D.以上都不对
2．若斜线段AB是它在平面α内的射影长的2倍，则AB与α所成的角为（ ）
A.60° B.45° C.30° D.120°
3.如图所示，ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，求SC与平面ABCD所成的角的正切值.
参考答案：
1.（1）∵b∥α，∴存在一个过直线b的平面β与α平行．又a⊥α，∴a⊥β．∴a⊥b．
（2）∵直线l不垂直于平面α，∴l在α内或l∥α或l与α斜交．
①当l在α内或l∥α时，显然在α内存在无数条直线与l垂直
②当l与α斜交时，α内也存在无数条直线与l垂直，
如图，长方体中，A′B与底面ABCD斜交，底面ABCD中有无数条直线与A′B垂直.
故选C．
2.如右图所示，点A为斜足，O为垂足，AO即在AB在α内的射影，∴AB=2AO．
∴cos∠BAO，∴AB与α所成的角为60°.
3.连接AC，∵SA⊥平面ABCD，
∴∠SCA即SC与平面ABCD所成的角．
在Rt△ABC中，AC，
∴tan∠SCA．
即SC与平面ABCD所成的角的正切值为．
五、课堂小结
1、线面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任何一条直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直.
此定义可用来由“线面垂直”推出“线线垂直”.
2、线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行.
此定理可用来由“线面垂直”推出“线线平行”.
3、平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角.
六、布置作业
教材第229页练习第1、2、3题．