6.5.1 直线与平面垂直 教案

第六章 立体几何初步
6.5.1 直线与平面垂直(2)
1.理解和掌握直线与平面垂直的判定定理并能简单应用；
2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，进一步培养学生的空间观念；
3.通过对线面垂直的判定定理的证明，培养学生逻辑推理素养．
教学重点：直线与平面垂直的判定定理．
教学难点：直线与平面垂直的判定定理的应用．
一、新课导入
回顾：如何判定一条直线与一个平面平行？
答案：方法一，定义法：线面无交点；方法二，线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
其中，定义法在实际使用时并不方便，故常用判定定理.而判定定理即是用“线线平行”来推出“线面平行”．
追问1：类似的，应该如何判定一条直线与一个平面垂直呢？
答案：可以用定义法：直线与平面内所有直线垂直．
同线面平行的判定类似，定义法是用“线线垂直”来推出“线面垂直”，但是显然，定义法并不方便，因为这里需要证明无数组“线线垂直”.那么我们能用有限组“线线垂直”来推出“线面垂直”吗？
设计意图：通过复习线面平行的判定，来引出对线面垂直判定的探究，方便知识的迁移，也引导学生用“降维”的思路思考问题．
二、新知探究
问题1：如果一条直线垂直于平面内的一条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？
追问1：如图，长方体中，直线B′C⊥CD，直线B′C与底面ABCD垂直吗？
答案：不垂直．
问题1答案：不能．
问题2：如果一条直线垂直于平面内的两条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？
分析：同一平面内两条直线的位置关系可能是平行或相交，需分情况讨论．
答案：①当两条直线平行时：
如图，长方体中，直线B′C⊥AB，B′C⊥CD，直线B′C与底面ABCD并不垂直；
②当两条直线相交时：
如图，长方体中，直线C′C⊥BC，C′C⊥CD，直线C′C与底面ABCD垂直．
思考：结合问题1和问题2，大家能猜想出如何判定直线与平面垂直吗？
答案：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
证明过程较为复杂，这里不做要求．
线面平行的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
符号语言：若，则．
注意：此定理共三个条件，在应用时缺一不可，即：①两线面内，“”；②线线垂直，“”；③两线相交，“” ．
作用：在空间中，常用此定理来由“线线垂直”来证明“线面垂直”．
【概念巩固】
1.如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直吗？
答案：不垂直，无数条直线并不能保证有两条相交直线，判定定理不成立．
2.如果一条直线和一个平面内的任意两条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直吗？
答案：垂直，任意两条直线肯定能保证有两条相交直线，判定定理成立.
思考：（1）若三条共点的直线两两垂直，那么其中的任意一条直线与另外两条直线确定的平面是什么关系？
（2）过平面外一点可以作几条直线与已知平面垂直？
答案：（1）不妨设直线a，b，c两两垂直，相交于点P，
直线b，c确定平面．
∵，
∴．
（2）假设过平面外的一点可以作两条直线与已知平面垂直，则根据线面垂直的性质定理，这两条直线平行，不可能相交于一点，故假设错误．
故答案为有且只有一条．
问题3：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面吗？
分析：根据问题把文字语言改写成符号语言并画出相应的图形：已知：如图，求证：.
证明：要证明，只需证明与平面α内两条相交直线垂直.
在平面α内作两条相交直线a，b.
∴，∴，.
又∵，∴，.
又∵，，是两条相交直线，
∴.
结论：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
三、应用举例
例1 下列说法正确的有 .
①垂直于同一条直线的两条直线平行；
②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；
③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；
④若直线与平面不垂直，则平面内一定没有直线与垂直.
解：②.
在空间中，与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故①不正确；由线面垂直的定义可知，②正确；这两条直线也可能平行，并不能保证相交，线面垂直的判定定理不成立，③不正确；如图，与不垂直，但，故④不正确.
规律方法：
对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交；
判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.
例2 如图所示，Rt△ABC所在平面外一点S，SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点，求证：直线SD⊥平面ABC.
解：连接BD，
∵SA=SC，点D为AC的中点，∴SD⊥AC.
在Rt△ABC中，∵点D为斜边AC的中点，∴BD=AD.
在△SAD与△SBD中
∴△SAD≌△SBD（SSS），∴∠SDB=∠SDA=90°，
∴SD⊥BD，
又SD⊥AC，，BD、AC都在平面ABC中，
∴SD⊥平面ABC.
总结：应用判定定理证明线面垂直的步骤
例3 如图，长杆l与地面α相交于点O，在杆子上距地面2 m的点P处挂一根长2.5 m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的点A或点B(A，B，O三点不在同一条直线上.)如果A，B两点和点O的距离都是1.5 m，那么长杆l和地面是否垂直？为什么？
解：在△POA和△POB中，
∵PO=2 m，AO=BO=1.5 m，PA=PB=2.5 m，
∴PO2+AO2=22+1.52=2.52=PA2，
PO2+BO2=22+1.52=2.52=PB2.
根据勾股定理的逆定理得PO⊥AO，PO⊥BO.
又A，B，O三点不共线，∴PO⊥平面α，即长杆与地面垂直.
设计意图：通过例题，熟悉线面垂直的判定定理的解题思路，并提醒学生注意判定定理的注意事项和解题步骤．
四、课堂练习
1.已知平面α，直线l，m且m∥α，则“l⊥m”是“l⊥α”的 条件．
2.如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中. 求证：AC⊥平面BDD′B′.
3.如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，则下列关系中不正确的是（ ）.
A.PA⊥BC B.BC⊥平面PAC
C.AC⊥PB D.PC⊥BC
4.已知：在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证：VB⊥AC.
参考答案：
1.①讨论必要性.
当l⊥α时，∵m∥α，∴l⊥m，
必要性成立.
②讨论充分性.
当l⊥m时，∵m∥α，则l与α平行相交都有可能，
充分性不成立.
故答案为：必要不充分.
2.∵BB′⊥平面ABCD，
∴BB′⊥AC．
∵底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD．
又BDBB′=B，BD平面BDD′B′，BB′平面BDD′B′，
∴AC⊥平面BDD′B′．
3.A选项，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．
B选项，∵AB是圆的直径，∴AC⊥BC．
又ACPA=A，∴BC⊥平面PAC．
C选项，无法证明，错误．
D选项，∵BC⊥平面PAC，∴PC⊥BC．
故选C选项．
4.取AC中点D，连接VD、BD，
∵VA=VC，∴VD⊥AC．
同理可得BD⊥AC．
又VDBD=D，VD平面VBD，BD平面VBD，
∴AC⊥平面VBD，∴VB⊥AC．
五、课堂小结
线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
注意：此定理共三个条件，在应用时缺一不可，即：①两线面内，“”；②线线垂直，“”；③两线相交，“”.
作用：在空间中，常用此定理来由“线线垂直”来证明“线面垂直”.
六、布置作业
教材第235页习题6-5A组第5题．