6.6简单几何体的再认识 教案

第六章 立体几何初步
6.6 简单几何体的再认识(1)
1.使学生能够了解柱、锥、台体的侧面积公式并运用公式求解柱、锥、台体的侧面积以及柱、锥的体积；
2.经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，培养转化与化归的能力；
3.激发学生探索创新的意识，增强学习的积极性．
教学重点：柱、锥、台体的侧面积公式的由来与计算；柱、锥体的体积公式与计算．
教学难点：展开图与空间几何体的转化．
一、新课导入
情境：有1000个这样的圆柱，现在想给它涂上一个漂亮的颜色，假如每平方米需要油漆0.1千克，那么一共需要多少千克的油漆呢？
解决这个问题的关键是什么？在于计算圆柱的表面积，而圆柱的表面积等于两个底面面积加上侧面的面积，而圆柱的侧面是曲面，如何计算圆柱的侧面（曲面）的面积呢？
今天我们就来学习曲面转化为平面的思想方法在柱、锥、台体侧面积的计算上的应用．
设计意图：通过学生们熟悉的圆柱体进行导入，给出“曲面转化为平面”的思想在此类问题中的妙用，引导学生后面对锥体、台体侧面展开上的应用．
二、新知探究
问题1：已知圆柱的底面半径为与高为，如何计算圆柱的侧面积与表面积？
分析：通过对情境中问题的思考，我们已经知道圆柱的表面积等于两个底面面积加上侧面的面积，而圆柱的侧面是曲面，能否把曲面转化为平面来计算面积呢？怎么转化呢？
追问1：把圆柱的侧面沿一条母线展开，得到的是什么图形？
答案：矩形
追问2：矩形的长和宽分别是什么？
答案：矩形的长是圆柱底面圆的周长；宽是圆柱的高
已知圆柱底面圆的半径为，高为，则圆柱的侧面积和表面积分别为：
问题2：已知圆锥的底面半径为与母线长为，如何计算圆锥的侧面积和表面积？
追问1：把圆锥的侧面沿一条母线展开，得到的是什么图形？
答案：扇形
追问2：扇形的半径和弧长分别是什么？
答案：扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是底面圆的周长
已知圆锥底面圆的半径为，母线长为，则圆锥的侧面积和表面积分别为：
问题3：已知圆台的两个底面半径分别为，，母线长为，如何求圆台的侧面积和表面积？
分析：可先将圆台还原成圆锥再展开侧面，圆台的侧面展开图是扇环，扇环面积即两扇形面积之差．
答案：由相似性可知，，所以，
小结1：圆柱、圆台、圆锥的侧面展开与侧面积
．
其中r为圆柱、圆锥底面半径，r1、r2分别为圆台上、下底面半径，l为母线的长．
思考：观察圆柱、圆锥、圆台及其侧面积的计算公式，三者之间有什么关系？
答案：圆柱可以看作是上底面与下底面相等的圆台，即；圆锥可以看作是上底面缩小成一个点的圆台，即.
问题4：类似地，如何计算直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积？
分析：将直棱柱沿一条侧棱展开，侧面可展为一矩形；
将正棱锥沿一条侧棱展开，侧面可展为四个全等的等腰三角形；
将正棱台沿一条侧棱展开，侧面可展为四个全等的等腰梯形．
答案：.其中c为棱柱、棱锥底面周长，c1、c2分别为棱台上、下底面周长，h为棱柱的高，h′为棱锥、棱台的斜高.
追问：对于一般的棱柱、棱锥、棱台，如何计算它们的侧面积？
答案：对于一般的棱柱、棱锥、棱台，其侧面就是一般的平行四边形、三角形、梯形，分别计算各侧面面积再相加即可.
思考：将直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式进行类比，能发现它们的联系和区别吗？
答案：直棱柱可以看作是上底面周长与下底面周长相同的棱台，即；正棱锥可以看作是上底面缩小成一个点的正棱台，即.
想一想：如图，长宽高分别为a、b、h的长方体体积如何计算？
答案：.我们知道，长方体实际上就是直四棱柱，所以我们可知．
猜想：对于一般的棱柱，体积该如何计算？
答案：．其中，S为柱体的底面积，h为柱体的高．由祖暅原理知，该公式对圆柱同样适用．
问题5：如图，三棱柱ABC-A′B′C′中，连接A′C、A′B、B′C，得到三个三棱锥A′-ABC、C-A′B′C′、A′-BCB′，比较其体积V1、V2、V3的大小.
答案：不妨设三棱柱的高为h，点A′到BCC′B′的距离为h′，
由图可知，三棱锥A′-ABC、C-A′B′C′等底同高（高为h），故；
三棱锥C-A′B′C′、A′-BCB′等底同高（高为h′），故；
故.
追问：由此你能得出什么结论？
答案：棱柱的体积是与它同底等高的棱锥体积的3倍，.同样地，该公式对圆锥也适用．
小结3：柱体、锥体的体积
，，其中，S为柱体、锥体的底面积，h为柱体、锥体的高．
三、应用举例
例1 一个圆柱形的锅炉，底面直径d=1 m，高h=2.3 m，求锅炉的表面积（精确到 0.1 m2）.
分析：注意直径是半径的两倍，计算表面积要在侧面积的基础上加底面积的两倍.
解：
因此，锅炉的表面积约为.
例2 圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和20 cm ，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是多少？（结果中保留）
分析：利用扇环圆心角，可求SA、SB长，作差可得母线长，进而可求侧面积.
解：如图，设圆台上底面周长为c cm，
∵圆环的圆心角是180°，∴.
又∵ (cm)，
∴SA=20 cm.同理SB=40 cm.
∴AB=SB SA=20 (cm)，
(cm2)
因此，圆台的侧面积为600 cm2.
例3 一个正三棱台的上、下底面边长分别为 3 cm 和 6 cm ，高是 cm.求这个正三棱台的侧面积.
解：如图，点O1，O分别是上、下底面的中心，则 cm.
连接并延长交于点，连接并延长交BC于点D；
过作AD的垂线，垂足为点E；连接.
在Rt△D1ED中， cm，
（cm），
（cm）.
∴（cm2），
∴三棱台的侧面积为 cm2.
例4 埃及胡夫金字塔大约建于公元前 2580 年，其形状为正四棱锥.塔高约 146.6 m，底面边长约 230.4 m.求这座金字塔的侧面积和体积.（精确到 0.1）
解：如图，AC为高，BC为底面的边心距，则AC=146.6 m，BC=115.2 m，
底面周长c=4×230.4 m.
（m2）
（m3）
因此，金字塔的侧面积约为85 914.9 m2，体积约为2 594 046.0 m3.
设计意图：通过例题，帮助学生巩固柱体、锥体、台体的侧面展开及侧面积、体积的计算．
四、课堂练习
1.轴截面是边长为2的正三角形的圆锥的侧面积是 .
2.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，其形状结构如图所示，由一个同底的圆柱体和圆锥体组合而成，若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分别为h1、h2、r，且h1=h2=2r，设圆锥体的侧面积和圆柱体的侧面积分别为S1和S2，则 = .
3. 如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，求这个圆锥的表面积.
4.如图，圆锥底面半径为1，高为3.求圆锥内接圆柱（一底面在圆锥底面上，另一底面切于圆锥侧面）侧面积的最大值.
参考答案：
1.∵圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，
∴底面半径r=1，母线长l=2，
∴.
故答案为.
2.由题意，圆锥的母线，
则，，
∴.
故答案为.
3.如图，PP′是小虫爬行的最短路程.
由余弦定理可得，
∴，设底面圆的半径为r，
则有，解得.
∴.
4.设圆柱的底面半径为r，高为h，
由相似性可得：，解得，
∴，
当时，内接圆柱侧面积取得最大值.
五、课堂小结
一、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开与侧面积
其中r为圆柱、圆锥底面半径，r1、r2分别为圆台上、下底面半径，l为母线的长.
二、直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开与侧面积
其中c为棱柱、棱锥底面周长，c1、c2分别为棱台上、下底面周长，h为棱柱的高，h′为棱锥、棱台的斜高.
三、柱体、锥体的体积
，，其中，S为柱体、锥体的底面积，h为柱体、锥体的高.
设计意图：引导学生对本节课所学知识方法有一个全面的认识，培养学生的归纳总结能力，帮助学生深化对知识的理解与掌握，体会研究解决实际问题的思路、途径、方法，为进一步学习打下坚实基础．
六、布置作业
教材第241页练习第1、2、3题．