第二章 平面向量及其应用 小结教案

本章小结
1.进一步熟悉平面向量的概念、线性运算、数量积运算、平面向量基本定理、平面向量的坐标运算、正弦定理、余弦定理；
2.掌握利用正弦定理、余弦定理解决以实际生活为背景（如测量、航海、几何天体运行和物理学上的应用等）的解三角形问题以及向量在几何、物理中的应用.
教学重点：向量的线性运算、数量积运算以及利用正余弦定理解三角形；
教学难点：向量的运算以及解三角形问题.
PPT课件.
一、知识回顾
问题1：阅读课本第126～127页，绘制本章知识结构图.
师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结.
预设答案：
设计意图：通过阅读课本，让学生明晰学习目标，完善搭建本章知识结构图
（一）问题导入
问题1向量的概念和向量运算的物理背景分别是什么？
师生活动：学生回忆、翻书查找.
预设的答案：物理背景分别是位移、速度、力.
设计意图：回顾向量物理背景，巩固探究思路、方法.
问题2向量的概念和向量运算的几何背景分别是什么？
师生活动：学生回忆、教师点拨.
预设的答案：几何背景分别是有向线段、三角形、平行四边形.
设计意图：回顾向量几何背景，巩固探究思路、方法.
问题3：比较向量运算与代数运算的，向量运算给我们什么启示？
师生活动：学生回忆、教师点拨.
预设答案：向量不仅有大小而且还有方向，运用向量解决问题，不能忽视方向.
设计意图：回顾向量运算，关注向量运算与代数的不同.
问题4：为什么平面向量基本定理是很重要的？
师生活动：学生回忆、教师点拨.
预设的答案：平面向量基本定理是向量的理论基础，定理揭示了任一平面向量均可以用平面内的任一两个不共线向量线性表示出来的实质，是平面向量运算的基础.
问题5：向量的应用有哪些？
师生活动：学生回忆、教师点拨.
预设的答案：向量是解决其他问题的重要工具，运用向量的方法可以解决一些平面几何问题以及物理中的问题.
问题6：为什么说向量是沟通几何与代数的桥梁？
师生活动：学生回忆、教师点拨.
预设的答案：向量融数、形于一体，具有几何形式和代数形式的“双重身份”，因此是沟通代数与几何的桥梁.
问题7：运用正弦定理、余弦定理能求解的三角形题型有哪些？
师生活动：学生回忆、教师点拨.
预设的答案：
正弦定理: 已知两角和一边或两边和其中一边的对角求其他边角，或两边夹角求面积.
余弦定理：已知两边和夹角求第三边，或已知三边求角.
设计意图：培养学生分析和归纳的能力.
问题8：运用正弦定理、余弦定理能求解的三角形的应用题题型有哪些？
师生活动：学生回忆、教师点拨.
预设的答案：常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等.
设计意图：通过复习回忆，对本章进行一个小结.（板书：本章小结）
（二）复习探究
1.向量的线性运算
问题9：向量线性运算的求解策略是什么？
师生活动：学生分析、老师点拨
预设的答案：（1）向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧.
（2）字符表示线性运算的常用技巧：,首尾相接用加法的三角形法则，如＋＝；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如－＝.
（3）平行向量共线向量、相等向量与相反向量、单位向量等，理解向量的有关概念并进行恰当地应用.
（4）注意常见结论的应用.如△ABC中，点D是BC的中点，则＋＝2.
设计意图：培养学生分析和归纳的能力.
2.平面向量的数量积运算及其应
问题10：向量数量积的两种运算方法有哪些？数量积运算能解决哪些途径？
师生活动：学生分析、老师点拨
预设的答案：向量数量积的两种运算方法：1当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. 2当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝x1，y1，b＝x2，y2，则a·b＝x1x2＋y1y2.
运用两向量的数量积解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解.
设计意图：培养学生分析和归纳的能力.
3.平面向量与三角形的“四心”
问题11：平面向量与三角形的“四心”有什么关系
师生活动：学生分析、老师点拨
预设的答案：设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
则：(1)O为△ABC的外心 ||＝||＝||＝.
(2)O为△ABC的重心 ＋＋＝0.
(3)O为△ABC的垂心 ·＝·＝·.
(4)O为△ABC的内心 a＋b＋c＝0.
4.正余弦定理与向量的综合应用
问题12：解决解三角形的实际应用问题的思路是什么？
师生活动：学生分析、老师点拨
预设的答案：解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中 目的是发现已知量与未知量之间的关系，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求.
设计意图：培养学生分析和归纳的能力.
（三）题型探究
例1.(1)在中，G为的重心，M为AC上一点，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
(2)如图，在平行四边形ABCD中，点满足，EF与AC交于点G，设，则 .
师生活动：分析思路，解出答案.
预设的答案：（1）因为G为的重心，所以.
又，所以，所以，故选B.
(2)设H是BC上除E点外的令一个三等分点，连接FH，连接BD交AC于O，则.在三角形CFH中，是两条中线的交点，
故G是三角形CFH的重心，结合可知，
由于O是AC中点，故.所以，由此可知.
设计意图：理解、综合运用向量的线性运算解决问题.
例2在三角形ABC中，，，，是线段上一点，且，为线段上一点.
（1）求的取值范围；
（2）若为线段的中点，直线CF与AD相交于点M，求.
师生活动：利用正弦定理将已知条件中边的关系，转化为角的关系求角或利用余弦定理，由三边之间的关系确定三角形的形状.
师生活动：学生分析解题思路，教师写出解题过程.
预设的答案：（1）在三角形中，，，，，，①
不妨设，①式，，.
（2）为线段的中点，不妨设，,
、M、D三点共线.
即
，，
设计意图：运用向量的数量积解决问题.
例3.在四边形ABCD中，，，E为AC的中点.
（1）若，则的面积为________；
（2）若，求的值为________.
师生活动：学生分析解题思路，写出解题过程.
预设的答案：（1）因为，所以，
由，可得，
所以的面积为.
（2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，由，可得，则，所以，所以.
设计意图：运用向量的数量积、坐标运算解决问题.
例4在中，，，分别是角，，的对边，且，，.
（1）求的大小；
（2）若，，求的面积.
师生活动：学生分析解题思路，写出解题过程.
预设的答案：（1）由，则，即
，，又，.
（2），，
，即,.
又，即，所以，.
设计意图：运用向量与解三角形解决问题.
例5已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心
师生活动：学生分析解题思路，写出解题过程.
预设的答案：因为＝＋λ，所以＝－＝λ，所以·＝·λ＝λ(－||＋||)＝0，所以⊥，所以点P在BC的高线上，即动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心，故选B.
设计意图：巩固平面向量的四心的应用.
【板书设计】
本章小结
一、知识回顾 二、初步应用
（一）问题导入 例1
（二）复习探究 例2
（三）题型探究 例3
例4
例5
2.总结概括：
问题：（1）有关向量的注意点有哪些？
（2）平面向量运算律的注意点有哪些？
（3）解三角形问题中的注意点有哪些？
师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.
预设的答案：
（1）有关向量的注意点
①零向量的方向是任意的.②平行向量无传递性，即a∥b，b∥c时，a与c不一定是平行向量.③注意数量积是一个实数，不再是一个向量.
（2）向量运算律中的注意点
①向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约).②向量的“乘法”不满足结合律，即(a·b)c≠a(b·c).
（3）应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化问题，要注意公式及题目的隐含条件；解三角形问题要注意结合图形，特别是三角形的相关性质(内角和、边角关系)；已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理；解三角形时可能有一解、两解和无解三种情况）.
设计意图：通过梳理本章的内容，能让学生更加明确本章的有关知识.
布置作业：
【目标检测】
1.（2020年全国Ⅲ卷）已知向量，满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
设计意图：巩固平面向量的运算
2.（2020年新高考全国Ⅰ卷）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
设计意图：检查学生对平面向量数量应用的掌握情况
3.（2020年北京卷）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________.
设计意图：检查学生对向量的坐标运算的掌握情况.
4.（2020年全国Ⅱ卷）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
设计意图：检查学生对正弦定理、余弦定理的掌握情况.
参考答案：
1.D，，，.
，因此，.
2.A
的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是.
3. 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、、、，，则点，，，因此，，.
4. 【解析】（1）由正弦定理可得：，，，.（2）由余弦定理得：，即.（当且仅当时取等号），
，解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为.
教学目标
教学重难点
课前准备
教学过程