第五章 复数 小结教案

本章小结
1.理解复数引入的必要性，了解数系的扩充，理解复数的代数表示及其几何意义、复数相等的条件.
2.掌握复数代数表示的四则运算，了解复数加减运算的几何意义.
教学重点：复数的概念及四则运算.
教学难点：复数几何意义的理解.
PPT课件.
一、知识回顾
问题1：阅读课本第187页，绘制本章知识结构图.
师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结.
预设的答案：
设计意图：通过阅读课本，让学生明晰学习目标，完善搭建本章知识结构图
二、问题导入
问题1在数系的扩充过程中，实际需求和数学内部需求起到了什么作用？
师生活动：学生思考回忆，教师补充.
预设的答案：推动了数系的扩充.
设计意图：理解数系扩充的必要性.
问题2复数四则运算中最主要的是什么？为什么？
师生活动：学生回忆、教师点拨.
预设的答案：复数四则运算中最主要是乘法运算，因为乘法运算包含函了复数的加减运算，除法运算，可以转化为乘法运算，因此是四则运算最重要的.
设计意图：通过复习回忆，对本章进行一个小结-----本章小结.（板书）
【新知探究】
1.复数的基本概念
问题3：处理复数概念问题的需要注意什么？
师生活动：学生分析、老师点拨
预设的答案：需要注意： 1 当复数不是a＋bi a，b∈R 的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部. 2 求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根.
追问：复数问题实数化的理论依据是什么？
师生活动：学生分析、老师点拨
预设的答案：是复数相等的充要条件
设计意图：培养学生分析和归纳的能力.
2. 复数的几何意义
问题4：如何利用复数的几何意义解决问题？
师生活动：学生分析、老师点拨
预设的答案：复数具有明显的几何意义,与向量关系密切.复数与复平面内的点是一一对应的,与复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的.当条件中出现与复数模有关或与平面图形有关的问题时,一般要联想复数的几何意义.
设计意图：培养学生分析和归纳的能力.
3.复数的四则运算
问题5：在复数运算的过程中常用的公式有哪些？
师生活动：学生分析、老师点拨
预设的答案： 1 i的乘方：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i n∈N* .
2 1±i 2＝±2i., 3 ＝－1.
问题6：求解复数的四则运算求复数的一般思路是什么？
师生活动：学生分析、老师点拨
预设的答案：复数的运算包括加、减、乘、除，在解题时应遵循“先定性、后解题”的原则，化虚为实，充分利用复数的概念及运算性质实施等价转化.
问题7：求复数的模的最值，常用的方法有哪些？
师生活动：学生分析、老师点拨
预设的答案：(1)设出代数形式，利用求模公式，把模表示成实数范围的函数，然后利用函数来求最值；(2)利用不等式||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|求解；(3)利用几何法求解.
设计意图：培养学生分析和归纳的能力.
二、题型探究
例1.已知复数，为虚数单位，且复数为实数.
（1）求复数z；
（2）在复平面内，若复数对应的点在第一象限，求实数m的取值范围.
师生活动：分析思路，解出答案.
预设的答案：（1）因为，所以z＋＝a＋＋
＝＋
＝＋
＝，
由于复数z＋为实数，所以1－＝0，
因为，解得，因此，.
（2）由题意
，
由于复数对应的点在第一象限，则，解得.
因此，实数的取值范围是.
设计意图：理解复数的概念、掌握复数的运算.
例2(1) 已知是z的共轭复数，若z·i＋2＝2z，则z＝(　　)
A.1＋i B.1－i
C.－1＋i D.－1－i
(2)已知复数z1＝2－3i，z2＝，则＝(　　)
A.－4＋3i B.3＋4i
C.3－4i D.4－3i
师生活动：学生分析解题思路，教师写出解题过程.
预设的答案：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入z·i＋2＝2z中得，(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，∴2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，
由复数相等的条件得，，∴，∴z＝1＋i，故选A.
(2) ＝
＝
＝－＝4－3i.
【变式设问1】本例题(1)中已知条件不变，则＝ .
【解析】由例(1)解析知z＝1＋i，所以＝1－i，＝＝i.
【变式设问2】本例题(2)中已知条件不变，则z1z2＝ .　
【解析】z1z2＝
＝
＝.
设计意图：运用复数的运算解决问题.
例3. 已知复数（是虚数单位）.
（1）若是纯虚数，求的值和；
（2）设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第三象限，求的取值范围.
师生活动：学生分析解题思路，写出解题过程.
预设的答案：（1）由题复数（是虚数单位），
化简
若是纯虚数，则 ，解得，
此时 所以.
（2）由（1）可知，所以，
，
又因为复数在复平面上对应的点位于第三象限，
所以 ，即.
设计意图：运用复数的运算、复数的模解决问题.
例4 把下列复数转化为三角形式.
(1)－1；(2)2i；(3)－i.
师生活动：学生分析解题思路，写出解题过程.
预设的答案：(1)r＝＝1，辐角的主值为θ＝arg(－1)＝π，
所以－1＝cosπ＋isinπ.
(2)r＝＝2，辐角的主值为θ＝arg(2i)＝，所以2i＝2.
(3)r＝＝2，由tanθ＝和点(，－1)在第四象限，
得θ＝arg(－i)＝2π－，
所以－i＝2.
设计意图：运用复数三角形式解决问题.
【板书设计】
第四章小结
一、探索新知 二、初步应用
1.复数的基本概念 例1
2.复数的几何意义 例2
3.复数的四则运算 例3
例4
2.总结概括：
问题8：（1）解决复数问题是否用到待定系数法？
（2）解决复数问题用到什么思想方法？
师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.
预设的答案：（1）待定系数法是数学中特别重要的一种解题方法，在本章的复数的运算当中，待定系数法用的较多，常设z＝a＋bi(a，b∈R)，建立a，b的关系式，然后求解问题.
（2）一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，则涉及复数的分类讨论思想，复数几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想.
设计意图：通过梳理本章的内容，能让学生更加明确本章的有关知识.
布置作业：
【目标检测】
1.（2020年新高考全国Ⅱ卷）（ ）
A.1 B. 1 C.i D. i
设计意图：检查学生对复数运算的掌握情况.
2.（2020年全国Ⅲ）复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
设计意图：检查学生对复数概念的掌握情况
3.（2020年全国Ⅱ卷）设复数，满足，，则=__________.
设计意图：检查学生对复数模长的求解，涉及到复数相等的应用.
4. 设复数z1＝2＋a (其中a∈R)，z2＝3－4
（1）若z1＋z2是实数，求z1·z2的值；
（2）若是纯虚数，求|z1|.
设计意图：检查学生对复数概念、运算的掌握情况.
参考答案：
1.D .
2.D 因为，
所以复数的虚部为.
3. 【解析】方法一：设，，
，
，又，所以，，
，
，
.
方法二：如图所示，设复数所对应的点为,,
由已知,
∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴，
，
∴.
4.解析：（1）（其中，，
，由是实数，得.
，，则.
（2）由是纯虚数，
得，即，.
教学目标
教学重难点
课前准备
教学过程