2.3 复数乘法几何意义初探 教案

第五章 复数
§2 2.3复数乘法几何意义初探
1.理解复数与实数、复数与纯虚数乘法的几何意义，掌握将复数乘法转化为向量的处理方法.
2.引导学生对复数乘法的几何意义的自主探究，培养学生积极参与合作交流，了解从特殊到一般的数学抽象过程.
3.通过研究复数乘法的几何意义，揭示数与形之间的联系，帮助学生树立数形结合的思想方法，培养学生数学抽象与直观想象素养.
教学重点：复数与实数、复数与纯虚数乘法的几何意义.
教学难点：复数与纯虚数乘法的旋转意义.
PPT课件.
一、探索新知
问题1：复数的几何意义是什么？
师生活动：学生思考，举手回答.
预设答案：复数z的几何意义有两种，一是复数z＝a＋bi与复平面上的点Z(a，b)一一对应,这二是复数z＝a＋bi与平面向量一一对应.
追问1：复数加法的几何意义是什么？
师生活动：学生思考，举手回答.
预设答案：利用向量的平行四边形法则表示复数的和.
追问2：设复数，则的几何意义是什么？
由复数乘法可知，根据复数的几何意义，对应的向量为，复数z的对应的向量，所以.
设计意图：通过复习，引导学生把复数问题转化为向量问题来处理，从而引出本节内容---复数乘法几何意义初探.（板书）
问题2：设复数所对应的向量为,若对应的向量为，
则与是什么关系？
师生活动：在复平面内，找出复数所对应的点，作出向量与，找出它们的位置关系.
预设答案：因为，，所以，由向量数乘的几何意义，是将沿原方向伸长原来的2倍得到.
追问：在复平面内，设,，它们分别对应的向量为与，如何直观地理解与之间的位置关系？
师生活动：在复平面内，找出复数所对应的点，作出向量与，找出它们的位置关系.
预设答案：是将沿原方向缩短原来的倍得到.
设计意图：培养学生学会从具体到抽象地分析问题.
问题3：设复数，所对应的向量为与，如何直观地理解与之间的位置关系呢？若复数呢？
师生活动：学生思考与之间的位置关系，并思考这种位置关系是否具有普遍性.
预设答案：因为，所以，所以，，所以可以看作逆时针旋转得到的.同理可得对应的向量可以看作对应的向量逆时针旋转.
问题4：设复数所对应的向量为,若对应的向量为，
则与是什么关系？
师生活动：学生思考，教师补充.
预设答案：因为，所以，而，
因为，所以，故可以看作逆时针旋转得到.
追问：在复平面内，设复数，它们分别对应的向量为，，如何直观地理解与之间的位置关系呢？
师生活动：学生分组讨论，思考交流，汇报成果，教师补充.
预设答案：可以看作逆时针旋转得到.
设计意图：学会从特殊到一般的探究方法，学会从简单到复杂的探究规律，学会从具体到抽象的数学抽象过程.
问题5：在复平面内，设复数，，它们分别对应的向量为，，，如何直观地理解与，之间的位置关系呢？
师生活动：在本节课学习的基础上，通过计算或者直观想象，能合理地分析与，之间的位置关系.
预设答案：因为，所以，所以是将顺时针旋转得到，是将顺（逆）时针旋转得到的.
设计意图：培养学生能联系所学知识，不断提出新问题，并解决问题的能力.
二、初步应用
例1在复平面内，复数，它们对应的向量分别为，，如何直观地理解与之间的位置关系.
师生活动：学生分析解题思路，写出解题过程.
预设答案：是由逆时针旋转得到的.
设计意图：巩固复数乘法的几何意义.
例2在复平面内，复数，，它们分别对应的向量为，，如何直观得解释与关系呢？
师生活动：学生分析解题思路，教师板书解题过程.
预设答案：因为，所以，
根据向量与复数的对应关系可得，，
所以，，所以，
又，所以，故是变为原来，再顺时针旋转得到，如图所示.
设计意图：巩固复数乘法的几何意义.
练习：教科书第177页练习1,2.
师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予点评指导.
【板书设计】
§2 2.3复数乘法几何意义初探
一、探索新知 二、初步应用
复数乘法几何意义初探 例1
例2
三、归纳小结，布置作业
问题6：通过本节课的学习，你有什么收获？可以从以下几个问题归纳.
（1）请用本节所学的知识解释为什么与的方向是相反的？
（2）复数乘法的几何意义是什么？
师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.
预设的答案：
（1）把负号看作或者，把向量旋转180°，可得向量.
(2)①复数(a＋bi)·c(c>0)对应的向量是由a＋bi对应的向量沿原方向拉伸或压缩c倍得到的.
②复数(a＋bi)·i对应的向量是由a＋bi对应的向量逆时针旋转得到的.
布置作业：教科书第177页，A组8；P178B组第6题.
四、目标检测设计
1.在复平面内，把与复数a＋bi(a，b∈R)对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90°后所得向量对应的复数为(　　)
A.a－bi B.－a＋bi C.b－ai D.－b＋ai
设计意图：检查学生对复数乘法几何意义的掌握情况.
2.在复平面内，把复数3－i对应的向量分别按逆时针方向旋转所得向量对应的复数为（ ）
A. B. C. D.
设计意图：检查学生对复数乘法几何意义的掌握情况.
3.复平面内向量对应的复数为2＋i，A点对应的复数为－1，现将绕A点顺时针方向旋转90°后得到的向量为，则点C对应的复数为________.
设计意图：检查学生对复数乘法几何意义的掌握情况.
4.在复平面内，复数，，它们分别对应的向量为，，判断与关系呢？
设计意图：检查学生对复数乘法几何意义的掌握情况.
参考答案：
1.C所求复数为＝－(a＋bi)i＝b－ai，故选C.
2.B由复数乘法的几何意义可得，故选B.
3.－2i 量对应的复数为－(2＋i)i＝1－2i，
∵，∴对应的复数为－1＋(1－2i)＝－2i，即点C对应的复数为－2i.
4.解析：因为，所以，
根据向量与复数的对应关系可得，，
所以，，所以，
又，所以是的反向量.
教学目标
教学重难点
课前准备
教学过程