2.2 复数的乘法与除法 教案

第五章 复数
§2 2.2复数的乘法与除法
1.掌握复数的乘法和除法运算；
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
3.借助复数的乘除运算，提升数学运算的素养.
教学重点：复数的乘、除运算.
教学难点：复数除法运算.
PPT课件.
一、探索新知
问题1：复数的加减类似于多项式加减，试想：复数相乘是否类似于多项式相乘？
师生活动：学生思考，举手回答.
预设答案：是.
设计意图：通过问题情景引入本节的内容---复数的乘法与除法.（板书）
1.复数的乘法
问题2：如何计算(1＋2i)(1＋3i)的值？
师生活动：学生思考，举手回答.
预设答案：类比多项式的乘法可得：(1＋2i)(1＋3i)=1+3i+2i6= 5+5i。
设计意图：由特殊到一般得出复数的乘法运算.
问题3你能归纳复数的乘法吗？
师生活动：学生思考，归纳.
预设答案：对任意两个复数a＋bi和c＋di(a，b，c，d∈R)，
则(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
设计意图：归纳复数的乘法运算.
问题4：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？
师生活动：学生思考，举手回答.
预设答案：复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并.
设计意图：理解复数乘法的运算.
资源名称：【知识点解析】知识讲解——复数的乘法法则
资源介绍：本资源为复数的乘法法则知识讲解微课.
注意：本图片为微课截图，若需使用资源，请于资源库调用.
问题5：数的乘法的运算律对复数乘法还适用吗？你能说出乘法的运算律吗？
师生活动：学生阅读教材P172页思考，小组探究.
预设答案：适用，复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1·z2＝z2·z1
结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
设计意图：探究复数的运算律.
问题6：请计算下列各式的值，
i2, i3, i4, i4, i5, i6, i7, i8, i9.
你能得出什么规律？你能用数学符号表示这个规律吗？
师生活动：学生思考，教师引导，补充.
预设答案：因为i2,ii,i,ii,i,ii,i,ii，
所以具有周期性. 一般地，对任意自然数n，有.
设计意图：通过具体问题，推出的周期性.
(4)复数的周期性：
问题7：若，是否有？？
师生活动：学生独立思考，举手回答.
预设答案：成立.复数的乘法（乘方）类似于实数范围内的多项式的乘法（乘方），只不过是在运算中遇到i时就将其换为，因此在复数范围内，完全平方公式、平方差公式等仍然成立.
设计意图：推导乘法公式在复数中的应用.
问题8：|z|2＝z2，正确吗？
师生活动：学生独立思考，举手回答.
预设答案：不正确.例如，|i|2＝1，而i2＝－1.
设计意图：帮助学生理解乘法公式.
问题9：如何证明：对任意的两个复数，若，则至少有一个为0.
师生活动：学生思考、证明，小伙伴讨论.
预设答案：可以反证法证明，假都不为0，即，且，则，，因为，所以，所以，所以，或，这与矛盾，故假设不成立，原命题成立。（也可以参考教材P173例10的证明）
设计意图：帮助学生理解复数的乘法运算.
问题10：计算下列三组复数的积，你能得到什么规律？
①z1＝2＋i，z2＝2－i；
②z1＝3＋4i，z2＝3－4i；
③z1＝4i，z2＝－4i.
①；②；③.
互为共轭复数的乘积是实数，等于这个复数（或其共轭复数）模的平方，
即若，则.
2.复数的除法
问题11：已知z(i+1)=1，如何求复数？
师生活动：学生独立思考，小组探究.
预设答案：设i，则(x+yi)(1+i)=1，即i ，
即，解得，所以i.
问题12：探究复数加法的运算律类比根式除法的分母有理化，比如＝，类比上述根式运算，你能写出复数的除法法则吗？
师生活动：学生独立思考，举手回答.
预设答案：满足，复数的除法：i.(分母实数化)
设计意图：通过类比，探究复数除法的运算.
问题13如何计算下列各值：
（1）；（2）；（3）.
师生活动：学生思考、计算，举手回答.
预设答案：参考教材P174例11的解析.
设计意图：帮助学生理解复数的除法运算.
二、初步应用
例1计算：.
师生活动：学生分析解题思路，写出解题过程.
预设答案：i.
设计意图：巩固复数乘法的运算.
例2计算：（1）（1+i）；（2）(2i)(2+i)；（3）i，i.,i,i
师生活动：学生分析解题思路，板书解题过程.
预设答案：(1);(2)25;(3)i；1;i;.
设计意图：巩固复数乘方的.
例3求一元二次方程且在复数范围内的根，并验证.
师生活动：学生思考，教师板书解题过程.
预设答案：参考教材P172例9的解析..
设计意图：探究复数方程根的情况.
练习：教科书第175页练习1,2，3,4.
师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予点评指导.
§2 2.2复数的乘法与除法
一、探索新知 二、初步应用
1.复数的乘法 例1
例2
2.复数的除法 例3
三、归纳小结，布置作业
问题14：通过本节课的学习，你有什么收获？可以从以下几个问题归纳.
（1）如何理解复数的乘法？
（2）如何进行复数除法运算？
师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.
预设的答案：
（1）复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数.
（2）实数化：①在进行复数除法运算时，通常先把(a＋i)÷(c＋di)写成商的形式，即(a＋bi)÷(c＋di)＝；②分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似.
布置作业：教科书第177页，A组2,3,4,5,6；P178 B组1,2,3,4.
四、目标检测设计
1.复数(3i－1)·i的虚部是(　　)
A.－1 B.－3 C.3 D.1
设计意图：检查学生对复数加乘法的掌握情况.
2.若复数z＝2i＋，其中i是虚数单位，则复数z的模为(　　)
A. B. C. D.2
设计意图：检查学生对复数除法的掌握情况.
3.已知复数z＝，则复数z= .
设计意图：检查学生对复数乘方的掌握情况.
4.已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数).
(1)求b，c的值；
(2)试说明1－i也是方程的根吗？
设计意图：检查学生对复数方程掌握情况.
参考答案：
1.A(3i－1)·i＝3i2－i＝－3－i，所以虚部为－1.
2.B 由题意，得z＝2i＋＝2i＋＝1＋i，复数z的模|z|＝.
3. 【解析】－1－＋1＝0，，
所以,所以z＝.
4.解：(1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
所以(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，
即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.
所以得。
(2)由(1)得方程为x2－2x＋2＝0.
把1－i代入方程左边得
.
教学目标
教学重难点
课前准备
教学过程