2.1 复数的加法与减法 教案

第五章 复数
§2 2.1复数的加法与减法
1.掌握复数代数形式的加减运算法则.
2.了解复数代数形式的加减运算的几何意义.
3.借助复数代数形式的加减运算与几何意义提升数学运算、直观想象的素养.
教学重点：复数的加、减运算.
教学难点：复数加减的几何意义.
PPT课件.
一、探索新知
问题1前面我们学习了复数的概念、复数的几何意义.请问复数i与复平面内的点、向量是什么关系？
师生活动：学生回忆，举手回答.
预设答案：一一对应关系.
问题2我们知道实数、向量的加减都有相应的运算法则，那么如何进行复数的加减运算呢？
师生活动：学生思考，教师提示.
预设答案：我们这节课要研究的就是复数的加减运算，下面我们一起探究复数的运算.
设计意图：通过复习引入本节的内容---§2 2.1复数的加法与减法.（板书）
1.复数的加法与减法
问题3：类比多选式的加法运算，想一想复数如何进行加法的运算？
师生活动：学生独立思考，举手回答.
预设答案：两个复数相加就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加.
追问：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，如何求z1＋z2的值？
师生活动：学生独立思考，举手回答.
预设答案：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.
设计意图：推导复数加法的运算.
问题4：若z1＝a＋bi，z2＝c＋di，如何求z1-z2？
师生活动：学生思考，小组讨论.
预设答案：z1-z2＝(a＋bi)-(c＋di)＝(a-c)＋(b-d)i.
设计意图：探究复数的减法运算.
问题5：你能写出复数的加法的交换律和结合律吗？你能证明复数加法的结合律吗？
师生活动：学生阅读教材第170页，证明加法的结合和交换律，小组讨论.
预设答案：对任意z1，z2，z3∈C，有①z1＋z2＝z2＋z1；②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).
能，证明：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，z3＝x＋yi，(x，y∈R),
则(z1＋z2)＋z3＝，
z1＋(z2＋z3) ＝，
所以(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)。
设计意图：探究复数加法的运算律.
问题6两个复数的和是什么数，它的值唯一确定吗？
师生活动：学生独立思考，举手回答.
预设答案：是复数，唯一确定.
设计意图：帮助学生理解复数的加法运算.
问题7：如何计算（5+3i）+(24i)+(4i)？
师生活动：学生思考、计算.
预设答案：5i.
设计意图：巩固向量加法的运算.
2.复数加法的几何意义
问题8：向量分别表示复数，那么表示的复数应该是什么？
师生活动：学生独立思考，举手回答.
预设答案：如图，表示的复数为.
设计意图：为引入复数的几何意义作铺垫.
资源名称：【数学探究】复数的加法的几何意义
使用建议：本资源通过交互式动画，结合向量加法的几何意义对比探究复数加法的几何意义，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．
注意：本图片为资源截图，若需使用，请与资源库调用．
问题9：设复数对应的向量分别为，那么向量，的坐标分别是什么？
师生活动：学生思考，小组讨论.
预设答案：，.
问题10：根据上述分析，总结复数加法的几何意义？
师生活动：学生思考、归纳.
预设答案：如图所示，分别与向量,
对应，则.
这说明两个向量的和就与复数(a＋c)＋(b＋d)i是对应的向量.因此复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义.
问题11：类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？
师生活动：教师引导学生思考，并补充完善.
预设答案：|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离.
设计意图：巩固复数加法的几何意义.
二、初步应用
例1设，求与.
师生活动：学生分析解题思路，写出解题过程.
预设答案：，.(详解参考教材P169例2的解析.)
设计意图：巩固复数的相关概念.
例2 已知向量对应的复数是，请计算的结果，并给出几何解释.
师生活动：学生分析解题思路，板书解题过程.
预设答案：。（详解参考教材P170例4的解析.）
设计意图：巩固复数加法的几何意义.
例3已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.
师生活动：学生分析解题思路，教师板书解题过程.
预设答案：解法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①
(a－c)2＋(b－d)2＝1.②
由①②得2ac＋2bd＝1.
∴|z1＋z2|＝
＝.
解法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴OAB是边长为1的正三角形，
∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|OC|
＝.
设计意图：巩固复数加法的几何意义的应用.
练习：教科书第171页练习1,2.
师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予点评指导.
【板书设计】
§2 2.1复数的加法与减法
一、探索新知 二、初步应用
1.复数的加法与减法 例1
例2
2.复数加法的几何意义 例3
【课堂小结】
三、归纳小结，布置作业
问题12：通过本节课的学习，你有什么收获？可以从以下几个问题归纳.
（1）复数代数形式的加、减法运算方法是什么？
（2）用复数加、减运算的几何意义的解题技巧是什么？
（3）满足|z|＝1的所有复数z对应的点组成什么图形？
（4）若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点组成什么图形？
师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.
预设的答案：
（1）复数与复数相加减，相当于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减).
（2）形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理.
数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中.
（3）满足|z|＝1的所有复数z对应的点在以原点为圆心，半径为1的圆上.
（4）∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上.
布置作业：教科书第167页，A组1.
四、目标检测设计
1.复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z1－z2在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
设计意图：检查学生对复数加减法的掌握情况.
2.□ABCD中，点A、B、C分别对应复数4＋i、3＋4i、3－5i，则点D对应的复数是(　　)
A.2－3i B.4＋8i C.4－8i D.1＋4i
设计意图：检查学生对加法运算与几何意义的掌握情况.
3.已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝ .
设计意图：检查学生对复数加法的掌握情况.
4.已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点.
(1)求对应的复数；
(2)求对应的复数；
(3)求APB的面积.
设计意图：检查学生对加法运算与几何意义的掌握情况.
参考答案：
1.A ∵z1－z2＝(3＋i)－(1－i)＝2＋2i，∴z1－z2在复平面内对应的点位于第一象限.
2.C 对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i，
设点D对应的复数为z，则对应的复数为(3－5i)－z.
由平行四边形法则知＝，
∴－1＋3i＝(3－5i)－z，
∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.故应选C.
3.3由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是纯虚数，所以，解得a＝3.
4.解析：(1)由于ABCD是平行四边形，所以，于是，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，即对应的复数是－2＋2i.
(2)由于，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即对应的复数是5.
(3)由于，，
于是，而||＝，||＝，
所以·cos∠APB＝，
因此cos∠APB＝－，故sin∠APB＝，
故S△APB＝sin∠APB＝，即APB的面积为.
教学目标
教学重难点
课前准备
教学过程