5.1 复数的概念及几何意义 教案

第五章 复数
§1 复数的概念及几何意义
1.了解数的概念的发展历程和数集扩充到复数集的必要性，理解复数的代数形式，理解虚数单位、复数的实部与虚部等概念和复数的分类，能够运用复数的概念解决简单的复数问题；
2.理解复数相等的充要条件，理解复数的概念、复数与复平面内点的对应关系以及复数的几何意义；
3.借助复数的概念，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算的素养.
教学重点：复数的概念、复数的向量表示.
教学难点：复数的向量表示.
PPT课件.
一、整体概览
问题1：阅读课本第163页，回答下列问题：
（1）本章将要探究哪些问题？
（2）本章要探究的对象在科学上的作用是怎样的？
师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容.
预设的答案：（1）本章将要了解引入复数的必要性，认识数系的扩充，掌握复数的表示、运算及其几何意义，感受人类理性思维对数学发展所起的重要作用，提高数学抽象和数学运算的核心素养.（2）复数在科学上的作用可大了，没有复数，便没有电磁学，便没有量子力学，便没有近代文明.
设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步构建学习内容的思维框架.
★资源名称： 【情景演示】复数章首引入
★使用说明：本资源为《复数》一章的整体引入视频，通过动画简单介绍了复数的引入过程，为学生的新知学习做好铺垫.
注：此图片为视频截图，如需使用资源，请于资源库调用．
二、探索新知
1.复数的概念
问题1：方程在实数范围内有解吗？
师生活动：学生独立思考，举手回答.
预设答案：没有.
追问：为解决方程，数系从有理数扩充到实数，那么怎样解决方程在实数系无根的问题呢？
师生活动：学生独立思考.
预设答案：设想引入新数i，使i是方程的一根，即i i ，方程有解.
设计意图：调动学生的主观能动性，激发学生的好奇心与求知欲，为本节课的学习作准备.
问题2：什么是复数，什么是虚数？
师生活动：学生阅读教材第164页，识记复数的相关概念.
预设答案：形如a＋bi(其中a，b∈R)的数叫做复数，当当时，叫作虚数.
设计意图：探究复数的概念.
知识讲解（一）：
1.虚数单位：引入一个新数i，叫作虚数单位，并规定：（1）它的平方等于，即i；
（2）实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.
2.形如a＋bi(其中a，b∈R)的数叫做复数，通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中，a称为复数z的实部，记作,b称为复数z虚部，记作.
3.对于a＋bi，
当且仅当时，它是是实数；
当且仅当时，它是实数0；
当时，叫作虚数；
当且时，叫作纯虚数.
复数的分类：①复数a＋bi(a，b∈R)
②集合表示：
4.全体复数所成的集合称为复数集，记作，即C={z|z=a+bi，a，b∈R}.显然.
问题3：写出自然数集N，整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C的关系,并用Venn图表示.
师生活动：学生独立思考，举手回答.
预设答案：,Venn图如下：
设计意图：巩固数集之间的关系.
问题3：请说出下列三个复数的实部、虚部，并指出它们是实数还是虚数，如果是虚数，请指出是否为纯虚数：（1）i；（2）i；（3）.
师生活动：学生独立思考，小伙伴交流.
预设答案：（1）的实部是1，虚部是，是虚数，但不是纯虚数；（2）i的实部是0，虚部是，是纯虚数；（3）实部是，虚部是0，是实数.
问题4：实数之间有相等关系，那么复数之间可以相等吗？如何定义复数的相等呢？
若复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d∈R)，则z1＝z2的充要条件是什么？
师生活动：学生独立思考，小伙伴交流.
预设答案：可以，即两个复数与相等定义为：它们的实部相等且虚部相等.
设计意图：引导学生探究两复数相等的充要条件.
问题5：由能否推出
师生活动：学生独立思考，教师补充.
预设答案：不能.当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小.
追问：若(a－2)＋bi>0，则a，b应满足什么条件？
师生活动：学生独立思考，教师补充.
预设答案：要使(a－2)＋bi>0成立，则(a－2)＋bi应为实数，且a－2>0，即故
设计意图：帮助进一步学生理解复数的概念.
★资源名称： 【知识点解析】复数的概念
★使用说明：本资源为复数的概念知识讲解，包括复数的概念、分类等知识．
注：此图片为视频截图，如需使用资源，请于资源库调用．
2.复数的几何意义
问题6：在什么条件下，复数i唯一确定？
师生活动：学生回忆，举手回答.
预设答案：由实部和虚部唯一确定.
设计意图：把新知识与之前学习的知识进一步融合，让学生在发现中学习，并理解知识间的关系.
问题7：设复数i，以的实部和虚部组成一个有序实数对，那么复数与有序实数对之间是一个怎样的对应关系？
师生活动：学生回忆，举手回答.
预设答案：一一对应关系，即复数i与复平面的点一一对应.
设计意图：探究复数i与复平面的点的对应关系.
问题8复数i能用直角坐标平面内的点表述吗？若不能，如何表示？
师生活动：学生思考，小组讨论.
预设答案：不能，可以通过建立复平面来表示，即x轴为实轴，y轴为虚轴，则任一复数都可以用复平面内的点表示.
设计意图：帮助学生探究复平建立.
问题9：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？
师生活动：学生回忆，举手回答.
预设答案：不正确.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数.
设计意图：帮助学生理解复平面的概念.
问题10：复数i与向量有关系吗？向量的模是复数的模吗？
师生活动：学生思考，举手回答.
预设答案：有关系，复数i与平面向量是一一对应的.复数的模即的模，所以.
设计意图：探究复数与复平面内相应向量的关系.
问题11：在复平面内，关于x轴对称的点有什么关系？如何定义共轭复数呢？
师生活动：学生思考，小组讨论.
预设答案：在复平面内，关于x轴对称的点实部相等，虚部互为相反.若两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，称共轭复数.
设计意图：探究共轭复数的概念。
问题12：你能用图表示复数i与复平面内点以及复平面内的向量之间的关系吗？
师生活动：学生阅读教材，用图表示三者之间的关系.
预设答案：
设计意图：加深对复数几何意义的理解。
★资源名称： 【知识点解析】复数的几何意义
★使用说明：本资源讲解并练习了复数的两种几何意义，并进行了简单小结，帮助学生体会知识的形成过程，初步感受其应用．
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三、初步应用
例1实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
师生活动：学生分析解题思路，写出解题过程.
预设答案：(1)当x满足，即x＝5时，z是实数.
(2)当x满足，即x≠－3且x≠5时，z是虚数.
(3)当x满足即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数.
设计意图：巩固复数的相关概念.
【例2】在复平面内，表示下列复数的点的集合是什么图形？
（1） ；（2）.
师生活动：学生分析解题思路，写出解题过程.
预设答案：（1）的几何意义是以原点为圆心，以2为半径的圆；（2）表示以原点为圆心，半径分别为2和3的两圆所夹的圆环（详解参考教材P166例3的解析）.
设计意图：巩固复数模的概念及复数的几何意义的应用.
例3：在复平面内作出表示下列复数的点，并分别求出它们的模和共轭复数：
（1）；（2）
师生活动：学生分析解题思路，教师补充.
预设答案：参考教材P167例4的解析.
设计意图：巩固复数模与共轭复数的意义.
练习：教科书第167页练习1,2,3,4.
师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予点评指导.
【板书设计】
§1 复数的概念及几何意义
一、探索新知 二、初步应用
1.复数的概念 例1
例2
2.复数的几何意义 例3
四、归纳小结，布置作业
问题13：通过本节课的学习，你有什么收获？可以从以下几个问题归纳.
（1）解决复数分类问题的方法与步骤？
（2）如何理解复数的模？
师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.
预设的答案：
（1）解决复数分类问题的方法与步骤：①化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
②定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
③下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，bR)，ⅰ）z为实数b＝0；ⅱ）z为虚数b≠0；ⅲ）z为纯虚数a＝0且b≠0.
（2）①代数角度理解：复数a＋bi(a，b∈R)的模|a＋bi|＝，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.②几何角度理解：表示复数的点Z到原点的距离.|z1－z2|表示复数z1，z2对应的点之间的距离.③特殊情形：如果b＝0，那么z＝a＋bi(a，b∈R)是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).
布置作业：教科书第167页，A组12,3,4,5,6.B组1,2.
五、目标检测设计
1.下列命题：(1)若a＋bi＝0，则a＝b＝0；(2)x＋yi＝2＋2ix＝y＝2；(3)若y∈R，且(y2－1)－(y－1)i＝0，则y＝1，其中正确命题的个数为(　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
设计意图：检查学生复数概念的掌握情况.
2.当＜m＜1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
设计意图：检查学生对复数几何意义的掌握情况.
3.已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝ ，n＝ .
设计意图：检查学生对复数相等的掌握情况.
4.已知m∈R，复数z＝lg m＋(m2－1)i，当m为何值时，
(1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数.
设计意图：检查学生对复数概念的掌握情况.
参考答案：
1.B (1)，(2)所犯的错误是一样的，即a，x不一定是复数的实部，b，y不一定是复数的虚部；(3)正确，因为y∈R，所以y2－1，－(y－1)是实数，所以由复数相等的条件得，解得y＝1.
2.D ∵0，m－1<0，∴点(3m－2，m－1)在第四象限.
3. 2　±2　[由复数相等的充要条件有。
4.解：(1)当z为实数时，m需满足，解得m＝1.
(2)当z为虚数时，m需满足，解得m＞0，且m≠1.
(3)当z为纯虚数时，m需满足无解，即不存在m使z为纯虚数.
教学目标
教学重难点
课前准备
教学过程