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12.1 全等三角形 分层作业
基础训练
1．（23-24八年级上·广西梧州·阶段练习）在下列各组图形中，不是全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图是两个全等三角形，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知和和D分别是对应顶点，且，则的度数是（ ）
A．80° B．60° C．30° D．不能确定
4．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，点D，E分别是边，上的点，若，则的度数为（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
5．（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）如图，，点在上，与相交于点．则的周长为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．12
6．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，已知，与交于点C，与交于点D，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）一个三角形的三边为、、，另一个三角形的三边为、、，若这两个三角形全等，则 ．
8．（23-24八年级上·江苏常州·期中）若，，，则的边上的高为 cm．
9．（23-24八年级上·河南南阳·期中）如图，两个全等的直角三角板重叠在一起，将其中的一个三角板沿着方向平移到的位置，与交于点O．若，则四边形的面积为 ．
10．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，这是纸飞机的示意图，在折纸的过程中，使得与能够重合．如果，，那么 ．
11．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）沿图中的虚线画线，把下面的图形划分为两个全等的图形（用二种不同方法）：
12．（23-24八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，，请写出对应角，对应边．
①的对应角为（ ）②的对应角为（ ）
③的对应角为（ ）④的对应边为（ ）
⑤的对应边为（ ）⑥的对应边为（ ）
13．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，点A、D、C、F在同一直线上，．
(1)若，求的度数．
(2)若，求的长．
14．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，点，，在同一条直线上，于点，于点，且，，．求：
(1)的长；
(2)的度数．
15．（23-24八年级上·山西吕梁·期中）如图，，，三点在同一条直线上，且．
(1)求证：；
(2)当满足什么条件时，？并说明理由．
能力提升
1．（20-21八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫做格点三角形，画与只有一条公共边且全等的格点三角形，在该网格中这样的格点三角形（不与重合）最多可以画出 个．
2．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）已知，，，若的周长为偶数，则的取值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．2或4或5
3．（23-24八年级上·江苏常州·期中）已知的三边长分别为3，5，7，的三边长分别为，，，若这两个三角形全等，则为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
4.（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（ ）．
A．30° B．45° C．55° D．60°
5．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，，线段的延长线过点，与线段交于点，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，，的延长线交于点，交于点．若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图， ，，交于点F，则的度数是 °．
8．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）中，点A、B、C坐标为，，，如果要使与全等，那么D的坐标是 ．
9．（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如图，在锐角中，分别是边上的点，，，且交于点F．若，则的大小是 ．
AI
10．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，．
(1)求m，n的值；
(2)若分别以3，m，n为边长的三角形存在，试确定m，n的值，并说明理由．
11．（23-24八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在四边形中，，，，动点，分别在线段，上，连接，，．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的度数；
(3)若与全等，点与点为对应点，求的长．
拔高拓展
1．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以a厘米/秒的速度由C点向A点运动．当与全等时，a的值为（ ）
A．3 B．4 C．4或6 D．2或3
2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点在轴上运动（不与点重合），点在轴上运动（不与点重合），当点的坐标为 时，以点，，为顶点的三角形与全等．中小学教育资源及组卷应用平台
12.1 全等三角形 分层作业
基础训练
1．（23-24八年级上·广西梧州·阶段练习）在下列各组图形中，不是全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查全等的定义，两个完全重合的图形称为全等图形，根据定义逐项判定即可得到答案，熟记全等的定义是解决问题的关键．
【详解】
解：A、是两个完全重合的图形，是全等图形，不符合题意；
B、是两个完全重合的图形，是全等图形，不符合题意；
C、两个图形无法重合，不是全等图形，符合题意；
D、是两个完全重合的图形，是全等图形，不符合题意；
故选：C．
2．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图是两个全等三角形，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形全等的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形性质，先根据三角形内角和定理得出边b、c夹角的度数为，然后全等三角形对应角相等即可得出答案．
【详解】解：边b、c夹角的度数为，
∵两个三角形全等，
∴，
故选：C．
3．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知和和D分别是对应顶点，且，则的度数是（ ）
A．80° B．60° C．30° D．不能确定
【答案】A
【分析】
本题考查了全等三角形的性质以及三角形的内角和性质，先根据得，，再运用三角形的内角和性质列式计算，即可作答．
【详解】解：∵
∴，
在中，
故选：A
4．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，点D，E分别是边，上的点，若，则的度数为（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
【答案】A
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，先证明，，再利用三角形的内角和定理可得答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
5．（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）如图，，点在上，与相交于点．则的周长为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据得到，根据周长为，选择即可．
【详解】∵，，
∴，
∴，
故选A．
6．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，已知，与交于点C，与交于点D，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理．根据全等三角形的性质，可得，，，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，，故A、C选项正确，不符合题意；B选项错误，符合题意；
∵，
∴，故D选项正确，不符合题意；
故选：B
7．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）一个三角形的三边为、、，另一个三角形的三边为、、，若这两个三角形全等，则 ．
【答案】
【分析】
本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．由全等三角形的对应边相等，得到，，即可求出．
【详解】
解：两个三角形全等，
，，
．
故答案为：．
8．（23-24八年级上·江苏常州·期中）若，，，则的边上的高为 cm．
【答案】4
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．利用的面积求出边上的高，再根据全等三角形的对应高相等可得边上的高等于边上的高，从而得解．
【详解】解：设边上的高为，
则，即，
解得，
，与是对应边，
边上的高为．
故答案为：4．
9．（23-24八年级上·河南南阳·期中）如图，两个全等的直角三角板重叠在一起，将其中的一个三角板沿着方向平移到的位置，与交于点O．若，则四边形的面积为 ．
【答案】27
【分析】本题考查的是平移的性质、全等三角形的性质以及梯形的面积计算，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，根据梯形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：∵三角板沿着方向平移到的位置，
∴，
∴
∴
∴四边形的面积等于 =．
故答案为：27．
10．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，这是纸飞机的示意图，在折纸的过程中，使得与能够重合．如果，，那么 ．
【答案】90
【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，熟练使用全等三角形的对应角相等和三角形的内角和定理是解题的关键．
【详解】解：与能够重合
，
故答案为：．
11．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）沿图中的虚线画线，把下面的图形划分为两个全等的图形（用二种不同方法）：
【答案】见解析
【分析】本题考查了查全等图形的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据全等图形的定义：对应边都相等，对应角都相等的图形进行构造即可．
【详解】解：如图所示：
12．（23-24八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，，请写出对应角，对应边．
①的对应角为（ ）②的对应角为（ ）
③的对应角为（ ）④的对应边为（ ）
⑤的对应边为（ ）⑥的对应边为（ ）
【答案】见解析
【分析】根据全等三角形的性质可直接得出答案．
【详解】①的对应角为②的对应角为，
③的对应角为④的对应边为，
⑤的对应边为⑥的对应边为．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，找准对应边、对应角是解题的关键．
13．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，点A、D、C、F在同一直线上，．
(1)若，求的度数．
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质，主要利用了全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等，熟记性质是解题的关键．
（1）根据全等三角形对应角相等可得，再根据三角形的内角和定理求出的度数；
（2）根据全等三角形对应边相等可得，然后直接计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
在中，；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴
14．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，点，，在同一条直线上，于点，于点，且，，．求：
(1)的长；
(2)的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查全等三角形的性质，等角的余角相当的性质，
（1）根据全等三角形的性质得到，即可求出的长；
（2）由全等三角形的性质得到，根据等角的余角相等得到，求出．
【详解】（1），，，
，
．
（2），
，
．
，
，
∴
又点，，在同一条直线上，
，
．
15．（23-24八年级上·山西吕梁·期中）如图，，，三点在同一条直线上，且．
(1)求证：；
(2)当满足什么条件时，？并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)当时，．理由见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的性质、平行线的判定．
（1）由得出，，再进行相应等量代换；
（2）当时，．由，得出，进而，从而得证．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∴；
（2）解：当时，．理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
能力提升
1．（20-21八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫做格点三角形，画与只有一条公共边且全等的格点三角形，在该网格中这样的格点三角形（不与重合）最多可以画出 个．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形、格点三角形的定义，可以以为公共边和以为公共边分别画出个三角形，以为公共边不可以画出三角形，即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：如图所示：
，
以为公共边可以画出、、三个三角形，
以为公共边可以画出、、三个三角形，
故可以画出个，
故答案为：．
2．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）已知，，，若的周长为偶数，则的取值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．2或4或5
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，以及三角形的三边关系．首先根据得到，，然后利用三角形三边关系得到，然后利用的周长为偶数求解即可．
【详解】解：∵
∴，，
∴，即
∴的周长为
∵的周长为偶数
∴为偶数
∴为偶数
∴．
故选：B．
3．（23-24八年级上·江苏常州·期中）已知的三边长分别为3，5，7，的三边长分别为，，，若这两个三角形全等，则为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的知识．根据全等三角形的性质可得：与3是对应边，与5是对应边，与7是对应边，由此即可得出正确选项．
【详解】解：∵与全等，
与3是对应边，与5是对应边，与7是对应边，
，
，
．
故选：A．
4.（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（ ）．
A．30° B．45° C．55° D．60°
【答案】B
【分析】根据网格特点，可得出，，，进而可求解．
【详解】解：如图，则，，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．
5．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，，线段的延长线过点，与线段交于点，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角相等，根得，，可得，根据得，则，根据三角形内角和定理即可得，掌握全等三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角相等是解得的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
6．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，，的延长线交于点，交于点．若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形外角的性质，由，则与是一组对应角，与是一组对应角，对于，外角等于除外的两个内角之和，求得，再在中，由三角形内角和即可求得结果．
【详解】解：，，，
，．
由三角形外角的性质可得，
．
．
，，
．
故选：B．
7．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图， ，，交于点F，则的度数是 °．
【答案】50
【分析】
本题考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质推出，，求出，得到，求出，得到，求出，由邻补角的性质得到．
【详解】
解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：50．
8．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）中，点A、B、C坐标为，，，如果要使与全等，那么D的坐标是 ．
【答案】或或
【分析】本题综合考查了图形的性质和坐标的确定，全等三角形的性质，分情况进行讨论是解决本题的关键．
根据题意分点在的上方、点在的下方两种情况入手进行讨论，计算即可得出答案．
【详解】解：如图所示，
与有一条公共边，
当点在的下方时，点有两种情况：①坐标是，②坐标为，
当点在的上方时，坐标为．
点的坐标是或或．
故答案为：或或．
9．（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如图，在锐角中，分别是边上的点，，，且交于点F．若，则的大小是 ．
AI
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，此题利用了“全等三角形的对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”进行推理的．
由全等三角形的对应角相等、三角形外角定理以及三角形内角和定理进行解答．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即．
则．
∵，
∴．
故答案为：．
10．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，．
(1)求m，n的值；
(2)若分别以3，m，n为边长的三角形存在，试确定m，n的值，并说明理由．
【答案】(1)或；
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质及三角形三边关系，
（1）有两种情况：与8、与10分别是对应边；与10、与8分别是对应边；分别求出m与n即可；
（2）根据（1）中结果，分两种情况理由三角形三边关系分析即可．
熟练掌握全等三角形的性质及三角形三边关系是解题关键．
【详解】（1）解：当与8、与10分别是对应边时，则，
∴；
当与10、与8分别是对应边时，则，
∴；
综上，或；
（2）由（1）得或；
当时，，不能组成三角形，不符合题意；
当时，以3，m，n为边长的三角形存在，符合题意；
∴．
11．（23-24八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在四边形中，，，，动点，分别在线段，上，连接，，．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的度数；
(3)若与全等，点与点为对应点，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)3或3.5
【分析】（1）根据三角形内角和算出，再根据平角定义算出最后再运用三角形内角和即可求解；
（2）根据得出再由三角形内角和即可求解；
（3）根据和分类讨论即可求解；
【详解】（1），
，
，
，
；
（2）∵，
，
．
（3）当时，
则，
当时，
则，
，
综上可得：为3或3.5．
【点睛】该题主要考查了三角形内角和定理以及全等三角形的性质，解题的关键是分类讨论思想的运用．
拔高拓展
1．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以a厘米/秒的速度由C点向A点运动．当与全等时，a的值为（ ）
A．3 B．4 C．4或6 D．2或3
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质等知识点，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
分和两种情况时，分别依据全等三角形的对应边相等求得点Q的移动速度即可．
【详解】解：分两种情况：
①当时，，
∴点P运动的时间为秒，
∴点Q的运动速度为厘米/秒；
②当时，，
∴点P运动的时间为，
∴点Q的运动速度为厘米/秒；
综上所述，当点Q的运动速度为4或6厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等．
故选：C．
2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点在轴上运动（不与点重合），点在轴上运动（不与点重合），当点的坐标为 时，以点，，为顶点的三角形与全等．
【答案】或或
【分析】
本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质，分图（1），图（2），图（3），图（4）四种情况，再分，，利用相似三角形的性质讨论求解即可．
【详解】解：如图（1）所示，
当点在轴负半轴上，点在轴负半轴上时，
若，则，
点的坐标为；
若，则
∴点的坐标为；
如图（2）所示，
当点在轴负半轴上，点在轴正半轴上时，
若，则，
点的坐标为．
若，则，
∴点的坐标为；
如图（3）所示，
当点在轴正半轴上，点在轴正半轴上时，
同理可得的坐标为；
如图（4）所示，
当点在轴正半轴上，点在轴负半轴上时，同理可得点的坐标为；
综上所述，点C的坐标为或或，
故答案为：或或．
