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12.2.2 三角形全等的判定（二）SAS分层作业
基础训练
1．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）公元前6世纪，古希腊哲学家泰勒斯这样测得轮船到海岸的距离：如图所示，在海边灯塔上进行测量，直立一根可以原地转动的竖竿（垂直于地面），在其上一点A处连接一个可以绕A转动并固定在任意位置上的横杆，先转动横杆使其转向船的位置B，再转动竖竿，使横杆对准岸上的一点C，然后测量D，C的距离，即得D，B的距离，哲学家得到的依据是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·广西百色·期末）如图，O为的中点，若要利用“”来判定，则应补充的一个条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）下列与图1三角形全等的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．只有①
4．（23-24八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）如图，，表示两根长度相同的木条，若是，的中点，经测量，则容器的内径为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24八年级上·北京海淀·期中）在新年联欢会上，老师设计了“你说我画”的游戏．游戏规则如下：甲同学需要根据乙同学提供的三个条件画出形状和大小都确定的三角形．已知乙同学说出的前两个条件是“，”．现仅存下列三个条件：①；②；③．为了甲同学画出形状和大小都确定的，乙同学可以选择的条件的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（22-23九年级上·重庆大渡口·期末）如图，在正方形中，点分别在边上，且，连接，平分交于点G．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，是的中线，、分别是和延长线上的点，且，连接、．下列说法：①和面积相等；②；③；④；其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（23-24八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图所示，点A、B、C、D均在正方形网格格点上，则（ ）
A． B． C． D．
9．（22-23八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，，D为延长线上一点，点E在边上且，连结、．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图所示的5个三角形中： ， ．
11．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，，，，，则 ．
12．（20-21七年级上·黑龙江大庆·期末）填空：把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．
已知：如图，，，，试说明．
解：已知
______（______）
在与中
≌（______）
（______）
13．（2023·贵州·模拟预测）如图，已知D是内一点，．求证：．小红的解答如下：
证明：在和中，
∵，
∴．……第一步
∴．……第二步
(1)小红的证明过程从第 步开始出现错误；
(2)请写出你认为正确的证明过程．
14．（23-24八年级上·陕西渭南·期中）我县某中学计划为学生暑假军训配备如图①所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定．图②是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中蹬腿和的长度相等，交于O是它们的中点，为了使折凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度是多少？请说明理由．
能力提升
1．【倍长中线模型】（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）老师布置的作业中有这样一道题：如图，在中，为的中点，若，，则的长不可能是（ ）
A． B． C． D．
2．【倍长中线模型】（23-24八年级上·甘肃兰州·阶段练习）如图，在中，，，延长中线至，使，连结，则的周长可能是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，已知：，，现有下列结论：①；②；③;④．其中不正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．【手拉手模型】（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在和中，，，，．连接，交于点M，连接．则在下列结论：①，②，③平分，④．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2023·广东广州·一模）如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在中，，、分别是、边上的高，在上取点，使，在射线上取点，使，连接、，若，，则 ．
7．（23-24八年级上·福建厦门·期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 四边形是一个筝形，其中，，、交于点O，探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③；
④四边形的面积．其中正确的结论有 ．
8．（22-23七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，点在边上，连接与相交于点，连接，．记的面积为，的面积为，则的面积为 ．
9．【手拉手模型】（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点．
(1)求证：≌；
(2)若，求的度数．
10．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，已知点、是内两点，且，，．
(1)求证：；
(2)延长、交于点，若，，求的度数．
拔高拓展
1．（20-21七年级上·山东烟台·期末）如图，，于A，于B，且，点P从B向A运动，每秒钟走，Q点从B向D运动，每秒钟走，点P，Q同时出发，运动 秒后，与全等．
2．【倍长中线模型】（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线．
(1)如图1，在中，，中线，求的取值范围．方法一：延长到E使，连接；方法二：过点C作的平行线交的延长线于E．请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围；
(2)如图2，在中，点B、D在上，，点D是的中点，若平分，求证：．
3．【截长补短模型】（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点D，E分别在边上，连接交于点F，．
(1)说明：；
(2)若平分，，求的面积；
(3)判断之间的数量关系，并加以说明．
4．【半角模型】（22-23九年级下·山东滨州·期中）（1）如图1，在四边形中，，，且，求证：．
（2）如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
12.2.2 三角形全等的判定（二）SAS分层作业
基础训练
1．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）公元前6世纪，古希腊哲学家泰勒斯这样测得轮船到海岸的距离：如图所示，在海边灯塔上进行测量，直立一根可以原地转动的竖竿（垂直于地面），在其上一点A处连接一个可以绕A转动并固定在任意位置上的横杆，先转动横杆使其转向船的位置B，再转动竖竿，使横杆对准岸上的一点C，然后测量D，C的距离，即得D，B的距离，哲学家得到的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意知，，，可用证明两三角形全等．
【详解】由题意知，，
在和中，
，
∴．
故选：B
2．（23-24八年级上·广西百色·期末）如图，O为的中点，若要利用“”来判定，则应补充的一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了添加一个条件，使得用“”来判定，根据已知条件得出，，故只需要即可使用证明．
【详解】解：∵O为的中点，
∴，
∵，
∴当添加时，．
故选：D．
3．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）下列与图1三角形全等的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．只有①
【答案】D
【分析】本题考查的是全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键，本题由图1可得已知两边及其的夹角，再利用逐一进行分析即可．
【详解】解：由图1可得已知两边及其的夹角，
图①与图1满足两边及其夹角分别对应相等，
∴两个三角形全等，
而图②，③，④都不满足条件，故不符合题意，
故选D
4．（23-24八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）如图，，表示两根长度相同的木条，若是，的中点，经测量，则容器的内径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，利用求得，进而可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解： 是，的中点，
，，
在和中，
，
，
，
，
故选B．
5．（23-24八年级上·北京海淀·期中）在新年联欢会上，老师设计了“你说我画”的游戏．游戏规则如下：甲同学需要根据乙同学提供的三个条件画出形状和大小都确定的三角形．已知乙同学说出的前两个条件是“，”．现仅存下列三个条件：①；②；③．为了甲同学画出形状和大小都确定的，乙同学可以选择的条件的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，即可求解．
【详解】解：已知，，
则添加的条件必须是边和夹角，即，
所以乙同学可以选择的条件的个数有1个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握两边及其夹角对应相等的两个三角形全等是解题的关键．
6．（22-23九年级上·重庆大渡口·期末）如图，在正方形中，点分别在边上，且，连接，平分交于点G．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】可以先证明，则，利用角平分线可得，再利用直角三角形的两锐角互余解题即可．
【详解】解：∵正方形
∴
在和中，
，
∴
∴
∵平分
∴
∴
故选B．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
7．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，是的中线，、分别是和延长线上的点，且，连接、．下列说法：①和面积相等；②；③；④；其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
【详解】解：是的中线，
，
在和中，
，
，故④正确
，，
，故③正确，
，点到、的距离相等，
和面积相等，故①正确，
根据条件，不能证明，故②错误，
综上所述，正确的有3个，
故选：C．
8．（23-24八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图所示，点A、B、C、D均在正方形网格格点上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，网格的性质，首先证明出，得到，进而求解即可．解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等全等三角形的判定定理：，，，，．
【详解】如图所示，
∵，，
∴
∴
∴．
故选：B．
9．（22-23八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，，D为延长线上一点，点E在边上且，连结、．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识；由等腰直角三角形的性质得出，再证，得，然后由三角形外角的性质求出，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
10．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图所示的5个三角形中： ， ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定；根据证明，，即可求解．
【详解】解：在中，
∴
在中
∴，
故答案为：；．
11．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，，，，，则 ．
【答案】/50度
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及外角的性质，根据通过角的计算即可得出，结合，，即可证出，进而即可得出．再根据外角的性质即可得出的度数．
【详解】解：∵，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
．
故答案为：．
12．（20-21七年级上·黑龙江大庆·期末）填空：把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．
已知：如图，，，，试说明．
解：已知
______（______）
在与中
≌（______）
（______）
【答案】；两直线平行，同位角相等；；；SAS；全等三角形的对应角相等．
【分析】根据平行线的性质求出∠ABC=∠E，根据SAS求出△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质推出即可；
【详解】解：已知
（两直线平行，同位角相等）
在与中
≌（SAS）
（全等三角形的对应角相等）
故答案为：；两直线平行，同位角相等；；；SAS；全等三角形的对应角相等．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，侧重考查学生的逻辑推理，题目比较典型．
13．（2023·贵州·模拟预测）如图，已知D是内一点，．求证：．小红的解答如下：
证明：在和中，
∵，
∴．……第一步
∴．……第二步
(1)小红的证明过程从第 步开始出现错误；
(2)请写出你认为正确的证明过程．
【答案】(1)一
(2)详见解析
【分析】本题重点考查全等三角形的判定与性质等知识点，
（1）题中所给的条件满足“两边和其中一边的对角分别相等”，不能由此直接证明，可知小红的证明从第一步开始出现错误，于是得到问题的答案；
（2）由，得，而，可推导出，得AC＝BC，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明
能判定出题中所给的条件是“两边和其中一边的对角分别相等”，不能由此直接证明，是解题时的关键．
【详解】（1）∵由不能证明，
∴从第一步开始出现错误，
故答案为：一．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
14．（23-24八年级上·陕西渭南·期中）我县某中学计划为学生暑假军训配备如图①所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定．图②是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中蹬腿和的长度相等，交于O是它们的中点，为了使折凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度是多少？请说明理由．
【答案】的长度是，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的应用，证明是解题的关键．根据 “”证明，根据全等三角形对应边相等即可证明．
【详解】解：的长度为．理由如下：
∵O是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
所以的长度为．
能力提升
1．【倍长中线模型】（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）老师布置的作业中有这样一道题：如图，在中，为的中点，若，，则的长不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形三边的关系，如图所示，延长到使得，证明得到，再用三角形三边的关系即可判断，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，延长到使得，
∵为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，根据三角形三边关系得，，
∴，
∴，
即，
故选：．
2．【倍长中线模型】（23-24八年级上·甘肃兰州·阶段练习）如图，在中，，，延长中线至，使，连结，则的周长可能是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系等知识，证明，求出，在中，利用三角形三边关系得出，即可求解．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，的周长大于11．
故选：D．
3．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，已知：，，现有下列结论：①；②；③;④．其中不正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明，根据全等三角形的性质进一步判断．
【详解】解：，
，
在和中，
，故①正确；
，，故③正确；
，
，
，
，故②正确；
，
，
，故④正确；
故选：A．
4．【手拉手模型】（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在和中，，，，．连接，交于点M，连接．则在下列结论：①，②，③平分，④．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．证明与全等是解决问题的关键．先证明，所以，则可对②进行判断；利用三角形内角和得到，则可对①进行判断，利用邻补角的定义可对④进行判断；过O点作于E，于F，如图，根据全等三角形的性质得到，则根据角平分线的性质定理的逆定理得到平分，然后根据三角形内角和可判断，于是可对③进行判断．
【详解】解：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，所以②正确；
∵，
而，
∴，所以①正确；
∴，所以④正确；
过O点作于E，于F，
∵，
∴，
∴平分，
而，
∴，所以③错误．
故选：B．
5．（2023·广东广州·一模）如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了线段的最值问题，过点作于，当、、共线，且垂直于时，最小，掌握角平分线的性质、三角形的面积公式是解题的关键．
【详解】解：在边上取，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即当、、共线，且垂直于时，最小，
过点作于，
∵的面积为，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故选：．
6．（23-24八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在中，，、分别是、边上的高，在上取点，使，在射线上取点，使，连接、，若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质；首先证明可得，然后根据直角三角形两个锐角互余可得，进而可以解决问题．
【详解】解：、分别是、两边上的高，
，
，，
，
在和中
，
，
，
，，
，
，，
，
即，
故答案为：．
7．（23-24八年级上·福建厦门·期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 四边形是一个筝形，其中，，、交于点O，探究筝形的性质时，得到如下结论：
①；
②；
③；
④四边形的面积．其中正确的结论有 ．
【答案】①②③
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质．先证明与全等，再证明与全等即可判断．
【详解】解：在与中，
，
∴，故③正确；
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
故①②正确；
四边形的面积，
故④错误；
故答案为：①②③．
8．（22-23七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，点在边上，连接与相交于点，连接，．记的面积为，的面积为，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形全等的性质．延长至，使，连，构造手拉手模型，证明，从而，再证明，也得，由，可求面积．
【详解】解：延长至，使，连，
在和中，
，
，
∴，
，，
即，
．
，
，
在和中，
，
，
∴，
即，
面积．
故答案为：．
9．【手拉手模型】（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点．
(1)求证：≌；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】
由，得出，再利用“”即可证明≌；
由，，得出，由外角的性质得出，由全等三角形的性质得出，由外角的性质得出，可得答案.
【详解】（1）
证明：，
∴，
即，
在和中，
，
≌；
（2）
，，
∴.
是的外角，
∴.
≌，
∴，
∵是的外角，
∴.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平角的定义，三角形外角的性质，灵活选择判定定理是解题的关键．
10．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，已知点、是内两点，且，，．
(1)求证：；
(2)延长、交于点，若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质的应用
（1）根据得到；根据得到，结合证明即可．
（2）连接，并延长到点M，根据，，结合，，，计算即可．
【详解】（1）∵，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）连接，并延长到点M，
∵，，
，
，，
∴．
拔高拓展
1．（20-21七年级上·山东烟台·期末）如图，，于A，于B，且，点P从B向A运动，每秒钟走，Q点从B向D运动，每秒钟走，点P，Q同时出发，运动 秒后，与全等．
【答案】6
【分析】设运动x秒钟后与全等；则，，则，分两种情况：①若，则，此时，；②若，则，得出，，即可得出结果．
【详解】解：∵于A，于，
∴，
设运动x秒钟后与全等；
则，，则，
分两种情况：
①若，则，
∴，，
∴，
∴；
②若，则，
解得：，
∴，
此时与不全等；
综上所述：运动6秒钟后与全等；
故答案为：6．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法、解方程等知识；本题难度适中，需要进行分类讨论．
2．【倍长中线模型】（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线．
(1)如图1，在中，，中线，求的取值范围．方法一：延长到E使，连接；方法二：过点C作的平行线交的延长线于E．请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围；
(2)如图2，在中，点B、D在上，，点D是的中点，若平分，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法以及能正确作出辅助线；
（1）方法一中利用证明，则，再根据三角形的三边关系来确定取值范围即可；
（2）先用证明，得出，再用证明，即可解答．
【详解】（1）解：选方法一来证明，
是的中线，
在和中
，
，
在中，
，
，
即：，
，
（2）解：延长到F使，连接，如图所示；
点D是的中点，
，
在和中，
，
，
，
平分，
，
，
在和中，
，
，
．
3．【截长补短模型】（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点D，E分别在边上，连接交于点F，．
(1)说明：；
(2)若平分，，求的面积；
(3)判断之间的数量关系，并加以说明．
【答案】(1)见解析
(2)45
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据，即可证明结论；
（2）过点F作于点G，求出，得出，证明，根据角平分线的性质得出，根据三角形面积公式求出；
（3）在上截取，连接，证明，得出，，证明，得出，即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：过点F作于点G，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴；
（3）解：；理由如下：
在上截取，连接，如图所示：
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键．
4．【半角模型】（22-23九年级下·山东滨州·期中）（1）如图1，在四边形中，，，且，求证：．
（2）如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）结论仍然成立；理由见解析
【分析】本题主要考查的是三角形的综合题，主要涉及三角形全等的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解此题的关键．
（1）延长到，使，连接，根据证明可得，再证明，可得，即可得出结论；
（2）延长到，使，连接，根据证明可得，再证明，可得，即可得出结论．
【详解】证明：如图，延长到，使，连接，
则，
又，
∴，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）结论仍然成立，理由如下：
如图，延长到，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
