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12.2.3 三角形全等的判定（三）AAS、ASA分层作业
基础训练
1．（21-22八年级上·湖南张家界·期末）如图，为了测量点到河对面的目标之间的距离，在点同侧选择了一点，测得，，然后在处立了标杆，使，，得到，所以测得的长就是，两点间的距离，这里判定的理由是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·河南南阳·期中）小明不慎将一块三角形玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标①，②，③，④的四块），你认为将其中的哪一块带到五金店，就能配成一块与原来一样大小的三角形（ ）
A．① B．② C．③ D．④
3．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）下列选项中与如图所示的三角形全等的是（ ）
A．B．C．D．
4．（21-22八年级上·江苏淮安·期中）如图，D是上一点，交于点E．．．若．．则的长是（ ）
A． B．2 C． D．3
5．（2022八年级上·江苏·专题练习）如图，，且是上两点，．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知为的角平分线，作于D， 则下列结论：；；；．其中一定成立的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在和中，，，，交于点M，交于点N．下列结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
8．（2023八年级·全国·专题练习）如图，，则图中全等的三角形有 对．
9．（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图，有一种简易的测距工具，为了测量地面上的点M与点O的距离（两点之间有障碍无法直接测量），在点O处立竖杆PO，并将顶端的活动杆PQ对准点M，固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空旷处，标记活动杆的延长线与地面的交点N，测量点N与点O的距离，该距离即为点M与点O的距离．此种工具用到了全等三角形的判定，其判定理由是 ．
10．（22-23八年级上·广东江门·阶段练习）如图，已知，要说明，若以“”为依据，则需添加一个条件是 ．
11．【一线三等角模型】（22-23八年级上·山东菏泽·期中）如图，点C在上，，，，，则的长为 ．
12．（2022八年级上·全国·专题练习）如图，△ABC中，AB＝13cm，BC＝11cm，AC＝6cm，点E是BC边的中点，点D在AB边上，现将△DBE沿着BA方向向左平移至△ADF的位置，则四边形DECF的周长为_______cm．
13．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，D是延长线上的点，于E，交于点F，若，则的长为 ．
14．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，，，点D在边上，，和相交于点O，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由．
证明：∵（ ），
∴____________，
∴______，
在和中，，
∴（ ）．
15．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，，．下列三个条件：
①；②；③．
请你从①②③中选一个条件，使．
(1)你添加的条件是_______（填序号）；
(2)添加条件后，请证明．
16．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，已知，点D是上一点，交于点E，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
17．（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，于点，于点，，与交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
18．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
能力提升
1．【一线三垂直模型】（22-23七年级下·广东深圳·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
2．【角平分线模型】（22-23八年级下·四川达州·期末）如图，已知是的平分线，，若，则的面积（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．【角平分线模型】（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，平分，，，，，则的面积是（ ）
A． B．6 C．9 D．12
4．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（ ）
A．54 B．60 C．100 D．110
5．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在中，、分别是和的平分线，于，交于，于，交于，，，，，结论①；②；③；④．其中不正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．【角平分线模型】（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．【一线三垂直模型】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，且，且，若点E、B、D到直线的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是 ．
8．【一线三垂直模型】（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，用7块长为8cm，宽为3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板 (，，点A， B，C，D，E在同--平面内)，点B在上，点A和C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 .
9．【一线三垂直模型】（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ．
10．【角平分线模型】（20-21八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，△ABC的面积为16，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于D，则△ADC的面积是 ．
11．（22-23七年级下·四川成都·期末）在中，，，点在边上，，点，在线段上，若的面积为，则 ．
12．【角平分线模型】（23-24八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，平分，，的面积为，的面积为，则的面积等于 ．
13．【一线三垂直模型】（23-24八年级上·重庆·期中）如图，在中，，点是边上的一点，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接交于点，连接．若，，则的长度为 ．
14．【一线三垂直模型于一线三等角模型】（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）已知是直角三角形，，直线l经过点 A，分别过点 B、C向直线l作垂线，垂足分别为D、E
(1)如图a，当点 B、C 位于直线l的同侧时，证明：
(2)如图b，锐角中，，直线l经过点A，点 D、E 分别在直线l上，点B，C位于l的同一侧，如果，请找到图中的全等三角形，并写出线段和之间的数量关系
拔高拓展
1．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）如图，，，，点E在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段上由点B向点D运动，则点F的运动速度为 ，使得A、C、E三点构成的三角形与B、E、F三点构成的三角形全等．
2．【一线三垂直模型】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则___________．
（2）如图2，在中，，过点C作，且，求的面积．
（3）如图3，四边形中面积为14且的长为7，求的面积．中小学教育资源及组卷应用平台
12.2.3 三角形全等的判定（三）AAS、ASA分层作业
基础训练
1．（21-22八年级上·湖南张家界·期末）如图，为了测量点到河对面的目标之间的距离，在点同侧选择了一点，测得，，然后在处立了标杆，使，，得到，所以测得的长就是，两点间的距离，这里判定的理由是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，通过，以及公共边，通过证明，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
即，
故选：C
2．（23-24八年级上·河南南阳·期中）小明不慎将一块三角形玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标①，②，③，④的四块），你认为将其中的哪一块带到五金店，就能配成一块与原来一样大小的三角形（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
根据全等三角形的判定条件进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，①可以通过全等，配成一块与原来一样大小的三角形，
故选：A．
3．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）下列选项中与如图所示的三角形全等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据已知的三角形求第三个内角的度数，由全等三角形的判定定理即可得出答案．
【详解】由题可知，第三个内角的度数为，
A项，只有两边，故不能判断三角形全等，故此选项不符合题意；
B项，两边夹的角度数不相等，故两三角形不全等，故此选项不符合题意；
C项，两边相等且夹角相等，故能判断两三角形全等，故此选项符合题意；
D项，相等两边夹的角度数不相等，故两三角形不全等，故此选项不符合题意．
故选：C．
4．（21-22八年级上·江苏淮安·期中）如图，D是上一点，交于点E．．．若．．则的长是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定是解此题的关键，解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等．
根据平行线的性质，得出，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质，得出，根据，即可求线段的长．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
5．（2022八年级上·江苏·专题练习）如图，，且是上两点，．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由余角的性质可得，由可证，可得，可得的长．
【详解】
解：，
，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
6．（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知为的角平分线，作于D， 则下列结论：；；；．其中一定成立的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；先证得，，，则①②③成立，再由直角三角形的性质得，，当时，，则④不一定成立，即可得出结论．
【详解】∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，故①②③成立，
∵，
∴，，
当时，，
故④不一定成立，一定成立的有3个，
故选：C．
7．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在和中，，，，交于点M，交于点N．下列结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．通过和推出相关结论，即可得到答案．
【详解】，，，
，
，
，
故①符合题意；
，
，
，，
，
故②符合题意；
，
，
和不一定相等．
其中所有正确结论的序号是①②．
故选：A．
8．（2023八年级·全国·专题练习）如图，，则图中全等的三角形有 对．
【答案】C
【分析】主要考查三角形全等的判定，做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．根据可判断得到，则根据可判断得到，根据可判断．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵，
∴；
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵
∴，
综上所述，图中全等的三角形有3对．
故答案为：3．
9．（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图，有一种简易的测距工具，为了测量地面上的点M与点O的距离（两点之间有障碍无法直接测量），在点O处立竖杆PO，并将顶端的活动杆PQ对准点M，固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空旷处，标记活动杆的延长线与地面的交点N，测量点N与点O的距离，该距离即为点M与点O的距离．此种工具用到了全等三角形的判定，其判定理由是 ．
【答案】两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等
【分析】根据全等三角形的判定方法进行分析，即可得到答案．
【详解】解：在和中，
，
，
判定理由是两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等，
故答案为：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
10．（22-23八年级上·广东江门·阶段练习）如图，已知，要说明，若以“”为依据，则需添加一个条件是 ．
【答案】
【分析】根据证明，即可．
【详解】解：添加，理由如下：
∵，，，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
11．【一线三等角模型】（22-23八年级上·山东菏泽·期中）如图，点C在上，，，，，则的长为 ．
【答案】10
【分析】先证明，再证明，即可作答．
【详解】∵，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质等知识，掌握三角形的判定与性质是解答本题的关键．
12．（2022八年级上·全国·专题练习）如图，△ABC中，AB＝13cm，BC＝11cm，AC＝6cm，点E是BC边的中点，点D在AB边上，现将△DBE沿着BA方向向左平移至△ADF的位置，则四边形DECF的周长为_______cm．
【答案】17
【分析】首先连接EF，由平移的性质可知，AF＝DE．EF＝AD，AF∥DE，EF∥AD，DF∥BC，再根据平行线的性质，得出∠CEF＝∠DFE，∠CFE＝∠DEF，然后利用ASA，证明△CEF≌△DFE，再利用全等三角形的性质，得出DE＝CF，进而得出AF＝CF＝DE＝3cm，再根据中点的性质，得出EC＝EB＝DF＝5.5cm，然后即可求出四边形DECF的周长．
【详解】解：连接EF．
由平移的性质可知，AF＝DE．EF＝AD，AF∥DE，EF∥AD，DF∥BC，
∴∠CEF＝∠DFE，∠CFE＝∠DEF，
在△CEF和△DFE中，
，
∴△CEF≌△DFE（ASA），
∴DE＝CF，
∴AF＝CF＝DE＝3cm
∵E是BC的中点，
∴EC＝EB＝DF＝5.5cm，
∴四边形DECF的周长＝2（3+5.5）＝17cm．
故答案为：17．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、平行线的性质、平移的性质，解本题的关键在熟练掌握平移的性质．平移的性质：对应点的连线平行且相等；对应线段平行且相等．
13．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，D是延长线上的点，于E，交于点F，若，则的长为 ．
【答案】1.6//
【分析】此题考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质，由，D是延长线上的点，得，而，则，可根据“”证明，则，求得，则，于是得到问题的答案．
【详解】∵，D是延长线上的点，
∴，
∵于E，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：1.6．
14．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，，，点D在边上，，和相交于点O，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由．
证明：∵（ ），
∴____________，
∴______，
在和中，，
∴（ ）．
【答案】已知，，，，
【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证，再由证即可．
【详解】解：（已知），
，
，
在和中，
，
．
故答案为：已知，，，，．
15．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，，．下列三个条件：
①；
②；
③．
请你从①②③中选一个条件，使．
(1)你添加的条件是_______（填序号）；
(2)添加条件后，请证明．
【答案】(1)①或③
(2)见详解
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的性质，
添加①或③均可证明全等；
由平行线的性质可得，如果选择①利用边角边证明三角形全等，如果选择③角边角证明三角形全等．
【详解】（1）解：选择①或③
（2）选择①，证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴．
选择③，证明如下：
∵，
∴，
∵，
在和中
，
∴．
16．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，已知，点D是上一点，交于点E，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)3
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．选择合适的判定方法是解题的关键．
（1）利用角角边定理判定即可；
（2）利用全等三角形对应边相等可得的长，用即可得出结论．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
；′
（2）解：由（1）知，，
，
，
．
17．（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，于点，于点，，与交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)7
【分析】此题考查了全等三角形的性质与判定，熟记三角形全等的判定与性质是解题的关键。
（1）利用即可证明；
（2）根据全等三角形的性质及线段的和差求出，利用证明，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可。
【详解】（1）证明：在和中，
,
∴.
（2）
解：∵，
∴，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
18．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．
（1）证明，由全等三角形的性质得出结论；
（2）由三角形外角的性质求出，即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
能力提升
1．【一线三垂直模型】（22-23七年级下·广东深圳·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案．
【详解】解：，
，
，，
，，
，，
又，
，
，，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键．
2．【角平分线模型】（22-23八年级下·四川达州·期末）如图，已知是的平分线，，若，则的面积（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】延长交于点C，根据题意，易证，因为和同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出．
【详解】如图所示，延长，交于点D，
，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴,
∴，
∵和同底等高，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定．
3．【角平分线模型】（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，平分，，，，，则的面积是（ ）
A． B．6 C．9 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义和三角形的面积，利用全等三角形的性质求出是解此题的关键．可以过D作，交的延长线于F，证明得出，，再证明，得出，求出，求出的面积即可．
【详解】解：过D作，交的延长线于F，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∴
∴的面积为，
故选：A．
4．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（ ）
A．54 B．60 C．100 D．110
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一线三垂直证明全等是突破本题的关键．利用一线三直角证明三角形全等，可得长方形的长11与宽10，计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积即可．
【详解】解：如图延长交于M，其他字母标注如图示：根据题意，，，，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
同理可证，
∴，
∴．
空白部分的面积＝长方形面积三个正方形的面积和．
故选：B．
5．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在中，、分别是和的平分线，于，交于，于，交于，，，，，结论①；②；③；④．其中不正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键．
证明，根据全等三角形的性质得到，判断①；根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，判断②；根据三角形内角和定理判断③；根据等腰三角形的性质判断④．
【详解】解：是的平分线，
，
在和中，
，
，
，①结论正确；
，
，
同理可得：，
，②结论正确；
，
，
由①知：，，
在中，，
，
，③结论正确；
④当时，，
，
，则与不相等，④结论错误；
∴不正确的结论有1个，
故选：D．
6．【角平分线模型】（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，作辅助线构造全等三角形是解题关键．延长、交于点，先证明，得到，再证明，得到，即可求出长．
【详解】解：如图，延长、交于点，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
故选：C．
7．【一线三垂直模型】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，且，且，若点E、B、D到直线的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查三角形全等的性质与判定，证明，，结合梯形面积公式及三角形面积公式即可得到答案；
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，，
在与，
∵，
∴，
∴，，
同理可得：，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
8．【一线三垂直模型】（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，用7块长为8cm，宽为3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板 (，，点A， B，C，D，E在同--平面内)，点B在上，点A和C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 .
【答案】
【分析】根据题意可得，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明，利用全等三角形的性质进行解答
【详解】解：，，
，
，
，
在和中，
，
依题意可得：，
，
，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用，解题的关键是正确找出证明三角形全等的条件．
9．【一线三垂直模型】（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】作轴于点, 作轴于点,先证明,然后即可得到, 然后再根据点的坐标为, 点的坐标为, 即可得到点的坐标.
【详解】解：作轴于点, 作轴于点, 如图所示，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴ ，
∵点的坐标为，点C的坐标为，
∴，
∴，
∴ ，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.
10．【角平分线模型】（20-21八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，△ABC的面积为16，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于D，则△ADC的面积是 ．
【答案】
【分析】延长BD交AC于点E，则可得：△ABD≌△AED，可得： 则可得出，从而可得答案．
【详解】解：如图，延长BD交AC于点E，
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，
∴∠BAD=∠EAD，∠ADB=∠ADE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD=DE，
∴
∴，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形中线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
11．（22-23七年级下·四川成都·期末）在中，，，点在边上，，点，在线段上，若的面积为，则 ．
【答案】6
【分析】本题属于全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
证明≌，推出与面积相等，可得结论．
【详解】解：在等腰三角形中，，，
与等高，底边比值为，
与的面积比为．
的面积为，
与的面积分别为和，
，
．
，，，
，
．
在和中，
，
，
与面积相等，
与的面积之和为的面积，
与的面积之和为．
故答案为：．
12．【角平分线模型】（23-24八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，平分，，的面积为，的面积为，则的面积等于 ．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．延长交于，根据已知条件证得，推出，得出，即可得出答案．掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：如图，延长交于，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴的面积等于．
故答案为：．
13．【一线三垂直模型】（23-24八年级上·重庆·期中）如图，在中，，点是边上的一点，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接交于点，连接．若，，则的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识．过点C作于M，证明，可得，，进而证明，可得H为的中点，即可求解．
【详解】解：过点C作于M，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．【一线三垂直模型于一线三等角模型】（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）已知是直角三角形，，直线l经过点 A，分别过点 B、C向直线l作垂线，垂足分别为D、E
(1)如图a，当点 B、C 位于直线l的同侧时，证明：
(2)如图b，锐角中，，直线l经过点A，点 D、E 分别在直线l上，点B，C位于l的同一侧，如果，请找到图中的全等三角形，并写出线段和之间的数量关系
【答案】(1)证明见解析
(2)，
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，直角三角形两锐角互余，掌握利用证明三角形全等是解本题的关键．
（1）先证明，再利用证明即可；
（2）由，可得， 证明，可得，，从而可得结论．
【详解】（1）证明：，，
，
在中，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：，；
理由：∵，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴．
拔高拓展
1．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）如图，，，，点E在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段上由点B向点D运动，则点F的运动速度为 ，使得A、C、E三点构成的三角形与B、E、F三点构成的三角形全等．
【答案】或
【分析】本题考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用，设运动的时间为，点F的运动速度为，分两种情况：①，；②，，列出方程，求出结果即可．
【详解】解：设运动的时间为，点F的运动速度为，
，
A、C、E三点构成的三角形与B、E、F三点构成的三角形全等，有两种情况：
①，，
则，
解得：，
，
；
②，，
则，，
解得：，，
故答案为：或．
2．【一线三垂直模型】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则___________．
（2）如图2，在中，，过点C作，且，求的面积．
（3）如图3，四边形中面积为14且的长为7，求的面积．
【答案】（1）5；（2）2；（3）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及应用，等腰直角三角形、四边形、三角形面积等知识．
（1）由，得，可证明，即得，故；
（2）过D作交延长线于E，由，得，即得，可证明，得，故；
（3）过A作于E，过B作交延长线于F，由面积为14且的长为7，得，又，，得是等腰直角三角形，即得，根据，可得，，即有，即可证明，从而，故．
【详解】解：（1）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
故答案为：5；
（2）过D作交延长线于E，如图2：
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）过A作于E，过B作交延长线于F，如图3：
∵面积为14且的长为7，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
