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第11章 数的开方 单元测试
（试卷满分120分，考试用时120分钟）
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共23题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24七年级下·广东广州·期末）下列各数中为无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：是无理数，
故选：A．
2．（23-24七年级下·河南安阳·期末）下列无理数中，介于4和5之间的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的大小估算，根据，即可得到，从而得出结果．
【详解】解：A、，，，，
∴，，
介于4和5之间，
故选：C．
3．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）下列说法正确的是（ ）
A．7是49的算术平方根 B．是16的算术平方根
C．是的算术平方根 D．0.01是0.1的平方根
【答案】A
【分析】本题考查平方根与算术平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的定义是解题
根据算术平方根和平方根的意义，逐项判断即可．
【详解】解：A、7是49的算术平方根，正确，故此选项符合题意；
B、是16的平方根，4是16的算术平方根，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、是的平方根，6是的算术平方根，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、0.01是0.1的算术平方根，原说法错误，故此选项不符合题意；
故选：A．
4．（23-24七年级下·广西防城港·期末）下列各式中，运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的加减，算术平方根的定义，二次根式的性质等知识．
分别根据二次根式的加减，算术平方根的定义，二次根式的性质等知识逐项判断即可求解．
【详解】A. 和不是同类项，不能合并，此选项不符合题意；
B. ，计算错误，此选项不符合题意；
C. ，计算正确，此选项符合题意；
D. ，计算错误，此选项不符合题意；
故选C．
5．（23-24七年级下·山东临沂·期中）一个正数的两个不同的平方根和，则这个正数的立方根是（ ）
A． B．8 C． D．4
【答案】D
【分析】根据正数的平方根互为相反数，得到，得到，继而得到这个正数是，得到，本题考查了平方根的性质，立方根的计算，熟练掌握平方根互为相反数是解题的关键．
【详解】∵正数的平方根互为相反数，且正数的两个不同的平方根和，
∴，
∴，
∴这个正数是，
∴，
故选D．
6．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）已知m，n为两个连续的整数，且，则的值是（ ）
A．2023 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出的范围，进而确定的值，代入代数式进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故选C．
7．（23-24七年级下·广西防城港·期末）数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础、如图所示，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E 在数轴上（点E在点A左侧），且，则点E所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了实数与数轴，理解数轴上表示的点的方法是解答本题的关键．
根据正方形的面积为5得到，再结合，点A表示的数为1，点E在点A的左侧，然后确定点E表示的数即可．
【详解】解：∵正方形的面积为5，
∴，
∵，
∴，
∵点A表示的数为1，且点E在数轴上（点E在点A左侧），
∴点E所表示的数为：．
故答案为：．
8．（23-24七年级下·重庆铜梁·期末）某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；②：将屏幕显示的数变成它的倒数；③：将屏幕显示的数变成它的平方．输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第1步到第3步循环按键．例如：当输入5时，第1步操作的结果是25，第2步操作的结果是，第3步操作的结果是，…．下列说法：
①若开始输入的数据为2，那么第5步操作之后，显示的结果是4；
②若开始输入的数据为，那么第2025步操作之后，显示的结果是；
③若开始输入一个数据，经过若干步操作后，得到的结果为16，则a有6种不同的值；
正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题主要结合计算器的使用考查规律，根据题中的按键顺序确定出显示的数的规律，对各说法逐一判断即可．
【详解】解：①若开始输入的数据为2，那么
第1步操作后显示的结果是，
第2步操作后显示的结果是，
第3步操作后显示的结果是，
第4步操作后显示的结果是，
第5步操作后显示的结果是，故说法①正确；
②若开始输入的数据为，那么
第1步操作后显示的结果是，
第2步操作后显示的结果是，
第3步操作后显示的结果是，
第4步操作后显示的结果是，
第5步操作后显示的结果是，
第6步操作后显示的结果是，
第7步操作后显示的结果是，
……，
由此可以发现，操作后结果是按照，，，每4步一个循环，
∵，
∴第2025步操作之后，显示的结果是，故说法②错误；
③若开始输入的数据为，输入经过若干步操作后，得到的结果为16，则
或或，
∴或或．故说法③错误．
综上，说法正确的只有1个．
故选：B
9．（23-24七年级下·重庆南川·期末）对于实数x，规定：，例如：，；给出下列结论：
①；
②若，则满足条件的非负整数有2个；
③若，则；
④若，则或．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查定义新运算，根据代数式求值，求不等式的整数解，利用平方根解方程，解绝对值方程，逐一进行判断即可．
【详解】解：①；正确
②若，，，则满足条件的非负整数有0、1、2共3个；错误
③若，则；或者；错误
④若则，，，或者；正确；
以上结论正确的个数是2个；
故选B．
10．（23-24九年级下·湖南永州·期中）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法：
①由，，能确定是两位数；
②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2；
③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，，由此能确定的十位上的数是4．
（提示：，，，）
已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（ ）
A．19 B．15 C．12 D．14
【答案】D
【分析】本题考查立方根的定义和求解，根据题目的方法步骤进行分析即可．
【详解】解：①由，，能确定是两位数；
②由205379的个位上的数是9，因为，能确定的个位上的数是9；
③如果划去205379后面的三位379得到数205，而，，由此能确定的十位上的数是5．
即，
∴的每位数上的数字之和为，
故选：D．
二、填空题（5小题，每小题4分，共20分）
11．（23-24七年级下·河南信阳·期末）若，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了立方根的定义，根据立方根定义进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
12．（23-24七年级下·江西赣州·期末）若，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根非负性的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0建立简单方程是解题的关键．根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，，
解得：，，
∴；
故答案为：．
13．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，把面积为6的正方形放到数轴上，使得正方形的一个顶点A与重合，那么顶点B在数轴上表示的数是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了实数、数轴上两点间的距离等知识点， 先求出正方形的边长，再结合A、B两点间的距离即可求解.
【详解】解：∵正方形的面积为6，
∴正方形的边长为，
∵点A表示，
∴顶点B在数轴上表示的数是，
故答案为：．
14．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果，则．如：，…，则满足的x值为
【答案】或
【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次不等式组，设，为整数，则，根据新定义可得，解不等式组得到，据此确定k的值进而确定x的值即可．
【详解】解：由题意得，且是整数，
∴设，为整数，则，
∵
∴，
∴，．
∵，
∴或，
∴或，
故答案为：或．
15．（23-24七年级下·北京丰台·期末）如果无理数满足（其中是满足不等式的最大整数，是满足不等式的最小整数），那么称为无理数的“相邻区间”．例如，，称为的“相邻区间”
（1）无理数的“相邻区间”是 ；
（2）如果，其中关于，的二元一程的一组整数解，那么的值为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查新定义、估算无理数的大小及二元一次方程的解等知识，根据新定义结合相关知识正确分析题意是解题关键．（1）根据“相邻区间”的定义，确定在哪两个相邻整数之间，即可得出“相邻区间”；（2）根据“相邻区间”的定义和二元一次方程正整数解这两个条件，找到符合的情况即可求出的值．
【详解】（1）解：；
故为的“相邻区间”
故答案为：
（2）为无理数的“相邻区间”且且为整数
符合条件的和的值有：①，；②，；
当，， 则
代入可得：
当，，则
代入可得：
故答案为：或
三、解答题（8小题，共70分）
16．（23-24七年级下·河南安阳·期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩
(1)整数集合：（ ）
(2)分数集合：（ ）
(3)无理数集合：（ ）
【答案】(1)③④⑥
(2)①⑨⑩
(3)②⑤⑦⑧
【分析】本题考查了有理数、实数和无理数的分类，熟练掌握无理数、有理数、实数的分类是解题的关键．
（1）根据整数的定义作答即可；
（2）根据分数的定义作答即可；
（3）根据无理数的定义作答即可．
【详解】（1）解： ③是整数，④0是整数，⑥是整数，
整数集合： ③④⑥
故答案为： ③④⑥
（2）①是分数，⑨是分数，⑩是分数．
分数集合： ①⑨⑩
故答案为： ①⑨⑩
（3）②是无理数，⑤是无理数，⑦是无理数，⑧ (相邻的两个3之间依次多1个0)是无理数，无理数集合
故答案为： ②⑤⑦⑧
17．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的知识点是实数的运算，涉及算术平方根，立方根等知识，
（1）直接利用立方根以及算术平方根化简得出答案，
（2）直接利用立方根以及算术平方根化简得出答案
【详解】（1）
；
（2）
．
18．（23-24七年级下·重庆开州·期末）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了利用平方根、立方根解方程的知识，
（1）原方程变型为，再利用平方根求解方程的根即可；
（2）原方程变型为，再利用立方根求解方程的根即可．
【详解】（1）
；
（2），
．
19．（23-24七年级下·重庆秀山·期末）已知的平方根是的立方根是是的整数部分．
(1)直接写出的值；
(2)若是的小数部分，求的算术平方根．
【答案】(1)，
(2)2
【分析】本题主要考查了无理数的估算，平方根和立方根的概念，求一个数的算术平方根：
（1）根据平方根和立方根的概念即可求出a、b的值，估算出，即可求出c的值；
（2）根据（1）所求得到，进而求出的值，再根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵的平方根是的立方根是
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的整数部分为2，即；
（2）解：由（1）可得，
∴，
∵4的算术平方根为2，
∴的算术平方根为2．
20．（23-24七年级下·北京东城·期末）一个数值转换器如图所示：
(1)满足输入条件的x的取值范围是_________；
(2)输出y的最小值是_________；
(3)若，求满足题意的x值．
【答案】(1)，且x为整数
(2)
(3)22、23
【分析】本题考查了算术平方根，解一元一次不等式，解决本题的关键是熟记算术平方根．
（1）根据算术平方根的非负性求解即可；
（2）根据题意得到求出，得到当时，y有最小值，然后代数求解即可；
（3）根据题意得到，然后求解即可．
【详解】（1）∵
∴，且x为整数；
（2）
∴
∴
∵，且x为整数；
∴当时，y有最小值
∴
∴输出y的最小值是；
（3）∵
∴
∴
∴
∵x为整数
∴，23．
21．（2024七年级下·全国·专题练习）观察表格，回答问题：
a … 1 100 10000 …
… x 1 y 100 …
(1)表格中________，________；
(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知，则________；
②已知，若，用含m的代数式表示b，则________；
(3)试比较与a的大小．
当________时，；当________时，；当________时，．
【答案】(1)；10；
(2)①；②；
(3)，或0，．
【分析】本题考查了实数的比较，弄清题中的规律是解本题的关键．
（1）由表格得出规律，求出与的值即可；
（2）根据得出的规律确定出所求即可；
（3）分类讨论的范围，比较大小即可．
【详解】（1）解：，，
故答案为：；10；
（2）解：①根据题意得：，
②结果扩大100倍，则被开方数扩大10000倍，
∴．
故答案为：31.6；；
（3）解：当或1时，；
当时，；
当或0时，；
当时，，
故答案为：，或0，．
22．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）在二次根式的学习中，我们学会了估计一个无理二次根式的整数部分，例如由，可得的整数部分为1，接下来如何进一步估算的值呢？小明同学在查询资料后，发现了一种方法：
以为例，易知的整数部分为10，且更接近11；
则，，；
．（实际上，……）
(1)的整数部分为_______；_______（结果保留两位小数）．
(2)小明在采用这种方法估算时，得到，与熟知的数据相差较大；小明仔细思考后发现问题在于的小数部分与1比较接近，因此在分母中用1来代替会产生较大的误差．请你利用所学的知识，结合本题的方法帮助小明估算的值（结果保留三位小数）．
(3)对任一正整数，若与最接近的完全平方数为，且，用含有，的代数式表示的近似值．
【答案】(1)8；8.88
(2)
(3)当时，；当时，
【分析】本题考查无理数的估算，读懂所给材料是解题的关键．
（1）参照题干中所给方法进行估算即可；
（2）利用放缩法得出，再仿照题干中所给方法进行估算即可；
（3）分和两种情况，仿照题干中所给方法进行估算即可．
【详解】（1）解：，
，
的整数部分为8；
的整数部分为8，且更接近9，则，，
，
，
故答案为：8；8.88．
（2）解：，
，更接近1.4，
，，
，
；
（3）解：当时，，
，
；
当时，，
，
；
综上可知，当时，；当时，．
23．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）定义：若m，n都是不为0的实数，且满足，则称点为“爱心点”．
(1)①在点，，中，是“爱心点”的有______（填字母）；
②若点是“爱心点”．则a，b满足的关系式为______；
(2)若是“爱心点”，且s，t分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围；
(3)已知p，q为有理数，且以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“爱心点”，求的平方根．
【答案】(1)①B，C；②
(2)
(3)的平方根为．
【分析】（1）根据定义分别求得的值即可求解；
（2）解不等式组得，根据是“爱心点”可得；进一步可得，，据此即可求解；
（3）由题意得，解不等式组得；根据p，q为有理数可得，据此即可求解
【详解】（1）解：①∵，
∴，
∴
∴
同理：由得：
此时，
由得：
此时，，
∴是“爱心点”的有；
②∵点是“爱心点”
∴且
即：
故答案为：①B，C；②
（2）解：解不等式组得：
∵是“爱心点”，
∴由（1）可知：
∵s是不等式组的最大整数解
∴
∴
∴，
解得：
（3）解：∵点是“爱心点”，
∴
由，得：
∴
∵p，q为有理数，
∴
∴
∴的平方根为．
【点睛】本题考查了新定义题型，涉及了一元一次不等式组的求解、二元一次方程组的求解等知识点，正确理解题意是解题关键．中小学教育资源及组卷应用平台
第11章 数的开方 单元测试
（试卷满分120分，考试用时120分钟）
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共23题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24七年级下·广东广州·期末）下列各数中为无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·河南安阳·期末）下列无理数中，介于4和5之间的数是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）下列说法正确的是（ ）
A．7是49的算术平方根 B．是16的算术平方根
C．是的算术平方根 D．0.01是0.1的平方根
4．（23-24七年级下·广西防城港·期末）下列各式中，运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24七年级下·山东临沂·期中）一个正数的两个不同的平方根和，则这个正数的立方根是（ ）
A． B．8 C． D．4
6．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）已知m，n为两个连续的整数，且，则的值是（ ）
A．2023 B． C．1 D．
7．（23-24七年级下·广西防城港·期末）数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础、如图所示，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E 在数轴上（点E在点A左侧），且，则点E所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24七年级下·重庆铜梁·期末）某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；②：将屏幕显示的数变成它的倒数；③：将屏幕显示的数变成它的平方．输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第1步到第3步循环按键．例如：当输入5时，第1步操作的结果是25，第2步操作的结果是，第3步操作的结果是，…．下列说法：
①若开始输入的数据为2，那么第5步操作之后，显示的结果是4；
②若开始输入的数据为，那么第2025步操作之后，显示的结果是；
③若开始输入一个数据，经过若干步操作后，得到的结果为16，则a有6种不同的值；
正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（23-24七年级下·重庆南川·期末）对于实数x，规定：，例如：，；给出下列结论：
①；
②若，则满足条件的非负整数有2个；
③若，则；
④若，则或．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（23-24九年级下·湖南永州·期中）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法：
①由，，能确定是两位数；
②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2；
③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，，由此能确定的十位上的数是4．
（提示：，，，）
已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（ ）
A．19 B．15 C．12 D．14
二、填空题（5小题，每小题4分，共20分）
11．（23-24七年级下·河南信阳·期末）若，则 ．
12．（23-24七年级下·江西赣州·期末）若，那么 ．
13．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，把面积为6的正方形放到数轴上，使得正方形的一个顶点A与重合，那么顶点B在数轴上表示的数是 ．
14．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果，则．如：，…，则满足的x值为
15．（23-24七年级下·北京丰台·期末）如果无理数满足（其中是满足不等式的最大整数，是满足不等式的最小整数），那么称为无理数的“相邻区间”．例如，，称为的“相邻区间”
（1）无理数的“相邻区间”是 ；
（2）如果，其中关于，的二元一程的一组整数解，那么的值为 ．
三、解答题（8小题，共70分）
16．（23-24七年级下·河南安阳·期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩
(1)整数集合：（ ）
(2)分数集合：（ ）
(3)无理数集合：（ ）
17．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
18．（23-24七年级下·重庆开州·期末）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
19．（23-24七年级下·重庆秀山·期末）已知的平方根是的立方根是是的整数部分．
(1)直接写出的值；
(2)若是的小数部分，求的算术平方根．
20．（23-24七年级下·北京东城·期末）一个数值转换器如图所示：
(1)满足输入条件的x的取值范围是_________；
(2)输出y的最小值是_________；
(3)若，求满足题意的x值．
21．（2024七年级下·全国·专题练习）观察表格，回答问题：
a … 1 100 10000 …
… x 1 y 100 …
(1)表格中________，________；
(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知，则________；
②已知，若，用含m的代数式表示b，则________；
(3)试比较与a的大小．
当________时，；当________时，；当________时，．
22．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）在二次根式的学习中，我们学会了估计一个无理二次根式的整数部分，例如由，可得的整数部分为1，接下来如何进一步估算的值呢？小明同学在查询资料后，发现了一种方法：
以为例，易知的整数部分为10，且更接近11；
则，，；
．（实际上，……）
(1)的整数部分为_______；_______（结果保留两位小数）．
(2)小明在采用这种方法估算时，得到，与熟知的数据相差较大；小明仔细思考后发现问题在于的小数部分与1比较接近，因此在分母中用1来代替会产生较大的误差．请你利用所学的知识，结合本题的方法帮助小明估算的值（结果保留三位小数）．
(3)对任一正整数，若与最接近的完全平方数为，且，用含有，的代数式表示的近似值．
23．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）定义：若m，n都是不为0的实数，且满足，则称点为“爱心点”．
(1)①在点，，中，是“爱心点”的有______（填字母）；
②若点是“爱心点”．则a，b满足的关系式为______；
(2)若是“爱心点”，且s，t分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围；
(3)已知p，q为有理数，且以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“爱心点”，求的平方根．
