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第21章 二次根式 单元测试
（试卷满分120分，考试用时120分钟）
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共23题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·山东济宁·期末）计算的结果为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．2
3．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如果使二次根式有意义，那么的值不可能为（ ）
A． B．5 C．8 D．7
4．（23-24八年级下·江西赣州·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·宁夏银川·二模）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．b
6．（23-24八年级下·云南玉溪·阶段练习）如图，从一个大正方形中裁去面积为12和18的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24七年级下·重庆·期末）已知，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．
8．（23-24七年级下·四川德阳·期末）将正整数的算术平方根按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示实数，则表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24八年级下·重庆江津·期末）通过学习二次根式和乘法公式后，可以发现：
当，时，∵，∴，
当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
①当时，的最小值为2；②当时，的最小值为5；
③如图，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成长方形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（5小题，每小题4分，共20分）
11．（2024·上海·中考真题）已知，则 ．
12．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： ．
13．（23-24八年级下·广东广州·期末）若，则 ．
14．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，等腰直角三角形纸片，，按图中方式裁剪出阴影部分的长方形纸条若干张，若纸条的宽都为，则这些阴影部分长方形纸条的总面积是 ．
15．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 ，的小数部分为 ．
三、解答题（8小题，共70分）
16．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）（1）计算：
（2）计算：
17．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）先化简再求值：，其中．
18．（23-24八年级下·江西赣州·期末）若，化简，小杰的解答过程如下：
解：原式 第一步
第二步
第三步
(1)小杰的解答从第 步出现了错误，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
(2)请你写出正确的解答过程．
19．（23-24八年级下·新疆巴音郭楞·期末）无理数是无限不循环小数，但它可以用一个整数与小数的和来表示．如：π的整数部分是3，小数部分是．请回答下列问题：
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ；
(2)已知x是的整数部分，y是其小数部分，求的值．
20．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）观察下列等式：
……
(1)请你根据上述规律填空：______；
(2)①把你发现的规律用含有的等式表示出来：______；
②证明①中的等式是正确的，并注明的取值范围．
21．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，使且，则将变成，然后开方，从而化简．
例如：化简．
解：．
仿照上例化简下列各式：
(1)；
(2)．
22．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）阅读下面材料：
将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，……．
则
；
；
……
根据以上材料解答下列问题：
(1)根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是 ；
(2)猜想的结果，并证明你的猜想；
(3)令，，，…，，且，求T的值．
23．（23-24八年级下·江西赣州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
(1)已知：，求的值；
(2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：；
(3)计算：．中小学教育资源及组卷应用平台
第21章 二次根式 单元测试
（试卷满分120分，考试用时120分钟）
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共23题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查最简二次根式，根据被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，不含分母，这样的二次根式是最简二次根式，进行判断即可．
【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，含有小数，不符合题意；
D、，含有分母，不符合题意；
故选A．
2．（23-24八年级下·山东济宁·期末）计算的结果为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．2
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的乘法，根据二次根式的乘法运算法则求解即可．
【详解】解：
，
故选：B．
3．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如果使二次根式有意义，那么的值不可能为（ ）
A． B．5 C．8 D．7
【答案】A
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，求出的范围，即可得出结果．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴的值不可能为；
故选A．
4．（23-24八年级下·江西赣州·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的相关运算，掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】解：不说同类二次根式，不能相加，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D正确；
故选：C
5．（2024·宁夏银川·二模）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．b
【答案】A
【分析】此题考查了利用数轴比较数的大小，二次根式的性质，化简绝对值，正确利用数轴比较数的大小是解题的关键．由数轴知，，得到，化简即可．
【详解】解：由数轴知，，
∴，
∴
，
故选：A．
6．（23-24八年级下·云南玉溪·阶段练习）如图，从一个大正方形中裁去面积为12和18的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的应用，解题的关键是求出大正方形的边长．先求出两个小正方形的边长，然后再求出大正方形的边长，用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可．
【详解】解：∵积为12的小正方形的边长为：，
面积为18小正方形的边长为：，
∴大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为，
∴余下部分的面积为．
故选A．
7．（23-24七年级下·重庆·期末）已知，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解的应用，二次根式的化简求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先利用提公因式法和完全平方公式将的一部分进行因式分解，再将代入，即可得解．
【详解】解：
，
当时，
原式
，
故选：C．
8．（23-24七年级下·四川德阳·期末）将正整数的算术平方根按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示实数，则表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，用有序数对表示位置，观察可知第n排的最后的数为 ，据此算出第7排最后一个数，进而得到第8排第5个数，即可得到答案．
【详解】解：第一排最后一个数为，
第二排最后一个数为，
第三排最后一个数为，
第四排最后一个数为，
……，
以此类推，可知第n排的最后的数为
∴第7排最后的数为：，
∴第8排第5个数为，
∴表示的实数是．
故选：C
9．（23-24八年级下·重庆江津·期末）通过学习二次根式和乘法公式后，可以发现：
当，时，∵，∴，
当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
①当时，的最小值为2；②当时，的最小值为5；
③如图，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成长方形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的计算，分别根据，依次将①②中的等式进行变形，即可进行判断，对于③，先设设花圃的宽为，篱笆的总长为，得到y关于x的表达式，再进行变形，即可得到答案．
【详解】解：①∵，
∴，
∴，
故①正确；
②∵；
∴；
故②正确；
设花圃的宽为，篱笆的总长为，
则，
故③正确；
故选：D．
10．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及实数数字类的规律探索；探索规律，准确计算是解题关键．根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案．
【详解】解：由题意，可得
，
，
，
……
，
∴
．
故选：A．
二、填空题（5小题，每小题4分，共20分）
11．（2024·上海·中考真题）已知，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知，则可得出，求出x即可．
【详解】解：根据题意可知：，
∴，
解得：，
故答案为：1．
12．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： ．
【答案】/
【分析】本题考查了二次根式的运算及平方差公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
根据平方差公式计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
13．（23-24八年级下·广东广州·期末）若，则 ．
【答案】1
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解不等式组，正确得出的值是解题关键．
直接利用二次根式有意义，则根号下部分不小于零，进而解不等式组得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
故，
故答案为：1．
14．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，等腰直角三角形纸片，，按图中方式裁剪出阴影部分的长方形纸条若干张，若纸条的宽都为，则这些阴影部分长方形纸条的总面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，二次根式的混合运算；
如图，首先证明右边5个空白三角形都是直角边长为的等腰直角三角形，然后求出是边长为的等腰直角三角形，再根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵阴影部分的长方形纸条的宽都为，且长方形的四个角都是直角，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
同理可得：右边5个空白三角形都是直角边长为的等腰直角三角形，
而是边长为的等腰直角三角形，
∴阴影部分长方形纸条的总面积为：
，
故答案为：．
15．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 ，的小数部分为 ．
【答案】 3 75
【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，先将化简为，可得最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则越大，当时，即可求解．先进行分母的有理化计算，即化去分母中的根号，得到，然后通过估算减去整数部分即可；解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解．
【详解】解：，且为整数，
最小为3，
是大于1的整数，
越小，越小，则越大，
当时，
，
，
故的小数部分为
故答案为：3；75；
三、解答题（8小题，共70分）
16．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）（1）计算：
（2）计算：
【答案】（1）；（2）2
【分析】本题考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
（1）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
（2）先算括号内的，再算乘法，最后合并同类二次根式．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
17．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）先化简再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值．先计算除法，再计算减法，然后把代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：
，
当时，原式．
18．（23-24八年级下·江西赣州·期末）若，化简，小杰的解答过程如下：
解：原式 第一步
第二步
第三步
(1)小杰的解答从第 步出现了错误，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
(2)请你写出正确的解答过程．
【答案】(1)二，
(2)
【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质解答即可；
（2）根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】（1）解：小杰的解答从第二步出现了错误，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；
（2）
．
19．（23-24八年级下·新疆巴音郭楞·期末）无理数是无限不循环小数，但它可以用一个整数与小数的和来表示．如：π的整数部分是3，小数部分是．请回答下列问题：
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ；
(2)已知x是的整数部分，y是其小数部分，求的值．
【答案】(1)0，；
(2)．
【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算等知识，正确估算是解题的关键；
（1）估算出的大小，即可估算的大小，从而确定其整数部分与小数部分；
（2）估算出的大小，即可估算出的大小，从而确定其整数部分与小数部分，即x与y的值，最后代入代数式中，利用二次根式的混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
的整数部分是0，小数部分是 ，
故答案为：0，；
（2）解：
由题意，得
∴．
20．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）观察下列等式：
……
(1)请你根据上述规律填空：______；
(2)①把你发现的规律用含有的等式表示出来：______；
②证明①中的等式是正确的，并注明的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②证明见解析；（n为大于1的自然数）
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，规律型：数字的变化类，熟练掌握二次根式的化简是解决本题的关键．
（1）仔细观察从上式中找出规律即可；
（2）①归纳总结得到一般性规律，写出即可；
②利用二次根式的性质及化简公式证明即可．
【详解】（1）解：根据前3个式子，可得；
故答案为：；
（2）解：①由前面式子得出：；
故答案为：；
②证明：等式左边右边，为大于1的自然数．
21．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，使且，则将变成，然后开方，从而化简．
例如：化简．
解：．
仿照上例化简下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式的运用，熟练掌握阅读学习的基本方法是解题的关键．
（1）根据完全平方公式把化为，然后利用二次根式的性质计算；
（2）根据完全平方公式把化为，然后利用二次根式的性质计算．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
22．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）阅读下面材料：
将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，……．
则
；
；
……
根据以上材料解答下列问题：
(1)根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是 ；
(2)猜想的结果，并证明你的猜想；
(3)令，，，…，，且，求T的值．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】本题考查二次根式的运算中的规律探究，解题的关键是得到：
（1）根据题意，抽象概括出面积记为的正方形边长即可；
（2）根据已有等式，推导出的结果，利用平方差公式法因式分解计算求证即可；
（3）利用（2）中点的结论，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，……
∴面积记为的正方形边长为；
故答案为：；
（2）猜想，证明如下：
∵，
∴
；
（3）∵，
∴
．
23．（23-24八年级下·江西赣州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
(1)已知：，求的值；
(2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：；
(3)计算：．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案；
（2）根据二次根式有意义的条件列出方程组，解方程组即可得到答案；
（3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案．
此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
且，
∴；
（2）解：∵
∴，
化简后两边同时平方得：，
∴，
经检验：是原方程的解；
（3）解：
．
