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22.1.3二次函数y=ax +k的图象与性质 题型专练
题型一、二次函数y=ax +k的开口方向与形状
1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）抛物线的开口方向是（ ）
A．向右 B．向上 C．向左 D．向下
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象与性质，掌握“，开口向上，，开口向下，”即可求解．
【详解】解：中二次项系数为，，
抛物线开口向上．
故选：B．
2．（23-24九年级上·浙江金华·期末）下列二次函数中，图象的形状与二次函数相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图像的形状与二次项系数的关系，熟悉二次项系数对图像形状的影响是解题关键．根据题意可知，两个二次函数的图像形状相同，那么它们的二次项系数相等，由此即可解题．
【详解】解：图像的形状与二次函数相同，
二次项系数为，
故选：A．
3．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线开口向下，得到，求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故选D．
4．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）已知一个二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，请你写出一个符合条件的表达式： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解题的关键．根据题干提供信息，写出符合题意的二次函数的解析式即可；
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，
∴该抛物线的解析式的二次项系数为负数，不含一次项，
∴这个二次函数的解析式可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
题型二、二次函数y=ax +k的对称轴与顶点
5．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）二次函数的对称轴是( )
A．轴 B．轴 C．直线 D．直线
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对于二次函数，其对称轴为直线，据此即可求解．
【详解】解：由题意得：抛物线的对称轴是：直线，
即对称轴是y轴，
故选：A．
6．（17-18九年级上·全国·课后作业）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式解析式写出顶点坐标即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：的顶点坐标是，
故选：．
7．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为14的奖杯的一部分，则杯口的口径为 ．
【答案】9
【分析】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，利用待定系数法求出A、C的坐标，可求答案．
【详解】解：∵为14，
∴令，
解得，
∴，
∴，
故答案为：9
8．（2023九年级下·安徽·专题练习）已知，是抛物线上的两点，点的横坐标为，点的横坐标为，为线段AB的中点，轴，交抛物线于点．
（1）抛物线的顶点坐标是 ；
（2）线段的长为 ．
【答案】 ； ．
【分析】（）根据二次函数表达式特点可求顶点坐标；
（）由题意写出、的坐标，再根据中点坐标得出点坐标，再由轴得出点坐标即可．
【详解】解：（1）∵，
∴抛物线的顶点坐标是，
故答案为：，
（2）依据题意可知，点的坐标为，点的坐标为，，
∵为线段的中点，
∴的坐标为，
∵轴，
∴点的坐标为，
∴CD＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的相关知识点是解决本题的关键．
题型三、二次函数y=ax +k的增减性
9．（2023·河南新乡·一模）点，是抛物线上的点，且，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的对称轴的求法，根据对称轴和开口方向分析函数的增减性，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小；反之，越大．
根据函数解析式得出图象开口向上，对称轴为y轴，结合，即可解答．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∵，，
∴图象开口向上，对称轴为y轴，
∵，
∴，
故选：A．
10．（2024·甘肃武威·三模）已知点，，，在二次函数的图象上，点，是该函数图象与正比例函数为常数且的图象的交点．若，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了二次函数的性质，正比例函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．首先确定在第三象限，、在第一象限，利用正比例函数的性质以及二次函数的性质判断即可．
【详解】解：，
正比例函数的图象经过一、三象限，
点，是该函数图象与正比例函数为常数且的图象的交点，且，
在第三象限，在第一象限，
由二次函数可知抛物线开口向下，对称轴为轴，
当时，随的增大而减小，
在第一象限，
，，
．
故选：D．
11．（23-24九年级下·全国·课后作业）对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，根据二次函数的定义得到，由抛物线的性质得到，由此求得m的值．
【详解】解：∵函数为二次函数，且当时，y随x的增大而增大，
∴，，
整理得：，且，
解得：．
故答案为：．
12．（23-24九年级上·上海闵行·阶段练习）已知二次函数的解析式为，在直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，那么的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的增减性，掌握的图像和性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为y轴，
∴开口向下，当x时，函数值随着自变量的增大而增大，
又∵直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，
∴，
故答案为：．
题型四、二次函数y=ax +k的最值与函数值范围
13．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）二次函数的最大值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数的对称轴为：，将其代入原函数得，进而可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：二次函数的对称轴为：，
则当时，，
二次函数的最大值是，
故答案为：．
14．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）已知二次函数，当时，y的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴解析式是解题的关键．
【详解】解：二次函数的对称轴为y轴，
在时，当时，y最小，最小值为，
故答案为：．
15．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）已知抛物线，则当时，的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的性质，当时，随的增大而减小，然后把的值代入进行计算即可得解．
【详解】解：，
时，随的增大而减小，
，
时，的最大值；
当时，最小．
的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．
16．（23-24九年级上·湖北黄石·阶段练习）已知当时，二次函数有最大值4，求实数的值．
【答案】
【分析】
根据题意得出对称轴为直线，在时，当时取得最大值，即可求解．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，抛物线开口向上，当时取得最大值，
∴
解得：
题型五、二次函数y=ax +k的图象问题
17．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知二次函数的图象如图所示，将其抛物线的表达式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据由图象得抛物线开口向下，排除C、D两个选项，由图象得抛物线顶点在y轴正半轴上，排除A选项，问题得解．
【详解】解：由图象得抛物线开口向下，故C、D两个选项不合题意，
由图象得抛物线顶点在y轴正半轴上，故A选项不合题意．
故选：B
18．（2023·江西九江·二模）下列图象中，函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数之间的关系，根据二次函数的开口方向和与y轴的交点位置分别判定a的符号，以及对称轴是y轴，看是否一致即可得到答案．
【详解】解：函数的对称轴为y轴，
A、抛物线开口向上，则，与y轴交于正半轴，则，即，二者不一致，不符合题意；
B、抛物线开口向上，则，与y轴交于负半轴，则，即，但是对称轴不是y轴，不符合题意；
C、抛物线开口向下，则，与y轴交于负半轴，则，即，二者不一致，不符合题意；
D、抛物线开口向下，则，与y轴交于正半轴，则，即，二者一致，且对称轴是y轴，符合题意；
故选：D．
19．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）如果抛物线（a为常数）经过了平面直角系的四个象限，那么a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题抛物线的性质，能判断出抛物线开口向下是解题的关键．由已知条件得抛物线开口向下，得到，即可求出a的取值范围．
【详解】解：抛物线（a为常数）恒过点，且经过了平面直角系的四个象限，
抛物线开口向下，
，
解得：，
故答案：．
20．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数．
x … 0 1 2 …
y … …
(1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象．
(2)
由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______．
(3)利用图象写出当时，y的取值范围是______．
【答案】(1)见解析
(2)向下；y轴；；减小；
(3)
【分析】本题考查二次函数的基础知识点，
（1）根据列表、描点、连线三步作出函数图象即可；
（2）观察函数图象求解即可；
（3）观察函数图象求解即可；
解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象画法，通过数形结合求解．
【详解】（1）解：如下表所示：
x … 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 0 …
函数图象如图所示：
（2）根据函数图象得：抛物线开口方向为向下；对称轴为y轴；顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小；
故答案为：向下；y轴；；减小；
（3）有函数图象可得：当时，y的取值范围是，
故答案为：．
题型六、二次函数y=ax +k的性质综合问题
21．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知点，是抛物线上的两点，其中，下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意，得到抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴抛物线的开口向上，对称轴为轴，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴或，
当时，，，
∴，
∴，
∴，
当时，，；
∴，
∴，
∴；
综上：；
故选B．
22．（22-23九年级上·山东威海·期末）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；
根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，据此解答．
【详解】化为顶点式解析式为：
二次函数的对称轴为直线，开口方向向上，
在对称轴的左侧时，y随x的增大而减小，
时，y随x的增大而减小，
当时，y随x的增大而减小，
实数a的取值范围是，
故选：B．
23．（22-23九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．
(1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______；
(2)当______时，新函数有最小值；
(3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______；
(4)直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围______．
【答案】(1)5，3
(2)-2或2
(3)或
(4)或
【分析】（1）把和分别代入求得函数值，根据函数图象即可求得答案；
（2）根据函数图象即可求得；
（3）根据函数图象即可求得；
（4）根据图象求得答案即可．
【详解】（1）解：把代入，
得，
把代入，
得，
当时，新函数值为，当时，新函数值为，
故答案为：，；
（2）解：观察图象可得：
当或时，新函数有最小值为，
故答案为：或；
（3）解：观察图象可得：
当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是或；
故答案为：或；
（4）解：观察图象可得：
直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
题型七 、二次函数y=ax +k的性质与几何综合问题
24．（23-24九年级上·山东泰安·期中）平面直角坐标系中，已知点，过点作轴，垂足为，若抛物线与的边总有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程与二次函数的关系．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，再结合二次函数的性质即可解答，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题．
【详解】解：设所在直线的函数解析式为，
把代入得，，
解得，
∴所在直线的函数解析式为，
∵抛物线，
∴抛物线开口向上，对称轴为轴，顶点坐标为，
如图，
∵点，轴，
∴点坐标为，
将代入得，，
解得，
∴时，抛物线向上移动，抛物线与的边有两个交点，
如图，
当抛物线经过原点时，有两个交点，将代得，，
当抛物线向上平移，且与直线：只有一个交点时，
由得，，
解得，
∴时与三角形有两个交点，
综上，，
故选：C．
25．（23-24九年级上·北京西城·期中）已知抛物线，直线，将抛物线在直线l左侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G． 如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得点在G上，则a的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，轴对称的性质，本题先画出函数的简易图象，计算当的函数值，对折后可得函数值取全体实数，从而可得的范围．
【详解】解：如图，把代入，
∴，
由图象可得直线，将抛物线在直线l左侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，
如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得点在G上，
∴；
故选A
26．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知抛物线具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点的距离与它到轴的距离始终相等．若点的坐标为是抛物线上的一个动点，则周长的最小值是 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，勾股定理，垂线段最短等等，过点M作轴于H，过点P作轴于E，连接，利用勾股定理求出，根据题意推出的周长，则当三点共线时，最小，即此时的周长最小，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点M作轴于H，过点P作轴于E，连接，
由题意得，，
∵，
∴，
∴的周长，
∵，
∴当三点共线时，最小，即此时的周长最小，
∵，
∴，
∴的周长最小值为，
故答案为：5．
题型八 、二次函数y=ax +k图象与性质综合应用
27．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，点．
(1)求该二次函数的解析式并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且不大于5，求的取值范围．
【答案】(1)，图见解析
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求解析式，用描点法画函数图象即可；
（2）根据图象列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：将点，点代入中得到：
，
解得：，
∴该二次函数的解析式为：，
列表如下：
x … 0 1 2 3 …
y … 1 1 …
画图如下：
（2）根据题意，作图如下：
∵函数的开口向上，且对称轴也是y轴，要使当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且不大于5，
∴只需保证当时，，且当时，，
即
解得：．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，利用数形结合思想是解题的关键．
题型九、二次函数y=ax +k与新定义问题
28．（2019·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．已知：点在函数的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点．
(1)请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法；
(2)如果点在函数的图象上，求点的坐标；
(3)将点称为点的“待定关联点”（其中，）．如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含n的代数式表示点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线；
（2）根据“关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点A1的坐标；
（3）根据“待定关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点A2的坐标．
【详解】（1）解：将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线，
如图：
（2）解：由题意，得点的“关联点”为，
由点在抛物线上，可得，
∴，
又在抛物线上，
，
解得．
将代入，得；
（3）解：点的“待定关联点”为，
∵在抛物线的图象上，
，
．
又
,
当时，，
故可得．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出关联点的坐标．
29．（2022·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，对于点和．给出如下定义：如果，那么称点为点的“变换点”．例如点（1，2）的“变换点”为点（1，2），点（－1，2）的“变换点”为点（－1，－2）．
(1)在点（4，0），（2，5），（－1，－1），（－3，5）中， 的“变换点”在函数的图象上；
(2)如果一次函数图象上点的“变换点”是，求点的坐标；
(3)如果点在函数的图象上，其“变换点”的纵坐标的取值范围是，结合图象写出实数的取值范围．
【答案】(1)和
(2)点
(3)
【分析】（1）先求出每个点的“变换点”坐标，然后看是否满足一次函数解析式即可；
（2）分当时和当时，两种情况讨论求解即可；
（3）先画出“变换点”的函数图象，结合函数图象求解即可．
【详解】（1）解：由题意得点（4，0），（2，5），（－1，－1），（－3，5）的变换点分别为（4，0）、（2，5）、（-1，1）、（-3，-5），
当时，，
∴点（4，0）不在函数的图象上，
同理可得点（2，5）、（-3、-5）在函数的图象上，点（-1、1）不在函数的图象上，
∴和的“变换点”在函数的图象上；
（2）解：由题意得当时，点，则，
解得：（舍去）；
当时，点，则 ，解得：，
∴点；
（3）解：如右图所示为“变换点”函数图象：
从函数图象看，“变换点”Q的纵坐标的取值范围是，
而，
函数图象只需要找到最大值（直线）与最小值（直线）
直线从大于等于0开始运动，直到与有交点结束，都符合要求，
∴，解得：（舍去负值），
观察图象可知满足条件的a的取值范围为：．
【点睛】本题主要考查了求一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的性质等等，正确理解题意是解题的关键．
一、单选题
1．（2024·山东济南·三模）已知点在直线上，点和在抛物线上．当时，有，则可以等于下列哪个值（ ）
A．2 B．4 C．8 D．10
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征．求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的的值，即可求得取值范围，根据抛物线的对称性求得，从而求得的取值范围．
【详解】解：令，整理得，
解得，，
直线与抛物线的交点的横坐标为5，0，
，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为，
把代入，
解得，
若，，则，，
，
故选：A．
2．（23-24九年级上·山东烟台·期末）对于抛物线，若y的最小值是5，则（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了抛物线的性质，确定，问题随之得解．
【详解】∵，且，
∴，
∵y的最小值是5，
∴，
∴，
故选：A．
3．（2024九年级·全国·竞赛）如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，现将进行等分，分点分别为点，过各分点的垂线分别交二次函数的图象于点，记的面积分别为、，当越来越大时，最接近的常数是（ ）．
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的基本性质，理解二次函数图象的特点，运用极限思想分析问题是关键．先求出函数：的图象与轴的正半轴相交于点坐标，再根据题意得到三角形的面积计算方法，最后根据计算结果可推出最佳答案．
【详解】解：由题意可得：的图象与轴的正半轴相交于点
，
，
当越来越大时，最接近的值为．
故选：B．
4．（21-22九年级上·广西梧州·阶段练习）对于二次函数，当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由抛物线解析式可得对称轴为直线，且开口向上，再由可知，当时，取得最小值，当时，取得最大值，即可求出答案．
【详解】解：二次函数的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线开口向上，
，
当时，取得最小值，
当时，，
当时，，
当时，的取值范围是，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握抛物线对称轴和增减性是解决本题的关键．
二、填空题
5．（2024·上海浦东新·二模）沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是抛物线的增减性，利用抛物线的对称轴的左侧的部分是上升的可得抛物线开口向下，再建立不等式解题即可．
【详解】解：∵抛物线在对称轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向下，
∴，解得．
故答案为：．
6．（23-24九年级上·湖北黄冈·阶段练习）已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“”或“”或“”）
【答案】
【分析】根据函数解析式可得对称轴，开口向上，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：由题意得抛物线的对称轴，
又，
∴抛物线开口向上．
∴当时，随的增大而增大．
∴当时，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如果一次函数与二次函数的图像的一个交点坐标是，另一个交点是该二次函数图像的顶点，则 ．
【答案】
【分析】把代入求得，根据二次函数的顶点坐标为，把代入求得，把，代入，即可求得a值．
【详解】解：∵一次函数过点，
∴，
解得，
∴，
∵一次函数与二次函数的图象的一个交点坐标为，另一个交点是该二次函数图象的顶点，
∴另一个交点为，
把代入，得，
把，代入，得
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象性质、一次函数的图象性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的图象性质和二次函数的图象性质解答．
8．（2022九年级·江苏·专题练习）对于两个实数，规定表示a，b中的较小值，当时，，当时，，例如：．则函数的最大值是 ．
【答案】2
【分析】观察图像结合函数的意义可得函数在时取得最大值，据此解答．
【详解】解：在同一坐标系中画出函数和的图象，如图；
结合图象，可得函数的最大值是2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解决此题的关键．
9．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）对于二次函数，当x取，时，函数值相等，则当x取时，函数值为 ．
【答案】3
【分析】根据抛物线的顶点式得到二次函数图象的对称轴为y轴，所以函数值相等，则自变量互为相反数，然后计算自变量为0时的函数值即可．
【详解】解：∵二次函数图象的对称轴为y轴，当x分别取，时，函数值相等，
∴，
∴当时，．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
10．（2022·河南周口·一模）如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 ．
【答案】2
【分析】设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|，因点P在x轴上方，所以x2-1>0，由勾股定理求得OP=x2+1，即可求得OP-PH=2，得出答案．
【详解】解：设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|，
当点P在x轴上方时，∴x2-1>0,
∴PH=|x2-1|=x2-1，
在Rt△OHP中，由勾股定理，得
OP2=OH2+PH2=x2+(x2-1)2=(x2+1)2，
∴OP=x2+1，
∴OP-PH=（x2+1）-（x2-1）=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，利用坐标求线段长度是解题的关键．
11．（2022·江苏南京·一模）如图，“爱心”图案是由函数的部分图像与其关于直线的对称图形组成．点A是直线上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若，则点A的坐标是 ．
【答案】或
【分析】根据对称性表示出A，B两点的坐标，利用勾股定理列式求解即可．
【详解】∵A，B关于直线对称，
∴设，则，
如图所示，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍），
∴，
∵在上，
∴，
即，
整理得：，
解得，，
当时，，
当时，，
∴点A的坐标为或；
故答案是或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用及对称点的表示，解题的关键是设点的坐标，表示出AB的长度．中小学教育资源及组卷应用平台
22.1.3二次函数y=ax +k的图象与性质 题型专练
题型一、二次函数y=ax +k的开口方向与形状
1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）抛物线的开口方向是（ ）
A．向右 B．向上 C．向左 D．向下
2．（23-24九年级上·浙江金华·期末）下列二次函数中，图象的形状与二次函数相同的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）已知一个二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，请你写出一个符合条件的表达式： ．
题型二、二次函数y=ax +k的对称轴与顶点
5．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）二次函数的对称轴是( )
A．轴 B．轴 C．直线 D．直线
6．（17-18九年级上·全国·课后作业）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为14的奖杯的一部分，则杯口的口径为 ．
8．（2023九年级下·安徽·专题练习）已知，是抛物线上的两点，点的横坐标为，点的横坐标为，为线段AB的中点，轴，交抛物线于点．
（1）抛物线的顶点坐标是 ；
（2）线段的长为 ．
题型三、二次函数y=ax +k的增减性
9．（2023·河南新乡·一模）点，是抛物线上的点，且，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
10．（2024·甘肃武威·三模）已知点，，，在二次函数的图象上，点，是该函数图象与正比例函数为常数且的图象的交点．若，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24九年级下·全国·课后作业）对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，则 ．
12．（23-24九年级上·上海闵行·阶段练习）已知二次函数的解析式为，在直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，那么的取值范围是 ．
题型四、二次函数y=ax +k的最值与函数值范围
13．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）二次函数的最大值是 ．
14．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）已知二次函数，当时，y的最小值为 ．
15．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）已知抛物线，则当时，的取值范围为 ．
16．（23-24九年级上·湖北黄石·阶段练习）已知当时，二次函数有最大值4，求实数的值．
题型五、二次函数y=ax +k的图象问题
17．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知二次函数的图象如图所示，将其抛物线的表达式可能为（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·江西九江·二模）下列图象中，函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
19．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）如果抛物线（a为常数）经过了平面直角系的四个象限，那么a的取值范围是 ．
20．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数．
x … 0 1 2 …
y … …
(1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象．
(2)
由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______．
(3)利用图象写出当时，y的取值范围是______．
题型六、二次函数y=ax +k的性质综合问题
21．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知点，是抛物线上的两点，其中，下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
22．（22-23九年级上·山东威海·期末）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．（22-23九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．
(1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______；
(2)当______时，新函数有最小值；
(3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______；
(4)直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围______．
题型七 、二次函数y=ax +k的性质与几何综合问题
24．（23-24九年级上·山东泰安·期中）平面直角坐标系中，已知点，过点作轴，垂足为，若抛物线与的边总有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
25．（23-24九年级上·北京西城·期中）已知抛物线，直线，将抛物线在直线l左侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G． 如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得点在G上，则a的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
26．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知抛物线具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点的距离与它到轴的距离始终相等．若点的坐标为是抛物线上的一个动点，则周长的最小值是 ．
题型八 、二次函数y=ax +k图象与性质综合应用
27．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，点．
(1)求该二次函数的解析式并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且不大于5，求的取值范围．
题型九、二次函数y=ax +k与新定义问题
28．（2019·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．已知：点在函数的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点．
(1)请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法；
(2)如果点在函数的图象上，求点的坐标；
(3)将点称为点的“待定关联点”（其中，）．如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含n的代数式表示点的坐标．
29．（2022·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，对于点和．给出如下定义：如果，那么称点为点的“变换点”．例如点（1，2）的“变换点”为点（1，2），点（－1，2）的“变换点”为点（－1，－2）．
(1)在点（4，0），（2，5），（－1，－1），（－3，5）中， 的“变换点”在函数的图象上；
(2)如果一次函数图象上点的“变换点”是，求点的坐标；
(3)如果点在函数的图象上，其“变换点”的纵坐标的取值范围是，结合图象写出实数的取值范围．
一、单选题
1．（2024·山东济南·三模）已知点在直线上，点和在抛物线上．当时，有，则可以等于下列哪个值（ ）
A．2 B．4 C．8 D．10
2．（23-24九年级上·山东烟台·期末）对于抛物线，若y的最小值是5，则（ ）
A． B． C．5 D．
3．（2024九年级·全国·竞赛）如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，现将进行等分，分点分别为点，过各分点的垂线分别交二次函数的图象于点，记的面积分别为、，当越来越大时，最接近的常数是（ ）．
A． B． C． D．1
4．（21-22九年级上·广西梧州·阶段练习）对于二次函数，当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2024·上海浦东新·二模）沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 ．
6．（23-24九年级上·湖北黄冈·阶段练习）已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“”或“”或“”）
7．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如果一次函数与二次函数的图像的一个交点坐标是，另一个交点是该二次函数图像的顶点，则 ．
8．（2022九年级·江苏·专题练习）对于两个实数，规定表示a，b中的较小值，当时，，当时，，例如：．则函数的最大值是 ．
9．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）对于二次函数，当x取，时，函数值相等，则当x取时，函数值为 ．
10．（2022·河南周口·一模）如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 ．
11．（2022·江苏南京·一模）如图，“爱心”图案是由函数的部分图像与其关于直线的对称图形组成．点A是直线上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若，则点A的坐标是 ．
