【湘教版数学九年级上册同步练习】 第三章图形的相似综合检测题（含答案）

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【湘教版数学九年级上册同步练习】
第三章图形的相似综合检测题
一、单选题
1．如图，AD，BC相交于点O，由下列条件仍不能判定△AOB与△DOC相似的是（　　）
A．AB∥CD B．∠C＝∠B C． D．
2．如图，已知△ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，分别取点D，E，F，使OD＝ AO，OE＝ BO，OF＝ CO，得△DEF，有下列说法：
①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；
③△DEF与△ABC的周长比为1：3；④△DEF与△ABC的面积比为1：6．
则正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若 且相似比为1：4，则 与 的面积比为（　　）
A．1：4 B．4：1 C．1：16 D．16：1
4．如图，已知AB∥CD∥EF，BC：CE＝3：4，AF=21，那么DF的长为（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
5．如图为两正方形ABCD、BEFG和矩形DGHI的位置图，其中G、F两点分别在BC、EH上.若AB＝5，BG＝3，则△GFH的面积为（　　）
A．10 B．11 C． D．
二、填空题
6．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm．他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像．蜡烛应放在距离纸筒 　 　cm的地方．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，有两点A（2，4），B（4，0），以原点O为位似中心，把△OAB缩小得到△OA'B'.若B'的坐标为（2，0），则点A'的坐标为　 　.
8．若 ，则 　 　.
9．已知均为非零的实数，且满足，则的值为　 　．
10．若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的　 　倍．
11．将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点，若CA=5，AB=6，AD：AB=1：3，则MD+ 的最小值为　 　．
三、计算题
12．已知 ＝ ，求 的值.
13．【问题情境】
如图，在四边形中，，，，点是线段上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转，且长度变为原来的倍，得到线段，作直线交直线于点．数学兴趣小组着手研究为何值时，的值是定值．
【探究实践】
老师引导同学们可以先通过边、角的特殊化，发现的取值与为定值的关系，再探究图中的问题，这体现了从特殊到一般的数学思想．
经过思考和讨论，小明、小华分享了自己的发现．
（1）如图，小明发现：“当，时，点与点恰好重合，的值是定值”．小华给出了解题思路，连接，易证，得到与的数量关系是 ，的值是 ；
（2）如图，小华发现：“当，时，的值是定值”．请判断小明的结论是否正确，若正确，请求出此定值，若不正确，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图，小聪对比小明和小华的发现，经过进一步思考发现：“连接，只要确定的长，就能求出的值，使得的值是定值”，老师肯定了小聪结论的准确性．若，请直接写出的值及的定值．
四、解答题
14．已知△ABC中，AB=15cm，BC=21cm，AC=30cm，另一个与它相似的△A′B′C′的最长边长为40cm，求△A′B′C′的其余两边的长．
15．如图，中，D、E、F分别在、和上，，，若，，，求和的长度．
16．已知矩形，点E、F分别在、边上运动，连接、，记、交于点P．
-
（1）如图1，若，，，求线段的长度；
（2）如图2，若，，求；
（3）如图3，连接，若，，，求的长度．
五、综合题
17．如图，为了测量一池塘的宽，在岸边找一点，连接，，测得，在的延长线上找一点，测得，过点作，交的延长线于，测得，求池塘的宽．
18．若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图1，矩形ABCD中，BC=2AB，则称ABCD为方形．
（1）设a，b是方形的一组邻边长，写出a，b的值（一组即可）．
（2）在△ABC中，将AB，AC分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连结线为一边作矩形，使这些矩形的边B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的对边分别在B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如图2所示．
①若BC=25，BC边上的高为20，判断以B1C1为一边的矩形是不是方形？为什么？
②若以B3C3为一边的矩形为方形，求BC与BC边上的高之比．
19．已知 ， ， ， 是 的中点， 是平面上的一点，且 ，连接 .
（1）如图，当点 在线段 上时，求 的长；
（2）当 是等腰三角形时，求 的长；
（3）将点 绕点 顺时针旋转 得到点 ，连接 ，求 的最大值．
六、实践探究题
20．综合实践活动
主题：测量墙面高度
素材：手电筒，木板，平面镜，直尺
步骤：如图，小颖同学手持电筒从点A处发射光线，通过水平放置在地面上的平面镜C反射后，经过垂直于地面放置的木板上边缘点D，落在垂直于地面的墙面F处，小颖测得A处离地面的高度，B处离木板底端E处的长度，E处到墙面底端G处的长度，木板长度.
计算：已知光通过平面镜反射中入射角等于反射角，图中点B，C，E，G在同一水平线上.求点F到地面的高度FG.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；位似变换
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
4．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
5．【答案】D
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
6．【答案】60
【知识点】相似三角形的应用
7．【答案】（1，2）
【知识点】位似变换
8．【答案】
【知识点】比例的性质
9．【答案】或
【知识点】分式的化简求值；比例的性质
10．【答案】5
【知识点】相似三角形的性质
11．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
12．【答案】解：由 ＝ ，得 ＝ b.
∴
【知识点】分式的基本性质；比例的性质
13．【答案】（1），；（2）的值是定值，；（3），．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
14．【答案】解：设△A′B′C′的其余两边的长度分别是x，y，
根据题意，得 = ， = ，
解得x=20，y=28，
答：△A′B′C的其余两边的长分别是20cm和28cm．
【知识点】相似三角形的判定与性质
15．【答案】，
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
16．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
17．【答案】
【知识点】相似三角形的应用
18．【答案】（1）解：答案不唯一，如a=2，b=4
（2）解：①以B1C1为一边的矩形不是方形．
理由是：过A作AM⊥BC于M，交B1C1于E，交B2C2于H，交B3C3于G，交B4C4于N，则AM⊥B4C4，AM⊥B3C3，AM⊥B2C2，AM⊥B1C1，
∵由矩形的性质得：BC∥B1C1∥B2C2∥B3C3∥B4C4，
∴△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4，
∴ = ， = ， = ， = = ，
∵AM=20，BC=25，
∴B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，
∴MN=GN=GH=HE=4，
∴B1Q=B2O=B3Z=B4K=4，
即B1C1≠2B1Q，B1Q≠2B1C1，
∴以B1C1为一边的矩形不是方形；
②∵以B3C3为一边的矩形为方形，设AM=h，
∴△ABC∽△AB3C3，
∴ = ，
则AG= h，
∴MN=GN=GH=HE= h，
当B3C3=2× h时， = = ；
当B3C3= × h时， = = ．
综合上述：BC与BC边上的高之比是 或 ．
【知识点】相似三角形的判定与性质
19．【答案】（1）解：如图1中，连接 ．
在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
在 中，
（2）解：如图2中，∵ ，
∴点 在以点 为圆心的⊙ 上．
①当 时，
∵ ，
∴ 都在线段 的垂直平分线上，设直线 交 于 ．
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
当 在线段 上时， ， ，
当 在线段 的延长线上时， ， ．
②当 时，∵ ，
∴ ，此种情形不存在；
③当 时，同理这种情形不存在；
如图3中
（3）解：如图4中，连接 ．
由旋转可知： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ∽ ，
∴ ，
∵ ，
∴点 落在 的延长线与⊙ 的交点处， 的值最大，
∴ ．
∴ 的最大值为 ．
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线
20．【答案】解：∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴.
又∵，
∴，
∴.
∵，，，
∴
∴，
由题意得，
则.
∴.
∵，
∴.
解得
答：点F到地面的高度FG为5.76m
【知识点】相似三角形的应用
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