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第十二章 分式和分式方程 单元测试
（试卷满分120分，考试用时120分钟）
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题每题3分，7~16小题每题2分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（23-24八年级下·河北张家口·期中）下列各式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北保定·一模）化简的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南焦作·一模）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）若分式方程有增根，则增根是（ ）
A．4 B．1 C． D．
5．（23-24八年级下·河北张家口·期中）甲、乙两地相距，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的倍，根据题意可列方程，，则方程中表示（ ）
A．特快列车的平均行驶速度 B．高铁列车的平均行驶速度
C．特快列车的行驶时间 D．高铁列车的行驶时间
6．（2024·河北邯郸·三模）甲、乙、丙、丁四位同学在进行分式接力计算过程中，开始出现错误的同学是（ ）
化简：
甲同学：原式；
乙同学：；
丙同学：；
丁同学．
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
7．（2024·河北唐山·三模）已知，则常数，的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．（2024·河北邯郸·三模）当a为正整数时，对于整式 下列两种说法：
甲：整式P、Q的公因式为a；
乙． 的值随着a的增大逐渐趋近于1．
其中正确的是 （ ）
A．甲、乙都对 B．甲不对、乙对 C．甲对、乙不对 D．甲、乙都不对
9．（2024·河北石家庄·一模）如图所示，某同学不小心将分式运算的作业纸撕坏了一角，若已知该运算正确的情况下，则撕坏的部分中“■”代表的是（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）如果，那么代数式的值是（ ）
A．3 B． C． D．
11．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知点在数轴上且点A在点B的右侧，它们所对应的数分别是和，若的长为整数，则的值为（ ）
A．1 B．9 C．3或9 D．1或7
12．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）学期末，班主任为获得“文明学生”和“劳动积极分子”称号的学生准备了A，B两种礼物．已知A，B两种礼物的总价分别为450元和420元．且A种礼物比B种礼物多10份，A，B两种礼物的单价分别是这一批礼物平均单价的和1.2倍，则这一批礼物的平均单价是（ ）
A．15元 B．元 C．10元 D．元
13．（23-24八年级上·山东东营·期中）下列结论：①无论a为何实数，都有意义；②当时, 分式的值为0；③若的值为负， 则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且.其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（21-22八年级下·贵州·期末）有一道分式化简题：，甲、乙两位同学的解答过程分别如下：
甲同学：，
乙同学：
下列说法正确的是（ ）
A．只有甲同学的解答过程正确 B．只有乙同学的解答过程正确
C．两人的解答过程都正确 D．两人的解答过程都不正确
15．（22-23八年级下·河北保定·期末）若关于x的分式方程的解为非负数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
16．（20-21八年级上·河北石家庄·期末）关于x的方程的两个解为，，的两个解为，；的两个解为，，则关于x的方程的两个解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题（本大题共4个小题，共12分；17~18小题各2分，19~20小题各4分，每空2分，答案写在答题卡上）
17．（2024·河北唐山·二模）已知代数式与的值互为相反数，则的值为 ．
18．（21-22八年级下·福建福州·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是 ．
19．（23-24八年级上·河北保定·期末）已知分式（为常数）满足表格中的信息：
x的取值 2 c
分式的值 无意义 0 3
（1） ；
（2） ．
20．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形（其中为大于的整数），两块试验田的小麦都收获了．
（1）丰收 号（填“1”或者“2”）小麦的单位面积产量高；
（2）某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，其中“丰收1号”小麦面积为（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少，若两种小麦种植后产量相同（小麦试种的单产量与实验田一致），当时，符合条件的的值为 （直接写出结果）．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（23-24七年级下·河北沧州·期中）（1）解方程∶．
（2）解方程：
22．（23-24八年级下·河北张家口·期中）某中学的校园中有两块草坪．草坪甲是边长为的正方形，中间有一个边长为2的正方形喷水池，草坪乙是长为，宽为的长方形，设两块草坪的面积分别为、．
(1)比较甲、乙两块草坪面积的大小；
(2)求甲、乙两块草坪的面积的比．
23．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）解方程：
①的解是；
②的解是；
③的解是；
④的解是 ；
（1）请完成上面的填空；
（2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解 ；
（3）请你用一个含正整数 的式子表述上述规律，并写出它的解 ．
24．（23-24八年级下·河北张家口·期中）长为的春游队伍，以的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．
(1)求甲这次往返的时间，；（用含的代数式表示）
(2)求甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程．
25．（21-22八年级上·河北廊坊·期末）小学阶段我们学习了像这样的等式称为2，3，4，6成比例，其中2和6的位置称为外项，3和4的位置称为内项，且有．现在我们学习了分式后不妨找一组都不是0且互不相等的数，使得成立（即成比例）由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，看看它们之间的关系：其中（1）是给同学们的范例，其余三个需要大家验证．
(1)和猜想结果：．
验证：，，，，．
(2)和
(3)和
(4)和
26．（21-22七年级下·浙江杭州·期中）观察下列各式：
，
(1)从上面的算式及计算结果，根据你发现的规律直接写下面的空格：________；
(2)用数学的整体思想方法，设，分解因式：，；
(3)已知，a、b、c、d都是正整数，且，化简求的值．中小学教育资源及组卷应用平台
第十二章 分式和分式方程 单元测试
（试卷满分120分，考试用时120分钟）
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题每题3分，7~16小题每题2分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（23-24八年级下·河北张家口·期中）下列各式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式，根据分式的定义逐一判断即可求解，熟记：“如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母”是解题的关键．
【详解】解：、、不是分式，则A、B、D选项不符合题意；
是分式，则C选项符合题意；
故选C．
2．（2024·河北保定·一模）化简的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的乘方．利用分式的乘方法则计算即可求解．
【详解】解：，
故选：D．
3．（2024·河南焦作·一模）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式的乘除法，利用分式的乘法法则解答即可．
【详解】解：原式
．
故选：C．
4．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）若分式方程有增根，则增根是（ ）
A．4 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查解分式方程，根据题意解分式方程，使得分式方程无意义时的根为方程得增根即可得到本题答案．
【详解】解：∵使得分式方程无意义时的根为方程得增根，
∴
∴为方程增根，
故选：A．
5．（23-24八年级下·河北张家口·期中）甲、乙两地相距，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的倍，根据题意可列方程，，则方程中表示（ ）
A．特快列车的平均行驶速度 B．高铁列车的平均行驶速度
C．特快列车的行驶时间 D．高铁列车的行驶时间
【答案】A
【分析】此题考查分式方程的实际运用，掌握路程、时间、速度三者之间的关系是解决问题的关键．
【详解】解：由，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用，可知，
方程中表示，特快列车的平均行驶速度，
故选：A．
6．（2024·河北邯郸·三模）甲、乙、丙、丁四位同学在进行分式接力计算过程中，开始出现错误的同学是（ ）
化简：
甲同学：原式；
乙同学：；
丙同学：；
丁同学．
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
【答案】B
【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，化简的基本技能是解题的关键．
【详解】解：
，
∴开始出现错误的同学是乙同学，
故选B．
7．（2024·河北唐山·三模）已知，则常数，的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】本题考查异分母分式的加法，将等式左边利用异分母分式的加法进行求解，根据恒等式，求出的值即可．
【详解】解：，
∴，
解得：；
故选A．
8．（2024·河北邯郸·三模）当a为正整数时，对于整式 下列两种说法：
甲：整式P、Q的公因式为a；
乙． 的值随着a的增大逐渐趋近于1．
其中正确的是 （ ）
A．甲、乙都对 B．甲不对、乙对 C．甲对、乙不对 D．甲、乙都不对
【答案】B
【分析】本题考查因式分解，分式的性质，掌握因式分解是解题的关键.
【详解】解：由题意可知,
∴整式的公因式为，故甲不对
∵
∴当a的逐渐增大，趋近于1，故乙正确
故选:B
9．（2024·河北石家庄·一模）如图所示，某同学不小心将分式运算的作业纸撕坏了一角，若已知该运算正确的情况下，则撕坏的部分中“■”代表的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式的混合运算，用结果除以，再加上1即为“■”代表的式子．
【详解】解：由题意，得：“■”代表的是；
故选：A．
10．（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）如果，那么代数式的值是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
【详解】解：
，
当时，原式，
故选：B．
11．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知点在数轴上且点A在点B的右侧，它们所对应的数分别是和，若的长为整数，则的值为（ ）
A．1 B．9 C．3或9 D．1或7
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式的加减，结合已知条件列式并进行变形是解题的关键．
由题意列式可得，整理后可得，然后进行变形即可解答．
【详解】解：∵点在数轴上且点A在点B的右侧，它们所对应的数分别是和，
∴,
，
∵的长为整数，
∴或9．
故选C．
12．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）学期末，班主任为获得“文明学生”和“劳动积极分子”称号的学生准备了A，B两种礼物．已知A，B两种礼物的总价分别为450元和420元．且A种礼物比B种礼物多10份，A，B两种礼物的单价分别是这一批礼物平均单价的和1.2倍，则这一批礼物的平均单价是（ ）
A．15元 B．元 C．10元 D．元
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的应用，设这一批礼物平均单价是x元，则A礼物的单价是元，B礼物的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合A种礼物比B种礼物多10份，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设这一批礼物平均单价是x元，则A礼物的单价是元，B礼物的单价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
所以，这一批礼物平均单价是15元．
故选：A．
13．（23-24八年级上·山东东营·期中）下列结论：①无论a为何实数，都有意义；②当时, 分式的值为0；③若的值为负， 则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且.其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】①根据，得到有意义; ②当时, ，无意义；③若的值为负，则，； ④若有意义，则有意义，三个分母不等于0，,且，．
本题主要考查了分式有意义的条件和分式为0的条件．熟练掌握分式有意义的条件：分母不为0；分式为0的条件：分子为0，分母不为0．是解决问题的关键．
【详解】①∵，
∴，
∴不论a为何值都有意义，
故此结论正确；
②当时，，此时分式无意义，
故此结论不正确；
③若的值为负，
∵，
∴，
∴，
故此结论正确；
④∵有意义，
∴有意义，
∴，
解得，且，
故此结论不正确．
综上所述，其中正确的个数是2．
故选：B．
14．（21-22八年级下·贵州·期末）有一道分式化简题：，甲、乙两位同学的解答过程分别如下：
甲同学：，
乙同学：
下列说法正确的是（ ）
A．只有甲同学的解答过程正确 B．只有乙同学的解答过程正确
C．两人的解答过程都正确 D．两人的解答过程都不正确
【答案】D
【分析】将分式化简，再比较甲乙两人的结果即可．
【详解】解：
，
∴两人的解答过程都不正确，
故选：．
【点睛】此题考查分式了的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
15．（22-23八年级下·河北保定·期末）若关于x的分式方程的解为非负数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】分式方程依次去分母、去括号、移项、合并同类项，求出分式方程的解，再根据分式方程的解是非负数，且分母不能为零，得到关于a的不等式，求解即可得到答案．
【详解】解：原分式方程可化为，
去括号，可得：，
移项，可得：，
合并同类项，可得，
解得：，
根据题意可得：，且，
解得：，且．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程和一元一次不等式的解法并注意分式方程有意义的条件是解题的关键．
16．（20-21八年级上·河北石家庄·期末）关于x的方程的两个解为，，的两个解为，；的两个解为，，则关于x的方程的两个解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】由于可化为，由题中可得规律：方程 （其中为正整数）的解为，，根据这个规律即中得方程的解．
【详解】∵
∴
∴上述方程有解及
即及
所以原方程的解为，
故选：D
【点睛】本题主要考查了一类特殊方程的解，这是一个规律性的问题，要从所给的前面几个方程的解，归纳出一般性的结论，再所得的一般性结论，求出所给方程的解，体现了由特殊到一般再到特殊的思维过程，这是数学中常用的方法；这里也用到了整体思想，即要分别把、看成一个整体，才能符合题中所给方程的结构，否则无法完成．
二、填空题（本大题共4个小题，共12分；17~18小题各2分，19~20小题各4分，每空2分，答案写在答题卡上）
17．（2024·河北唐山·二模）已知代数式与的值互为相反数，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了相反数的性质，解分式方程，先根据两个分式互为相反数列出方程，再求出解即可．
【详解】∵代数式与互为相反数，
∴，
解得．
经检验，是原方程的解．
故答案为：．
18．（21-22八年级下·福建福州·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是 ．
【答案】3
【分析】此题主要考查分式方程的增根问题．先去分母，化成整式方程，再把增根代入即可求出m的值．
【详解】解：去分母得，
∵关于x的分式方程有增根，
∴，即增根，
把代入得，
解得，
故答案为：3．
19．（23-24八年级上·河北保定·期末）已知分式（为常数）满足表格中的信息：
x的取值 2 c
分式的值 无意义 0 3
（1） ；
（2） ．
【答案】 / 5
【分析】本题主要考查分式，掌握分式无意义的条件与分式的值为0的条件，解分式方程是解题的关键，
（1）根据当时，分式无意义，即分母为0，即可求出b值；当时，分式的值为0，即可求出a值，即可求解；
（2）由（1）可得分式为，再根据分式的值，解分式方程即可求出c的值，
【详解】解：（1）由表格数据得：当时，分式无意义，
当时，分式的值为0，
解得：，
分式为，
故答案为：
（2）当分式的值为3时，即
解得：，
检验：为分式方程的解．
故答案为：5．
20．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形（其中为大于的整数），两块试验田的小麦都收获了．
（1）丰收 号（填“1”或者“2”）小麦的单位面积产量高；
（2）某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，其中“丰收1号”小麦面积为（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少，若两种小麦种植后产量相同（小麦试种的单产量与实验田一致），当时，符合条件的的值为 （直接写出结果）．
【答案】 2 或或
【分析】本题考查了分式的混合运算的应用；
（1）根据题意，可以分别写出两块试验田的单位面积，然后比较大小即可．
（2）根据“两种小麦种植后产量相同”得出关于的一元一次方程，解方程得，根据题意，即可求解．
【详解】解：（1）由图可得，
“丰收1号”单位面积的产量为：
“丰收2号”单位面积的产量为：
∵
∴
∴，
即“丰收2号”小麦单位面积产量高，
故答案为：．
（2）依题意，
解得：
∵，为正整数，
∴或或．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（23-24七年级下·河北沧州·期中）（1）解方程∶．
（2）解方程：
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了解分式方程，
（1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得；
（2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．
【详解】（1）
去分母得，
解得
检验：将代入
∴原方程的解为；
（2）
去分母得，
解得
检验：将代入
∴原方程的解为．
22．（23-24八年级下·河北张家口·期中）某中学的校园中有两块草坪．草坪甲是边长为的正方形，中间有一个边长为2的正方形喷水池，草坪乙是长为，宽为的长方形，设两块草坪的面积分别为、．
(1)比较甲、乙两块草坪面积的大小；
(2)求甲、乙两块草坪的面积的比．
【答案】(1)
(2)甲、乙两块草坪的面积的比为
【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式在几何图形中的应用，完全平方公式，分式的化简，根据图形分别表示出甲、乙两图中草坪的面积即可得到答案．
（1）根据题意分别表示出、，然后作差求解即可；
（2）列式根据分式的性质化简即可．
【详解】（1），；
，
，
，
；
（2）．
所以甲、乙两块草坪的面积的比为．
23．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）解方程：
①的解是；
②的解是；
③的解是；
④的解是 ；
（1）请完成上面的填空；
（2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解 ；
（3）请你用一个含正整数 的式子表述上述规律，并写出它的解 ．
【答案】 3 的解是 第n个方程为，其解为
【分析】本题考查分式方程的解以及规律的探索，熟练掌握分式方程的解的求法并观察出方程的解与分子的关系是解题的关键．
（1）由题意把方程两边都乘以把分式方程化为整式方程，然后求解即可；
（2）由题意先观察①②③④中的方程的解；根据前四个方程的规律可得第⑤个方程及其解；
（3）根据题干中各个方程的规律，可写出含正整数n的方程，求解即可．
【详解】解：（1）
去分母得，
去括号得：
移项得：，
合并同类项得：．
检验，当时，，
∴是原方程的解，
故答案为：3；
（2）由题意得，第⑤个方程为，其解为，
故答案为：的解是；
（3）①的解是；
②的解是；
③的解是；
④的解是，
……，
以此类推，可知，第n个方程为，其解为，
故答案为：第n个方程为，其解为．
24．（23-24八年级下·河北张家口·期中）长为的春游队伍，以的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．
(1)求甲这次往返的时间，；（用含的代数式表示）
(2)求甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程．
【答案】(1)，
(2)甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为
【分析】本题考查了列分式及分式运算，读懂题目，列出式子是解题关键．
（1）根据路程速度和时间，列出方程即可求解；
（2）由甲这次往返队伍的过程中队伍行进的时间为，结合路程速度和时间即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，，
∴，；
（2），
．
所以甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为．
25．（21-22八年级上·河北廊坊·期末）小学阶段我们学习了像这样的等式称为2，3，4，6成比例，其中2和6的位置称为外项，3和4的位置称为内项，且有．现在我们学习了分式后不妨找一组都不是0且互不相等的数，使得成立（即成比例）由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，看看它们之间的关系：其中（1）是给同学们的范例，其余三个需要大家验证．
(1)和猜想结果：．
验证：，，，，．
(2)和
(3)和
(4)和
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析；
(4)见解析．
【分析】本题主要考查等式的性质、分式的加减运算等知识点，掌握相关定义和运算法则成为解题的关键．
（1）根据等式的性质即可解答；
（2）根据等式的性质即可解答；
（3）根据等式的性质，给左右两边同时加，然后再除以化简即可解答；
（4）根据等式的性质，给左右两边同时加，得到，从而得到然后再乘以加1化简即可解答．
【详解】（1）证明：和猜想结果：，
验证：，
，
，
，
．
（2）证明：和猜想结果：，
验证：，
，
，
，
．
（3）证明：和猜想结果：，
验证：，
，
，
，
．
（4）证明：和猜想结果：，
验证：，
，
，
，
，
．
26．（21-22七年级下·浙江杭州·期中）观察下列各式：
，
(1)从上面的算式及计算结果，根据你发现的规律直接写下面的空格：________；
(2)用数学的整体思想方法，设，分解因式：，；
(3)已知，a、b、c、d都是正整数，且，化简求的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)，
【分析】（1）根据所给的三个等式归纳规律解答即可；
（2）利用得出的规律，运用平方差公式进行分解因式；
（3）根据（2）中的规律，当m=2时，得出a，b，c，d的值，再进行化简求值．
【详解】（1）解：根据题意，由所给的三个等式，可归纳出：
；
故答案为：；
（2）解：由（1）可知，
∴，
设（），
∴
∵，
∴；
（3）解：由（2）可知，
当时，则
，
∵，
∴，
∵a、b、c、d都是正整数，且a＞b＞c＞d；
∴a=17，b=5，c=3，d=1；
∵
，
当a=17，b=5，c=3，d=1；
∴原式；
【点睛】本题考查了用平方差公式进行因式分解，分式的化简，根据所给的等式归纳出规律是解答本题的关键．
