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第二十二章 二次函数 单元重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2024·安徽芜湖·一模）下列抛物线开口朝上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及由表达式判断抛物线开口方向：当时，抛物线开口方向向上；当时，抛物线开口方向向下；逐项验证即可得到答案，熟记的正负与抛物线开口方向的关系是解决问题的关键．
【详解】解：A、中，抛物线开口方向向上，符合题意；
B、中，抛物线开口方向向下，不符合题意；
C、是一次函数，不是抛物线，不符合题意；
D、中，抛物线开口方向向下，不符合题意；
故选：A．
2．（23-24九年级上·山东潍坊·期中）已知二次函数，当y＝0时，x的值是（ ）
A．2或 B．或6 C．或1 D．或
【答案】B
【分析】此题考查了抛物线与轴的交点，列出关于的方程是解本题的关键．令得到关于的一元二次方程，求出方程的解即可得到的值．
【详解】解：令，得到，
即，
解得：或6．
故选：B
3．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）若 是抛物线 上的两个点，则抛物线的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查求抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴是；
故选A．
4．（2024·陕西西安·二模）若二次函数的图象经过四个象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，掌握，当时开口向上，当时开口向下，对称轴，函数与y轴的交点坐标等知识内容是解题的关键，姚注意分类讨论，先当时或当时，再判断出对称轴的位置以及与y轴的交点坐标的位置，进行分析作答即可．
【详解】解：∵，
∴当时，即时，开口向上，
则对称轴在轴的负半轴，
当时，则，
∵二次函数的图象经过四个象限，
∴，即二次函数与y轴的交点在负半轴，
∴；
∴当时，即时，开口向下，
则对称轴在轴的正半轴，
当时，则，
∵二次函数的图象经过四个象限，
∴，即二次函数与y轴的交点在正半轴，
∴；
综上：二次函数的图象经过四个象限，则的取值范围是或，
故选：D．
5．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的拋物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查抛物线的平移．根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可．
【详解】解：由题意得：，
故选：B．
6．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出90件．市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出15件，已知商品的进价为每件30元，设每件降价元，每星期售出商品的利润为元，则与的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查由实际问题列二次函数关系式．设每件降价元，则每件的利润是元，所售件数是件，根据利润＝每件的利润×所售的件数，即可列出函数解析式．
【详解】解：设每件降价元，每星期售出商品的利润为元，
依题意得，
故选：A．
7．（2024·河南周口·三模）如图，一次函数和二次函数的图象交于点和点B，则的解集是（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系．先求得a和b的值，联立求得点B的坐标，然后观察函数图象即可求解．
【详解】
解：由题意可得和，
解得和，
∴一次函数和二次函数的解析式分别为和，
联立得，解得或，
当时，，
∴，
观察图象可得，当时，一次函数的图象位于二次函数图象的上方，
∴不等式的解集为，
故选：D．
8．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度（单位：m）与小球的运动时间（单位：s）之间的函数关系如图所示，则当时，小球的高度为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题考查了二次函数的应用，用待定系数法求函数解析式是解题的关键．由待定系数法求得函数解析式，再将代入计算，即可求解．
【详解】
解：设函数解析式为，
将代入得：，
解得，
∴函数解析式为，
当时，
，
即小球的高度为
故选：D．
9．（23-24九年级上·山东烟台·期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数和一次函数的图像与性质，解决问题的关键是数形结合．根据图象判断出两个函数的系数的符号，即可求解．
【详解】解：A、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项正确；
B、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项错误；
C、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项错误；
D、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项错误；
故选：A．
10．（2024·青海西宁·二模）如图1，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度相等，连接．设点M运动的路程为，的面积为S，则S与x之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质，二次函数的图象与性质．先根据，求出S与x之间函数关系式，再判断即可得出结论．
【详解】解：由题意得，则，
∴，
，
∴
，
∵，
∴S与x之间的函数图象为开口向上的抛物线的一段，
当时，有最小值，最小值为6，
观察四个选项，选项A符合题意，
故选：A．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（23-24九年级上·甘肃平凉·期中）若函数的图象是抛物线，则m值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的定义：函数（，a、b、c为常数）叫二次函数，根据二次函数的定义得到且，然后解不等式和方程即可得到满足条件的m的值．
【详解】解：∵函数的图象是抛物线，
∴且，
解得：且，
．
故答案为：．
12．（23-24九年级上·广东湛江·期末）已知点，在抛物线上，则 ．（填“”或“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据，且，进而可求解，熟练掌握其性质是解题的关键．
【详解】解：，对称轴为y轴，
∴当时函数值随自变量的增大而增大；
∵，
，
故答案为：．
13．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得到的抛物线为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数图象的几何变化，解题的关键是掌握二次函数图象变化的规律，即可．
【详解】先把抛物线先左平移个单位长度，
∴，
再向下平移个单位长度，
∴，
故答案为：．
14．（23-24九年级上·北京密云·期末）若点，，三点都在二次函数的图象上，则、、的大小关系是 .（按从小到大的顺序，用“”连接）.
【答案】
【分析】本题考查比较二次函数值的大小，开口向下，离对称轴越远的点纵坐标越小，由此可解．
【详解】解：中，
的图象开口向下，对称轴为y轴，
距离y轴越远的点纵坐标越小，
，
，
故答案为：．
15．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）已知二次函数的图象上有三个点 用“”连接的结果是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，先根据解析式得到图象的开口向下，对称轴是直线，再求出关于直线的对称点是，，据此可得答案．
【详解】解∵二次函数解析式为，
∴图象的开口向下，对称轴是直线，
∴在对称轴右边，y随x增大而减小，
∵关于直线的对称点是，
∴，
故答案为：．
16．（23-24九年级上·天津·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，以及数形结合法；根据顶点坐标为，求出．根据题意可得求值即可．
【详解】解：由图象可知：二次函数的顶点坐标为，
∴，即，
∵有两个不相等的实数根，
∴
∵抛物线开口向上
∴
∴
∴．
故答案为．
17．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）如图是二次函数的部分图象，其与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，则当时，的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点．根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当时，x的取值范围．
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
即抛物线与x轴的另一个交点横坐标为，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
由图象可知，当时，x的取值范围是．
故答案为：．
18．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从点C出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF，设点P的运动时间为．正方形DPEF的面积为S，在点P由点B到点A的运动过程中，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，线段AB的长是 ．
【答案】
【分析】在中，，，则，求得的长，用顶点法，设函数解析式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解，
本题考查了求二次函数解析式，解题的关键是：从图中获取信息．
【详解】解：在中，，，则，
当时，，解得：（负值已舍去），
∴，
∴抛物线经过点，
∵抛物线顶点为：，
设抛物线解析式为：，
将代入，得：，解得：，
∴，
当时，，（舍）或，
∴，
故答案为：．
三、解答题（8小题，共64分）
19．（23-24九年级上·陕西延安·阶段练习）若是二次函数，求m的值．
【答案】
【分析】利用二次函数定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数进行解答即可．
【详解】解：由题意可得：，
解得：．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数定义，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
20．（23-24九年级上·广东中山·期中）求抛物线的对称轴和顶点坐标．
【答案】对称轴为直线，顶点坐标为
【分析】本题考查了二次函数的性质，把函数解析式整理成顶点形式，然后写出对称轴和顶点坐标即可．
【详解】解：∵
∴对称轴为直线，顶点坐标为
21．（23-24九年级上·广东广州·期中）二次函数的图象经过点A．
(1)求二次函数的对称轴；
(2)当A为时，求此时二次函数的表达式，并求出顶点坐标．
【答案】(1)直线
(2)，
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
（1）根据二次函数的性质进行解答即可；
（2）用待定系数法求出二次函数解析式，然后求出二次函数的顶点坐标即可．
【详解】（1）解：由题意得：二次函数的对称轴为：
直线．
（2）解：将点代入二次函数得：，
解得：，
二次函数的表达式为：．
上式变形得：，
顶点坐标为：．
22．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数．
(1)求它的图象的顶点坐标和对称轴；
(2)画出它的图象．并结合图象，当时，则y的取值范围是______．
【答案】(1)图象的顶点坐标为，对称轴为直线
(2)图象见解析，
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
（1）解析式化成顶点式，即可得到结论；
（2）画函数图象，应该明确抛物线的顶点坐标，对称轴，与x轴，y轴的交点，再根据图象求当时，y的取值范围．
【详解】（1）解：，
二次函数的图象的，对称轴为直线；
（2）解：二次函数图象如下图：
当时，则y的取值范围是，
故答案为：．
23．（2023九年级·陕西·专题练习）如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC的周长最小，求点P的坐标．
【答案】P(1，－2)．
【分析】根据“将军饮马”问题，将A点沿对称轴对称至B点，连接BC，与对称轴交点即为所求P点，从而结合图形性质求解即可．
【详解】如下左图，点A与点B对称，连结BC，那么在△PBC中，PB＋PC总是大于BC的．
如下右图，当点P落在BC上时，PB＋PC最小，因此PA＋PC最小，△PAC的周长也最小．
由y＝x2－2x－3，令y=0，解得：x=-1或3，
∴A（-1,0），B（3,0），对称轴为直线x=1，
∴可知OB＝OC＝3，OD＝1，∠OBC=45°，
∴DB＝DP＝2，
∴P(1，－2)．
【点睛】本题考查二次函数的对称性以及最短路径问题，理解常见的求最短路径的模型是解题关键．
24．（2024九年级下·江苏·专题练习）已知二次函数的图象与直线的图象如图所示．
(1)判断的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标；
(2)设直线与抛物线的交点分别为A，B，如图所示，试确定A，B两点的坐标；
(3)连接，，求的面积．
【答案】(1)抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为
(2)A点坐标为，B点坐标为
(3)3
【分析】本题主要考查二次函数的性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标与二次函数解析式的关系是解答本题的关键．
（1）根据二次函数的性质求解即可；
（2）联立二次函数和一次函数解析式求解即可；
（3）首先得到与y轴交点的坐标为，进而求解即可．
【详解】（1）抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为；
（2）由题意得，即，
解得或，
则或，
∴A点坐标为，B点坐标为；
（3）∵与y轴交点的坐标为，
∴的面积．
25．（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，点在轴上，点在轴上，抛物线经过点，．
(1)根据图象，直接写出不等式的解集．
(2)若对称轴上有一点，当最小时，则点的坐标是 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是二次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特点、二次函数与一次函数的交点问题等知识，解题的关键是数形结合．
（1）根据直线方程得到点的坐标，再根据图象不等式的解集即为二次函数在一次函数上方时对应的自变量取值范围；
（2）根据待定系数法求出抛物线解析式，即可求出抛物线对称轴，根据二次函数对称性可得点C关于对称轴的对称点是点A，连接，则，得出当点三点共线时，最小，最小值为，点P位于对称轴与直线交点，即可求解；
【详解】（1）解：当时，，解得，
当时，，
则点，
根据图象得，不等式的解集为；
（2）解：把，分别代入得，
解得．
∴该抛物线的解析式为；
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
如图，根据二次函数对称性可得点C关于对称轴的对称点是点A，连接，
则，
当点三点共线时，最小，最小值为，点P位于对称轴与直线交点，
∴．
26．（2024·甘肃兰州·三模）在奥运会上，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优秀成绩的取得离不开艰辛的训练，某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳板距水面的高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系．
(1)当时，求这条抛物线的解析式；
(2)当时，求运动员落水点与点C的距离．
【答案】(1)
(2)5
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
（1）根据抛物线顶点坐标，可设抛物线解析式为，将点代入可得a，即可解得．
（2）令，代入，得：，求出x的值，即可求解．
【详解】（1）根据题意，可得抛物线顶点坐标，
设抛物线解析为：，
则，
解得：，
故抛物线解析式为：；
（2）令，代入，得：，
解得：，（舍去）
∴运动员落水点与点C的距离为5中小学教育资源及组卷应用平台
第二十二章 二次函数 单元重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2024·安徽芜湖·一模）下列抛物线开口朝上的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·山东潍坊·期中）已知二次函数，当y＝0时，x的值是（ ）
A．2或 B．或6 C．或1 D．或
3．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）若 是抛物线 上的两个点，则抛物线的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陕西西安·二模）若二次函数的图象经过四个象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
5．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的拋物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出90件．市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出15件，已知商品的进价为每件30元，设每件降价元，每星期售出商品的利润为元，则与的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·河南周口·三模）如图，一次函数和二次函数的图象交于点和点B，则的解集是（ ）
A． B．或
C． D．
8．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度（单位：m）与小球的运动时间（单位：s）之间的函数关系如图所示，则当时，小球的高度为 （ ）
A． B． C． D．
9．（23-24九年级上·山东烟台·期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·青海西宁·二模）如图1，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度相等，连接．设点M运动的路程为，的面积为S，则S与x之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（23-24九年级上·甘肃平凉·期中）若函数的图象是抛物线，则m值为 ．
12．（23-24九年级上·广东湛江·期末）已知点，在抛物线上，则 ．（填“”或“”或“”）
13．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得到的抛物线为 ．
14．（23-24九年级上·北京密云·期末）若点，，三点都在二次函数的图象上，则、、的大小关系是 .（按从小到大的顺序，用“”连接）.
15．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）已知二次函数的图象上有三个点 用“”连接的结果是 ．
16．（23-24九年级上·天津·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
17．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）如图是二次函数的部分图象，其与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，则当时，的取值范围是 ．
18．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从点C出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF，设点P的运动时间为．正方形DPEF的面积为S，在点P由点B到点A的运动过程中，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，线段AB的长是 ．
三、解答题（8小题，共64分）
19．（23-24九年级上·陕西延安·阶段练习）若是二次函数，求m的值．
20．（23-24九年级上·广东中山·期中）求抛物线的对称轴和顶点坐标．
21．（23-24九年级上·广东广州·期中）二次函数的图象经过点A．
(1)求二次函数的对称轴；
(2)当A为时，求此时二次函数的表达式，并求出顶点坐标．
22．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数．
(1)求它的图象的顶点坐标和对称轴；
(2)画出它的图象．并结合图象，当时，则y的取值范围是______．
23．（2023九年级·陕西·专题练习）如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC的周长最小，求点P的坐标．
24．（2024九年级下·江苏·专题练习）已知二次函数的图象与直线的图象如图所示．
(1)判断的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标；
(2)设直线与抛物线的交点分别为A，B，如图所示，试确定A，B两点的坐标；
(3)连接，，求的面积．
25．（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，点在轴上，点在轴上，抛物线经过点，．
(1)根据图象，直接写出不等式的解集．
(2)若对称轴上有一点，当最小时，则点的坐标是 ．
26．（2024·甘肃兰州·三模）在奥运会上，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优秀成绩的取得离不开艰辛的训练，某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳板距水面的高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系．
(1)当时，求这条抛物线的解析式；
(2)当时，求运动员落水点与点C的距离．
