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第01章 全等三角形 章节练习
知识点合集
知识点1．全等图形
（1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
知识点2．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
知识点3．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
知识点4．直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
知识点5．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
知识点6．全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
试题练习
全等图形
1．（2023秋 徐州校级月考）下列各组给出的两个图形中，全等的是
A． B．
C． D．
【分析】根据全等图形的概念判断即可．
【解答】解：、本选项中的两个图形，不属于全等图形，不符合题意；
、本选项中的两个图形，不属于全等图形，不符合题意；
、本选项中的两个图形，不属于全等图形，不符合题意；
、本选项中的两个图形，属于全等图形，符合题意；
故选：．
【点评】本题考查的是全等图形的认识，掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形是解题的关键．
2．（2023秋 阜宁县期中）如图，在的正方形网格中标出了、和，则 ．
【分析】根据图形判断出、是全等直角三角形的两个互余的锐角，为等腰直角三角形的锐角，然后求解即可．
【解答】解：如图，在和中，
，
，
，
在中，，
，
由图可知，是等腰直角三角形，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了全等图形，等腰直角三角形的性质，准确识图判断出全等三角形是解题的关键．
3．（2022秋 灌南县校级月考）如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ．
【分析】如图，根据题意得，，，，先判断为等腰直角三角形得到，再证明得到，则，从而求出的度数．
【解答】解：如图，
根据题意得，，，，
为等腰直角三角形，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
【点评】本题考查了全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．也考查了正方形的性质．
4．（2023秋 滨海县期中）下列汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是
A． B．
C． D．
【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等图形对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：、组成图形的四个圆形全等，故本选项不符合题意；
、组成图形的三个图形不全等，故本选项符合题意；
、组成图形的两个图形全等，故本选项不符合题意；
、组成图形的三个图形全等，故本选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．
5．（2023秋 灌云县校级月考）沿图中的虚线画线，把下面的图形划分为两个全等的图形（用二种不同方法）．
【分析】利用全等图形的定义把图形按要求分割成两部分．
【解答】解：如图，
【点评】本题考查了全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．
6．你能把如图所示的（a）长方形分成2个全等图形？把如图所示的（b）能分成3个全等三角形吗？把如图所示的（c）分成4个全等三角形吗？
【分析】根据长方形的性质以及全等图形的概念，作出一条对角线即可分成两个全等三角形；根据等边三角形的轴对称性，中心与三个顶点的连线将三角形分成三个全等三角形；先将长方形分成两个全等长方形，再分别作出一条对角线即可分成四个全等三角形．
【解答】解：如图所示．
【点评】本题考查了全等图形的概念，长方形的性质以及等边三角形的性质，熟练掌握各图形的性质以及全等图形的概念是解题的关键．
二．全等三角形的性质
7．（2023秋 大丰区校级月考）如图的两个三角形全等，则的度数为
A． B． C． D．
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：如图，
，
两个三角形全等，
，
故选：．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
8．（2023秋 镇江期末）如图，，点在线段上，，则的度数为
A． B． C． D．
【分析】由全等三角形的性质推出，，得到，，由三角形内角和定理求出，即可得到．
【解答】解：，
，，
，，
，
．
故选：．
【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是由，推出，，得到，．
9．（2023秋 泗阳县期末）一个三角形的三边为3、5、，另一个三角形的三边为、3、6，若这两个三角形全等，则 11 ．
【分析】直接利用全等三角形的性质得出，的值进而得出答案．
【解答】解：一个三角形的三边为3、5、，另一个三角形的三边为、3、6，这两个三角形全等，
，，
则．
故答案为：11．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出，的值是解题关键．
10．（2022秋 镇江期末）如图，，，，，则 50 ．
【分析】根据全等三角形的性质得出，进而利用三角形内角和定理得出，进而解答即可．
【解答】解：，，，
，
，
，
故答案为：50．
【点评】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角相等解答．
11．（2023秋 宿豫区期末）如图，在与△中，点、分别在、上，且△，．求证：．
【分析】先根据全等三角形的性质得到，，然后利用“”可判断△，然后根据全等三角形的性质得到结论．
【解答】证明：△，
，，
在和△中，
，
△，
．
【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．也考查了全等三角形的判定．
12．（2022秋 句容市期末）如图，已知，点在上，与相交于点．
（1）当，时，求线段的长；
（2）已知，，求与的度数．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，得到答案；
（2）根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，计算即可．
【解答】解：（1），，，
，，
；
（2），，，
，，，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
三．全等三角形的判定
13．（2021秋 邗江区校级月考）根据下列图中所给定的条件，找出全等的三角形
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④
【分析】根据即可判断求解．
【解答】解：根据题意得，．
故选：．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14．（2021秋 鼓楼区校级月考）如图，已知，，请你添加一个条件（一个即可） 或或或 ，使．
【分析】根据全等三角形的判定方法添加条件．
【解答】解：，，
当添加，可根据“”判定；
当添加，可根据“”判定；
当添加或，可根据“”判定．
故答案为：或或或．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
15．（2023秋 镇江期末）如图，与相交于点，，添加一个条件 （答案不唯一） ，使得．（填一个即可）
【分析】根据全等三角形的判定定理解答即可．
【解答】解：添加的条件可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
16．（2021秋 玄武区期中）如图，若，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是
A． B． C． D．
【分析】根据即可判断；根据即可判断；根据两三角形不一定全等即可判断；根据即可判断．
【解答】解：、根据，，能推出，正确，故本选项错误；
、根据，，能推出，正确，故本选项错误；
、两边和一角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项正确；
、根据，，能推出，正确，故本选项错误；
故选：．
【点评】本题考查了对全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定方法只有，，，，共4种，主要培养学生的辨析能力．
17．（2022秋 东台市校级月考）已知：如图，点、、、在同一直线上，点和点分别在直线的两侧，且，，．
求证：．
【分析】求出，根据推出两三角形全等即可．
【解答】证明：，
，
，
在和中，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，能正确运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，直角三角形全等还有定理．
18．（2023秋 泗阳县期末）已知：如图，点、在上，且，，．
求证：．
【分析】有平行线的性质，可得，再根据可证明出结论．
【解答】证明：，
．
在和中，
，
．
【点评】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
四．直角三角形全等的判定
19．（2023秋 新北区校级月考）如（1）图，由已知，，，可证得，若将沿方向平移到图（2）（3）（4）（5）的情形，其余条件不变，则这四种情况下，结论仍然成立的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由题中条件可得出，所以，而在后面的几种情况中，只要满足两个角之和为即可．
【解答】解：由题意可得，，，
而（2），（3），（4），（5）均满足
（2），（3），（4），（5）均成立
故选：．
【点评】熟练掌握直角三角形的判定．
20．（2023秋 泗阳县期中）下列说法中，正确的是
A．周长相等的两个直角三角形全等
B．周长相等的两个钝角三角形全等
C．周长相等的两个等腰三角形全等
D．周长相等的两个等边三角形全等
【分析】根据全等三角形的判定方法即可确定．
【解答】解：周长相等的两个直角三角形不一定全等，
故选项不符合题意；
周长相等的两个钝角三角形不一定全等，
故选项不符合题意；
周长相等的两个等腰三角形不一定全等，
故选项不符合题意；
周长相等的两个等边三角形，三边对应相等，
根据可证这两个等边三角形全等，
故选项符合题意，
故选：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
21．（2023秋 启东市校级月考）如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动 2，6，8 秒时，与全等．
【分析】此题要分两种情况：①当在线段上时，②当在上，再分别分成两种情况，进行计算即可．
【解答】解：①当在线段上，时，，
，
，
，
点的运动时间为（秒；
②当在上，时，
，
，
，
点的运动时间为（秒；
④当在上，时，，
，
点的运动时间为（秒，
故答案为：2，6，8．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
22．（2023秋 栖霞区校级月考）如图，于点，于点，．若要用“”判定，则需要添加的条件为 ．
【分析】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案．
【解答】解：添加的条件为，
，
，
于点，于点，
，
在和中，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查直角三角形的判定，关键是掌握直角三角形的判定方法：“”．
23．（2023秋 栖霞区校级月考）如图，已知，、在线段上，与交于点，且，．求证：．
【分析】由于与是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．
【解答】证明：，
，即，
，
与都为直角三角形，
在和中，，
．
【点评】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由通过等量代换得到．
24．（2023秋 南京月考）求证：有一条直角边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．
【分析】根据已知条件先求证△得出，再利用即可证明△．
【解答】解：已知：如图，在和△中，，
于，于，，，
求证：△．
证明：于，于，
在与△中，
，
△，
．
在和△中，
，
△．
【点评】此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，证明此题的关键是先证△，利用，然后利用即可证明△．
五．全等三角形的判定与性质
25．（2022秋 沭阳县月考）工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的道理是
A． B． C． D．
【分析】由三边相等得，即由判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．
【解答】解：由图可知，，
在和中，
，
，
，
即即是的平分线．
故选：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．
26．（2021秋 连云港期中）如图，点在上，于点，交于点，，．若，则 ．
【分析】由图示知：，则．通过全等三角形△的对应角相等推知．
【解答】解：如图，，，
．
又，，
，
在与△中，
，
△，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
27．（2023 工业园区校级模拟）如图，点、在线段上，且，，，连接、、、，求证．
【分析】根据平行线的性质得到，结合题意利用证明，根据全等三角形的性质即可得解．
【解答】证明：，
，
即，
，
，
在和中，
，
，
，
即．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明是解题的关键．
28．（2022秋 宜兴市月考）如图，正五边形中，为边中点，连接，则的度数是
A． B． C． D．
【分析】连接，，正五边形中，得到，，证得，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，即可得到结论．
【解答】解：如图，连接，，
正五边形中，
，，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，正五边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
29．（2023秋 淮安区期中）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 2或5 时，．
【分析】先证明，得出，①当点在射线上移动时，，即可求出移动了；②当点在射线上移动时，，即可求出移动了．
【解答】解：，
，
为边上的高，
，
，
，
，
，
过点作的垂线交直线于点，
，
在和中，
，
，
，
①如图，当点在射线上移动时，，
点从点出发，在直线上以的速度移动，
移动了：；
②当点在射线上移动时，，
点从点出发，在直线上以的速度移动，
移动了：；
综上所述，当点在射线上移动或时，；
故答案为：2或5．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键．
30．（2024春 昆山市校级月考）如图所示，、是高，点在的延长线上，，点在上，．
（1）判断： （用“”、“ ”、“ ”填空）；
（2）探究：与之间的关系；
（3）若把（1）中的改为钝角三角形，，是钝角，其他条件不变，试探究与之间的关系，请画出图形并直接写出结论．
【分析】（1）根据垂直的定义和三角形的内角和定理即可得到答案；
（2）由条件可得出，可证得，可得结论；
（3）根据题意画出图形，结合（1）可证得，可得结论．
【解答】解：（1）设、交于，
、是高，
，
，
，，
；
故答案为：；
（2）结论：，，
证明：、是的高，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
而，
，
即，
；
即，；
（3）上述结论成立，理由如下：
如图所示：
、是的高，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即，．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
六．全等三角形的应用
31．（2023秋 射阳县期末）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 4 块．
【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证即可得到结论．
【解答】解：1、2、3块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第4块有完整的两角及夹边，符合，满足三角形全等的条件，是符合题意的，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定，解决问题的关键的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法：、、、、．
32．（2023秋 栖霞区校级月考）现有一块如图所示的草地，经测量，，米，米，米，点是边的中点．小狗汪汪从点出发以2米秒的速度沿向点运动，同时小狗妞妞从点出发沿向点运动．当妞妞的速度为 2或 米秒时，能够在某一时刻使与全等．
【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到妞妞的运动速度．
【解答】解：设汪汪运动的时间为秒，则，，
，
①当，时，与全等，
此时，，
解得，
，
此时，妞妞的运动速度为（米秒）；
②当，时，与全等，
此时，，
解得，
妞妞的运动速度为（米秒）；
故答案为：2或．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
33．（2023秋 秦淮区校级月考）生活中的数学：
（1）启迪中学计划为现初一学生暑期军训配备如图1所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是 三角形具有稳定性 ．
（2）图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明的理由．
【分析】（1）利用三角形的性质进行解答；
（2）利用定理判定，再利用全等三角形的性质可得答案．
【解答】（1）解：这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性；
（2）证明：是和的中点，
，，
在和中，
，
，
．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，以及三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定方法和性质定理．
34．（2023秋 江都区月考）如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，小明在池塘外取的垂线上的点，，使，再画出的垂线，使与，在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是
A． B． C． D．
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【解答】解：因为证明在用到的条件是：，，，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即这一方法．
故选：．
【点评】此题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，做题时注意选择．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
35．（2023秋 姜堰区期末）如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽．卡钳由两根钢条、组成，为、的中点．只要量出的长度，由三角形全等就可以知道工件内槽的长度．那么判定△的理由是
A． B． C． D．
【分析】根据证明△即可；
【解答】解：是，的中点，
，，
又与是对顶角，
，
在和△中，
，
△，
，
只要量出的长度，就可以知道工作的内径是否符合标准，
判定△的理由是．
故选：．
【点评】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．
36．（2022秋 灌南县校级月考）如图，两根旗杆相距，某人从点沿走向点，一段时间后他到达点，此时他仰望旗杆的顶点和，两次视线的夹角为，且，已知旗杆的高为，该人的运动速度为，求：这个人从点到点运动了多长时间？
【分析】根据，利用互余关系可以得出：，证明三角形全等的另外两个条件容易看出．利用全等的性质可求得，从而求得运动时间．
【解答】解：，
，
又
，
，
在和中，
，
，
，
他到达点时，运动时间为．
答：这个人从点到点运动了．
【点评】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是利用互余关系找三角形全等的条件，对应角相等，并巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．本题的关键是求得．中小学教育资源及组卷应用平台
第01章 全等三角形 章节练习
知识点合集
知识点1．全等图形
（1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
知识点2．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
知识点3．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
知识点4．直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
知识点5．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
知识点6．全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
试题练习
全等图形
1．（2023秋 徐州校级月考）下列各组给出的两个图形中，全等的是
A． B．
C． D．
2．（2023秋 阜宁县期中）如图，在的正方形网格中标出了、和，则 ．
3．（2022秋 灌南县校级月考）如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ．
4．（2023秋 滨海县期中）下列汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是
A． B．
C． D．
5．（2023秋 灌云县校级月考）沿图中的虚线画线，把下面的图形划分为两个全等的图形（用二种不同方法）．
6．你能把如图所示的（a）长方形分成2个全等图形？把如图所示的（b）能分成3个全等三角形吗？把如图所示的（c）分成4个全等三角形吗？
二．全等三角形的性质
7．（2023秋 大丰区校级月考）如图的两个三角形全等，则的度数为
A． B． C． D．
8．（2023秋 镇江期末）如图，，点在线段上，，则的度数为
A． B． C． D．
9．（2023秋 泗阳县期末）一个三角形的三边为3、5、，另一个三角形的三边为、3、6，若这两个三角形全等，则 ．
10．（2022秋 镇江期末）如图，，，，，则 ．
11．（2023秋 宿豫区期末）如图，在与△中，点、分别在、上，且△，．求证：．
12．（2022秋 句容市期末）如图，已知，点在上，与相交于点．
（1）当，时，求线段的长；
（2）已知，，求与的度数．
三．全等三角形的判定
13．（2021秋 邗江区校级月考）根据下列图中所给定的条件，找出全等的三角形
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④
14．（2021秋 鼓楼区校级月考）如图，已知，，请你添加一个条件（一个即可） ，使．
15．（2023秋 镇江期末）如图，与相交于点，，添加一个条件 ，使得．（填一个即可）
16．（2021秋 玄武区期中）如图，若，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是
A． B． C． D．
17．（2022秋 东台市校级月考）已知：如图，点、、、在同一直线上，点和点分别在直线的两侧，且，，．
求证：．
18．（2023秋 泗阳县期末）已知：如图，点、在上，且，，．
求证：．
四．直角三角形全等的判定
19．（2023秋 新北区校级月考）如（1）图，由已知，，，可证得，若将沿方向平移到图（2）（3）（4）（5）的情形，其余条件不变，则这四种情况下，结论仍然成立的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．（2023秋 泗阳县期中）下列说法中，正确的是
A．周长相等的两个直角三角形全等
B．周长相等的两个钝角三角形全等
C．周长相等的两个等腰三角形全等
D．周长相等的两个等边三角形全等
21．（2023秋 启东市校级月考）如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动 秒时，与全等．
22．（2023秋 栖霞区校级月考）如图，于点，于点，．若要用“”判定，则需要添加的条件为 ．
23．（2023秋 栖霞区校级月考）如图，已知，、在线段上，与交于点，且，．求证：．
24．（2023秋 南京月考）求证：有一条直角边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．
五．全等三角形的判定与性质
25．（2022秋 沭阳县月考）工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的道理是
A． B． C． D．
26．（2021秋 连云港期中）如图，点在上，于点，交于点，，．若，则 ．
27．（2023 工业园区校级模拟）如图，点、在线段上，且，，，连接、、、，求证．
28．（2022秋 宜兴市月考）如图，正五边形中，为边中点，连接，则的度数是
A． B． C． D．
29．（2023秋 淮安区期中）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动
时，．
30．（2024春 昆山市校级月考）如图所示，、是高，点在的延长线上，，点在上，．
（1）判断： （用“”、“ ”、“ ”填空）；
（2）探究：与之间的关系；
（3）若把（1）中的改为钝角三角形，，是钝角，其他条件不变，试探究与之间的关系，请画出图形并直接写出结论．
六．全等三角形的应用
31．（2023秋 射阳县期末）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 块．
32．（2023秋 栖霞区校级月考）现有一块如图所示的草地，经测量，，米，米，米，点是边的中点．小狗汪汪从点出发以2米秒的速度沿向点运动，同时小狗妞妞从点出发沿向点运动．当妞妞的速度为 米秒时，能够在某一时刻使与全等．
33．（2023秋 秦淮区校级月考）生活中的数学：
（1）启迪中学计划为现初一学生暑期军训配备如图1所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是 ．
（2）图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明的理由．
34．（2023秋 江都区月考）如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，小明在池塘外取的垂线上的点，，使，再画出的垂线，使与，在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是
A． B． C． D．
35．（2023秋 姜堰区期末）如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽．卡钳由两根钢条、组成，为、的中点．只要量出的长度，由三角形全等就可以知道工件内槽的长度．那么判定△的理由是
A． B． C． D．
36．（2022秋 灌南县校级月考）如图，两根旗杆相距，某人从点沿走向点，一段时间后他到达点，此时他仰望旗杆的顶点和，两次视线的夹角为，且，已知旗杆的高为，该人的运动速度为，求：这个人从点到点运动了多长时间？
