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第01章 一元二次方程 章节练习
知识点合集
知识点1．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
知识点2．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
知识点3．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
知识点4．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
知识点5．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
知识点6．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
知识点7．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
知识点8．换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
知识点9．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
知识点10．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
知识点11．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
知识点12．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
知识点13．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
知识点14．高次方程
（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．
（2）高次方程的解法思想：
通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．
知识点15．无理方程
（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程． （3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程． 解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等． （4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
知识点16．一元二次方程的整数根与有理根
对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的实数根问题，可以用根的判别式△＝b2﹣4ac来判别，但对于它的有理根、整数根情况就没有统一的方法来判别，常用到的方法有：（1）直接求解，（2）根的判别式法，（3）根与系效的关系，（4）巧设主元，（5）构造函数等方法，另对公式x1x2+x1+x2的恒等变形也是解决整数根常用到的一种变形技巧，整除理论在求整数根中占据十分重要的地位，务必熟练掌握，灵活运用．
试题练习
一．一元二次方程的定义
1．（2023秋 邗江区校级期末）下列方程中，是关于的一元二次方程的是
A． B． C． D．
2．（2023秋 宜兴市校级月考）若关于的方程：是一元二次方程，则的取值范围是 ．
3．（2022秋 合江县期中）若关于的方程是一元二次方程，求不等式：的解集．
二．一元二次方程的一般形式
4．（2023秋 工业园区校级月考）将方程化成一元二次方程的一般形式，得 ．
5．（2021秋 淮安区期中）若关于的一元二次方程的常数项为0．求的值．
6．（2023秋 宿迁期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是
A．3，1， B．3，2，1 C．3，， D．3，2，
三．一元二次方程的解
7．（2023秋 姑苏区校级期中）如果是一元二次方程的根，则代数式的值为
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
8．（2024 常州二模）已知为方程的一个根，则代数式的值是 ．
9．（2023 广陵区一模）先化简再求值：，其中是方程的一个根．
四．解一元二次方程-直接开平方法
10．（2023秋 淮安期末）一元二次方程的根为
A．3 B． C．3或 D．0
11．（2023秋 姑苏区校级月考）解方程：
（1）；
（2）．
五．解一元二次方程-配方
12．（2024春 海门区校级月考）一元二次方程配方可变形为 ．
13．（2024春 宜兴市期末）解方程：
（1）；
（2）．
六．解一元二次方程-公式法
14．（2023秋 工业园区校级期中）对于两个不相等的实数、，我们规定符号，表示、中的较大值，如：，，按照这个规定，方程，的解为 ．
15．（2023秋 句容市期中）若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是
A． B． C． D．
七．解一元二次方程-因式分解法
16．（2024 常州模拟）一元二次方程的解是 ．
17．（2023秋 宿城区月考）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是
A． B．13 C．11或8 D．11和13
八．换元法解一元二次方程
18．（2022秋 宜兴市月考）已知，则的值为
A．12 B．4 C． D．12或
19．（2022秋 玄武区校级月考）已知、实数且满足，则的值为 ．
九．根的判别式
20．（2024 新沂市模拟）如果关于的方程有两个实数根，那么的取值范围是 ．
21．（2024春 姑苏区校级期末）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．
（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由．
一十．根与系数的关系
22．（2023秋 江阴市校级月考）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求的取值范围；
（2）若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值．
23．（2024 鼓楼区校级模拟）若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是
A． B． C． D．
24．（2024 姜堰区一模）关于的一元二次方程的两根之和为 ．
一十一．由实际问题抽象出一元二次方程
25．（2021秋 东台市月考）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作，则方程可以列为
A． B．
C． D．
26．（2024 海门区校级模拟）某商品进价为25元，当每件售价为50元时，每天能售出100件，经市场调查发现，每件售价每降低1元，则每天可多售出5件，店里每天的利润要达到1500元．若设店主把该商品每件售价降低元，求解可列方程为 ．
27．（2020秋 天宁区校级期中）在一幅长，宽的风景画四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图．如果要求风景画的面积是整个挂图面积的，那么金边的宽应是多少？（只需列方程）
一十二．一元二次方程的应用
28．（2024春 启东市期末）据统计，目前某市基站的数量约1.5万座，计划到2024年底，全市基站数是目前的4倍，到2026年底，全市基站数最终将达到17.34万座．则2024年底到2026年底，全市基站数量的年平均增长率为
A． B． C． D．
29．（2022秋 海安市月考）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 小分支．
30．（2024春 连云港期中）某网店销售台灯，成本为每盏30元．销售大数据分析表明：当每盏台灯售价为40元时，平均每月售出600盏，若售价每下降1元，其月销售量就增加200盏．为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210盏台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每盏台灯的售价．
一十三．配方法的应用
31．（2023 仪征市二模）设实数、、满足，则代数式的最大值是
A．6 B．8 C．10 D．12
32．（2023秋 沛县月考）阅读下列材料：
，我们把形如“”或“”的多项式叫做完全平方式，因为是一个数的平方，具有非负性，我们常利用这一性质解决问题，这种解决问题的思路方法叫做配方法．例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2，根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
（1）有最小值 ．
（2）当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
（3）已知，，为的三边，且满足，试判断此三角形的形状．
一十四．高次方程
33．（南京一模）下列与方程的根最接近的数是
A．1 B．2 C．3 D．4
34．（2022 南京）方程的解是 ．
【分析】把原方程的左边进行因式分解，求出方程的解．
【解答】解：
，
，，
故答案为：，．
【点评】本题考查的是高次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
35．（2022 鼓楼区校级自主招生）解方程组．
一十五．无理方程（共3小题）
36．（泰兴市校级月考）下列关于的方程中，有实数根的是
A． B． C． D．．
37．（2021 江阴市校级模拟）关于、的方程组有 组解．
38．（2024 秦淮区校级模拟）解方程：（1）；
（2）方程的解为 ．
一十六．一元二次方程的整数根与有理根（共2小题）
39．（2021 苏州自主招生）（1）计算：；
（2）已知关于的方程．若方程的两个实数根都是整数，求整数的值．
40．（2023秋 沭阳县月考）若方程的两个实数根都是整数，则整数值为 ．中小学教育资源及组卷应用平台
第01章 一元二次方程 章节练习
知识点合集
知识点1．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
知识点2．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
知识点3．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
知识点4．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
知识点5．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
知识点6．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
知识点7．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
知识点8．换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
知识点9．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
知识点10．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
知识点11．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
知识点12．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
知识点13．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
知识点14．高次方程
（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．
（2）高次方程的解法思想：
通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．
知识点15．无理方程
（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程． （3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程． 解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等． （4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
知识点16．一元二次方程的整数根与有理根
对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的实数根问题，可以用根的判别式△＝b2﹣4ac来判别，但对于它的有理根、整数根情况就没有统一的方法来判别，常用到的方法有：（1）直接求解，（2）根的判别式法，（3）根与系效的关系，（4）巧设主元，（5）构造函数等方法，另对公式x1x2+x1+x2的恒等变形也是解决整数根常用到的一种变形技巧，整除理论在求整数根中占据十分重要的地位，务必熟练掌握，灵活运用．
试题练习
一．一元二次方程的定义
1．（2023秋 邗江区校级期末）下列方程中，是关于的一元二次方程的是
A． B． C． D．
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：选项：该方程是关于的一元一次方程，不符合题意；
选项：该方程中含有2个未知数，不是关于的一元二次方程，不符合题意；
选项：该方程是分式方程，不符合题意；
选项：该方程符合一元二次方程的定义，符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义理解，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．（2023秋 宜兴市校级月考）若关于的方程：是一元二次方程，则的取值范围是 ．
【分析】方程可整理为，再根据一元二次方程定义直接列式即可得到答案．
【解答】解：，
，
是关于的一元二次方程，
，
则，
故答案为：．
【点评】本题考查根据一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义：是解决问题的关键．
3．（2022秋 合江县期中）若关于的方程是一元二次方程，求不等式：的解集．
【分析】先根据一元二次方程的定义求得的值，进而代入不等式中求解即可．
【解答】解：是一元二次方程，
，，
解得，，
，
原不等式变为，
，
．
【点评】考查一元二次方程的概念及解一元一次不等式，用到的知识点为：一元二次方程的未知数的最高指数为2，系数不等于0；不等式两边都除以一个负数，不等号的方向改变．
二．一元二次方程的一般形式
4．（2023秋 工业园区校级月考）将方程化成一元二次方程的一般形式，得 ．
【分析】把方程经过整理成的形式即可．
【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
5．（2021秋 淮安区期中）若关于的一元二次方程的常数项为0．求的值．
【分析】一元二次方程的一般形式是，，是常数且，、、分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【解答】解：由题意，得：
，且，
解得．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
6．（2023秋 宿迁期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是
A．3，1， B．3，2，1 C．3，， D．3，2，
【分析】根据一元二次方程的一般形式是：，，是常数且，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项可得答案．
【解答】解：变形为：，
的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，，，
故选：．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握一般式：，，是常数且特别要注意的条件．
三．一元二次方程的解
7．（2023秋 姑苏区校级期中）如果是一元二次方程的根，则代数式的值为
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【分析】根据一元二次方程的解的意义可得，从而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答．
【解答】解：是一元二次方程的根，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
8．（2024 常州二模）已知为方程的一个根，则代数式的值是 ．
【分析】根据题意可得，整体代入代数式求值即可．
【解答】解：为方程的一个根，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握解一元二次方程解的定义是解决问题的关键．
9．（2023 广陵区一模）先化简再求值：，其中是方程的一个根．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再求解方程并结合分式有意义的条件将适合的的值代入计算即可．
【解答】解：原式，
解得：
，（使分式无意义，舍去），
当时，原式．
【点评】本题主要考查分式的化简求值和一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则和一元二次方程的解法．
四．解一元二次方程-直接开平方法
10．（2023秋 淮安期末）一元二次方程的根为
A．3 B． C．3或 D．0
【分析】这个式子先移项，变成，从而把问题转化为求9的平方根．
【解答】解：移项得，．故选．
【点评】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；，同号且；；，同号且．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
11．（2023秋 姑苏区校级月考）解方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接开平方法即可解决问题．
（2）先化分式方程为整式方程，注意最后检验即可．
【解答】解：（1），
，
则或，
所以，．
（2）两边都乘得，
，
即，
解得，，
当时，；
当时，，
所以是原方程的增根，故舍去，
所以原方程的解为．
【点评】本题考查解一元二次方程和解分式方程，熟知一元二次方程和分式方程的解法即分式方程需要检验是解题的关键．
五．解一元二次方程-配方
12．（2024春 海门区校级月考）一元二次方程配方可变形为 ．
【分析】先把常数项移到方程右侧，然后把方程两边加上9即可．
【解答】解：，
，
，
．
故答案为．
【点评】本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
13．（2024春 宜兴市期末）解方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据配方法解方程即可；
（2）将方程化为整式方程，进行求解，最后检验是否为增根即可．
【解答】解：（1）；
，
，
，
，
，
，；
（2），
，
，
，
，
经检验，是增根，原分式方程无解．
【点评】本题考查了分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思路是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要验根．
六．解一元二次方程-公式法
14．（2023秋 工业园区校级期中）对于两个不相等的实数、，我们规定符号，表示、中的较大值，如：，，按照这个规定，方程，的解为 或 ．
【分析】分类讨论的范围，利用题中的新定义，列出方程，解方程即可．
【解答】解：当时，方程为：，
即，
解得：（舍去），；
此时，
当时，方程为：，
解得：（舍去），，
．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，新定义实数运算，解题的关键是理解题意，列出方程求解．
15．（2023秋 句容市期中）若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是
A． B． C． D．
【分析】由是某个一元二次方程的根知此一元二次方程二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：是某个一元二次方程的根，
此一元二次方程二次项系数，一次项系数，常数项，
这个一元二次方程可以是，
故选：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程—公式法，解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式．
七．解一元二次方程-因式分解法
16．（2024 常州模拟）一元二次方程的解是 ， ．
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：，
，
或，
，，
故答案为：，．
【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法，解决本题的关键是掌握用因式分解法解一元二次方程的步骤．
17．（2023秋 宿城区月考）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是
A． B．13 C．11或8 D．11和13
【分析】先用因式分解求出方程的两个根，再根据三角形三边的关系确定三角形第三边的长，计算出三角形的周长．
【解答】解：，
，
或，
，．
因为三角形两边的长分别为3和6，所以第三边的长必须大于3，
故周长．
故选：．
【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，先求出方程的根，再根据三角形三边的关系确定第三边的长，然后求出三角形的周长．
八．换元法解一元二次方程
18．（2022秋 宜兴市月考）已知，则的值为
A．12 B．4 C． D．12或
【分析】设，则原方程化为：，解出的值即可确定的值．
【解答】解：设，
则原方程化为：，
解得（不符合题意，舍去）或，
，
故选：．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键．
19．（2022秋 玄武区校级月考）已知、实数且满足，则的值为 4 ．
【分析】设．由原方程得到求得的值即可．
【解答】解：设．由原方程得到．
整理，得．
所以或（舍去）．
即的值为4．
故答案为：4．
【点评】考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
九．根的判别式
20．（2024 新沂市模拟）如果关于的方程有两个实数根，那么的取值范围是 ．
【分析】若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△，建立关于的不等式，求出的取值范围．
【解答】解：方程有两个实数根，
△，
解得：．
故答案为：．
【点评】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△方程有两个不相等的实数根；
（2）△方程有两个相等的实数根；
（3）△方程没有实数根．
21．（2024春 姑苏区校级期末）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．
（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据方程解的定义把代入方程得到，整理得，即，于是根据等腰三角形的判定即可得到是等腰三角形；
（2）根据判别式的意义得到△，整理得，然后根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形．
【解答】解：（1）是等腰三角形．理由如下：
是方程的根，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）是直角三角形．理由如下：
方程有两个相等的实数根，
△，
，
，
是直角三角形．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的两个实数根；当△时，方程有两个相等的两个实数根；当△时，方程无实数根．也考查了勾股定理的逆定理．
一十．根与系数的关系
22．（2023秋 江阴市校级月考）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求的取值范围；
（2）若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围；
（2）利用根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出实数的值，即可求出，，代入即可得答案．
【解答】解：（1）关于的一元二次方程有实数根，
△，
解得：，
实数的取值范围为．
（2），是关于的一元二次方程的两实数根，
，．
，
，
，
，
或，
当时，方程变为，无解舍去，
当时，方程变为，
，，
，
．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合，找出关于的一元一次方程．
23．（2024 鼓楼区校级模拟）若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是
A． B． C． D．
【分析】根据关于的方程的两根之和为，两根之积为，可以得到关于的方程的根符合，，然后整理化简，即可解答本题．
【解答】解：设关于的方程的两根分别为，，
关于的方程的两根之和为，两根之积为，
，，
，，
化简，得：，，
整理可得，，
故选：．
【点评】本题考查根与系数关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
24．（2024 姜堰区一模）关于的一元二次方程的两根之和为 2 ．
【分析】根据根与系数的关系进行解答即可．
【解答】解：设的两根为、，
．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是关键．
一十一．由实际问题抽象出一元二次方程
25．（2021秋 东台市月考）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作，则方程可以列为
A． B．
C． D．
【分析】若把增长率记作，则第二天票房约为亿元，第三天票房约为亿元，根据三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：若把增长率记作，则第二天票房约为亿元，第三天票房约为亿元，
依题意得：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26．（2024 海门区校级模拟）某商品进价为25元，当每件售价为50元时，每天能售出100件，经市场调查发现，每件售价每降低1元，则每天可多售出5件，店里每天的利润要达到1500元．若设店主把该商品每件售价降低元，求解可列方程为 ．
【分析】利润售价进价，由每降价1元，每天可多卖出5件，可知每件售价降低元，每天可多卖出件，从而列出方程即可．
【解答】解：原来售价为每件50元，进价为每件25元，利润为每件25元，又每件售价降价元后，利润为每件元．
每降价1元，每星期可多卖出5件，所以每件售价降低元，每星期可多卖出件，现在的销量为．
根据题意得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了从实际问题中抽出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
27．（2020秋 天宁区校级期中）在一幅长，宽的风景画四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图．如果要求风景画的面积是整个挂图面积的，那么金边的宽应是多少？（只需列方程）
【分析】设金边的宽度为，则整个挂画的长为，宽为．就可以表示出整个挂画的面积，由风景画的面积是整个挂图面积的建立方程即可．
【解答】解：设金边的宽度为，则整个挂画的长为，宽为．由题意，得
．
【点评】本题考查了矩形的面积公式的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据风景画的面积是整个挂图面积的来建立方程是关键．
一十二．一元二次方程的应用
28．（2024春 启东市期末）据统计，目前某市基站的数量约1.5万座，计划到2024年底，全市基站数是目前的4倍，到2026年底，全市基站数最终将达到17.34万座．则2024年底到2026年底，全市基站数量的年平均增长率为
A． B． C． D．
【分析】设2024年底到2026年底，全市基站数量的年平均增长率为，利用到2026年底全市基站数量到2024年底全市基站数量年平均增长率），列出一元二次方程，解之取其正值即可．
【解答】解：（万座），
即2024年底，全市基站数量是6万座，
设2024年底到2026年底，全市基站数量的年平均增长率为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
即2024年底到2026年底，全市基站数量的年平均增长率为，
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
29．（2022秋 海安市月考）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 9个 小分支．
【分析】等量关系为：主干支干数目支干数目支干数目，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设每个支干长出个小分支，则，
解得：，（舍去），
每个支干长出9个小分支．
故答案为：9个．
【点评】考查一元二次方程的应用，得到总数91的等量关系是解决本题的关键．
30．（2024春 连云港期中）某网店销售台灯，成本为每盏30元．销售大数据分析表明：当每盏台灯售价为40元时，平均每月售出600盏，若售价每下降1元，其月销售量就增加200盏．为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210盏台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每盏台灯的售价．
【分析】根据售价每下降1元，其月销售量就增加200盏即可得到销售数量，然后根据单个利润乘以销售量等于总利润列一元二次方程即可求解．
【解答】解：根据题意，得，
解得（舍，．
当时，；
当时，；
答：每个台灯的售价为37元．
方法二：
设每个台灯降价元．
根据题意，得，
解得，（舍．
当时，，；
当时，，；
答：每个台灯的售价为37元．
【点评】本题考查了用一元二次方程解决销售问题应用题，解决本题的关键是掌握成本、售价、单个利润、销售量、总利润等之间的关系．
一十三．配方法的应用
31．（2023 仪征市二模）设实数、、满足，则代数式的最大值是
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】根据已知条件可得，配方法得到原式，依此可得的最大值．
【解答】解：
．
故的最大值是8．
故选：．
【点评】考查了配方法的应用，关键是配方法得到原式．
32．（2023秋 沛县月考）阅读下列材料：
，我们把形如“”或“”的多项式叫做完全平方式，因为是一个数的平方，具有非负性，我们常利用这一性质解决问题，这种解决问题的思路方法叫做配方法．例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2，根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
（1）有最小值 3 ．
（2）当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
（3）已知，，为的三边，且满足，试判断此三角形的形状．
【分析】（1）将化为，即可求解；
（2）将化为，即可求解；
（3）可得，即可求解．
【解答】解：（1）
，
，即时，有最小值，最小值是3；
故答案为：3．
（2）由题意得，
，
当，时，多项式有最小值5；
（3）由题意得，
，
，
，，
，，
，
是等边三角形．
【点评】本题考查了完全平方式非负性的应用，理解非负性，会用非负性解决问题是解题的关键．
一十四．高次方程
33．（南京一模）下列与方程的根最接近的数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．
（2）高次方程的解法思想：
通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
【解答】解：移项，得，
，
，，
，且接近3，
故选：．
【点评】本题考查了高次方程，将高次方程化为一次方程是解题的关键．
34．（2022 南京）方程的解是 ， ．
【分析】把原方程的左边进行因式分解，求出方程的解．
【解答】解：
，
，，
故答案为：，．
【点评】本题考查的是高次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
35．（2022 鼓楼区校级自主招生）解方程组．
【分析】计算②①，利用和的立方公式先求出的值，再代入①得一元二次方程并求解，最后利用代入法求出另一个未知数的值
【解答】解：，
②①，得．
．
．
由得③．
把③代入①，得．
．
解这个方程得，．
把，代入③，得，．
原方程组的解为，．
【点评】本题考查了高次方程，掌握和的立方公式、一元二次方程的解法是解决本题的关键
一十五．无理方程（共3小题）
36．（泰兴市校级月考）下列关于的方程中，有实数根的是
A． B． C． D．．
【分析】先计算出△，再根据△的意义可对进行判断；利用立方根的定义可对进行判断；对于，先去分母得，而时，分母，即是原方程的增根，则原方程没有实数根；对于，先移项得到，然后根据二次根式的非负性易判断方程无实数解．
【解答】解：、△，则方程没有实数根，所以选项不正确；
、，则，所以选项正确；
、去分母得，而时，分母，则是原方程的增根，原方程没有实数根，所以选项不正确；
、，方程左边为非负数，右边为负数，则方程无实数解，所以选项不正确．
故选：．
【点评】本题考查了无理方程：根号下含有未知数的方程叫无理方程；解无理方程常用平方法或换元法把它转化为整式方程，解整式方程，然后检验确定无理方程的解．也考查了一元二次方程根的判别式以及解分式方程．
37．（2021 江阴市校级模拟）关于、的方程组有 2 组解．
【分析】先把两边平方得到，得到，再把代入方程得，然后讨论：当时，；当，则，所以，，再代入即可得到的值，从而可确定方程组的解．
【解答】解：把两边平方得到，则，
把代入方程得，
当时，，
当，则，所以，，
，解得，
．
经检验方程组的解为或．
故答案为2．
【点评】本题考查了解无理方程：通过平方法或换元法把无理方程转化为整式方程，再解整式方程，然后把整式方程的解代入原方程进行检验确定无理方程的解．也考查了以及负整数指数幂．
38．（2024 秦淮区校级模拟）解方程：（1）；
（2）方程的解为 ．
【分析】（1）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：（1），
方程两边都乘，得，
解得：或，
检验：当时，，所以是分式方程的解；
当时，，所以是分式方程的解，
所以分式方程的解是，；
（2），
方程两边平方，得，
，
，，
经检验：不是方程的解，是方程的解，
所以方程的解是．
故答案为：．
【点评】本题考查了解分式方程和解无理方程，能把分式方程转化成整式方程和能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
一十六．一元二次方程的整数根与有理根（共2小题）
39．（2021 苏州自主招生）（1）计算：；
（2）已知关于的方程．若方程的两个实数根都是整数，求整数的值．
【分析】（1）先计算负整数指数幂、零指数幂、化简二次根式以及特殊角的三角函数值；然后计算加减法；
（2）利用求根公式解方程得到，，然后利用整数的整除性确定的值．
【解答】解：（1）
；
（2）在方程中，，，，
则△．
故，
解得，，
方程的两个实数根都是整数，且是整数，
或．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的整数根与有理根，难度不大，解题过程中运用了根的判别式，一元二次方程的求根公式以及一元二次方程的整数根的求法．
40．（2023秋 沭阳县月考）若方程的两个实数根都是整数，则整数值为 8或 ．
【分析】由根与系数的关系可得，，那么，再由整数的性质即可求解．
【解答】解：设方程的两个实数根分别为，（假设，
则，．
，
方程的两个实数根都是整数，
，或，，
解得，或，，
或．
故整数值为8或．
故答案为：8或．
【点评】此题考查了一元二次方程的整数根与有理根，一元二次方程中根与系数的关系，因式分解，抓住关系式是解题的关键．
