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第2章一元二次方程 单元测试
（试卷满分120，考试用时120分钟）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（本题3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（本题3分）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．
4．（本题3分）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
5．（本题3分）已知，（x为任意实数），则关于P，Q的大小关系判断正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
6．（本题3分）已知等腰的底边长为5，其余两边长恰好是关于的方程的两个根，则的值是（ ）
A．2 B．2或10 C．4 D．4或10
7．（本题3分）已知a，b是方程的两个根，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
8．（本题3分）已知方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，且当x=a与x=a+n时，x2+bx+c=m，则m、n的关系为（ ）
A．m=n B．m=n C．m=n2 D．m=n2
9．（本题3分）某市2017年国内生产总值（GDP）比2016年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计2018比2017年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为%，则%满足的关系是
A． B．
C． D．
10．（本题3分）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如下图1，2，他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A．289 B．1225 C．1024 D．1378
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（本题3分）把方程化为一元二次方程的一般形式是 ．
12．（本题3分）如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ．
1.2 1.3 1.4 1.5
0.36 0.75
13．（本题3分）已知三角形两边长分别为7和4，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ．
14．（本题3分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，若此方程的两根均为正整数，则正整数m的值为 ．
15．（本题3分）已知x为实数，若，则 ．
16．（本题3分）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
17．（本题3分）关于一元二次方程，有以下命题：
①若，则；
②若该方程的两根为和1，则；
③若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根；
④若r是该方程的一个根，则一定是方程的一个根．
其中真命题是 ．（只需填写序号）
18．（本题3分）如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止．
（1）若经过x秒，用x的代数式表示，则 ；
（2）经过 秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（本题6分）解方程
(1)
(2)
20．（本题6分）已知关于x的方程无实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)判断方程的根的情况．
21．（本题6分）已知关于的方程．
(1)求证：不论取什么实数时，这个方程总有实数根；
(2)当为何正整数时，关于的方程有两个整数根？
22．（本题8分）已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根
(1)直接写出m的取值范围
(2)若满足，求m的值．
(3)若，求证：；
23．（本题8分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)若每件衬衫降价5元，则商场平均每天可售出衬衫______件，每天获得的利润为______元．
(2)若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？
(3)商场每天要获得利润有可能达到1400元吗？若能，请求出此时每件衬衫的利润；若不能，请说明理由．
24．（本题10分）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2＋4y＋8的最小值．
解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝（y＋2）2＋4
∵（y＋2）2≥0，
∴（y＋2）2＋4≥4
∴y2＋4y＋8的最小值是4．
（1）求代数式x2＋2x＋4的最小值；
（2）求代数式4－x2＋2x的最大值；
（3）如图，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
25．（本题10分）教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式：．
解：原式
再如：求代数式的最小值．
解：，
当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：（应用配方法）
(2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
(3)利用配方法，尝试求出等式中，的值．
26．（本题12分）发现思考：已知等腰三角形的两边分别是方程的两个根，求等腰三角形三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．
涵涵的作业：
解：．
，，．
，①
．②
，．③
所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．④
当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．⑤
(1)涵涵的作业错误的步骤是_____（填序号），错误的原因是____．
(2)探究应用：
请解答以下问题：
已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于的方程的两个实数根．
①时，求的周长；
②当为等边三角形时，求的值．
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第2章一元二次方程 单元测试
（试卷满分120，考试用时120分钟）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（本题3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的概念．根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是整式方程，含有一个未知数；
【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、，不是整式方程，故本选项不符合题意；
C、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（本题3分）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再配方，即可得出结论．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
3．（本题3分）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案．
【详解】解：是关于的一元二次方程，
，即
由一个根，代入，
可得，解之得；
由得；
故选A
4．（本题3分）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的定义是解题的关键．根据一元二次方程根的定义，可得一元二次方程中，满足该方程，进而即可求解．
【详解】解：设，则一元二次方程可化为，
，
关于x的一元二次方程有一根为，
一元二次方程有一个根为，
则，即，
一元二次方程必有一根为2025．
故选：B．
5．（本题3分）已知，（x为任意实数），则关于P，Q的大小关系判断正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将变形为，再结合非负性判断即可．
【详解】解：，
，
故选：A．
6．（本题3分）已知等腰的底边长为5，其余两边长恰好是关于的方程的两个根，则的值是（ ）
A．2 B．2或10 C．4 D．4或10
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，以及三角形的三边关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．
根据一元二次方程根的判别式，求得，再将的分别代入一元二次方程求出腰长，结合三角形的三边关系，即可确定m的值．
【详解】解：∵等腰三角形的两腰相等，
∴方程有两个相等的实根，
，，，
，
解得：，
∴，
解得：，
，满足三角形的三边关系，
即m的值是2，
故选：A．
7．（本题3分）已知a，b是方程的两个根，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及方程解的定义，根据所对应的代数式进行适当的变形是解题关键．
首先得到，，然后将原式变形代入求解即可．
【详解】解：∵a，b是方程的两个根，
∴，
∴
∴．
故选：A．
8．（本题3分）已知方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，且当x=a与x=a+n时，x2+bx+c=m，则m、n的关系为（ ）
A．m=n B．m=n C．m=n2 D．m=n2
【答案】D
【详解】由题意得，
消去a,b,c,可得m=n2，故选D.
9．（本题3分）某市2017年国内生产总值（GDP）比2016年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计2018比2017年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为%，则%满足的关系是
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设2016年的国内生产总值为1，
∵2017年国内生产总值（GDP）比2016年增长了12%，∴2017年的国内生产总值为1+12%；
∵2018年比2017年增长7%，∴2018年的国内生产总值为（1+12%）（1+7%），
∵这两年GDP年平均增长率为x%，∴2018年的国内生产总值也可表示为：，
∴可列方程为：（1+12%）（1+7%）=．故选D．
10．（本题3分）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如下图1，2，他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A．289 B．1225 C．1024 D．1378
【答案】B
【分析】图1中求出1、3、6、10，…，第n个图中点的个数是1+2+3+…+n，即；图2中1、4、9、16，…，第n个图中点的个数是n2．然后把各数分别代入，若解出的n是正整数，则说明符合条件就是所求．
【详解】解：根据题意得：三角形数的第n个图中点的个数为；
正方形数第n个图中点的个数为n2．
A、令=289，解得：n= （不合题意，舍去）；再令n2=289，n=±17；不符合条件，错误；
B．令=1225，解得n1=49，n2=﹣50（不合题意，舍去）；再令n2=1225，n1=35，n2=﹣35（不合题意，舍去），符合条件，正确．
C．令=1024，解得：n=（都不合题意，舍去）；再令n2=1024，n=±32；不符合条件，错误；
D．令=1378，解得n1=52，n2=﹣53（不合题意，舍去）；再令n2=1378，n= （不合题意，舍去），不符合条件，错误．
故选B．
【点睛】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．
填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（本题3分）把方程化为一元二次方程的一般形式是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．
首先根据完全平方公式进行计算，把方程变形为一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
【详解】解：方程
去括号得：，
即，
移项合并同类项得：，
即可化成，
故答案为：．
12．（本题3分）如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ．
1.2 1.3 1.4 1.5
0.36 0.75
【答案】 1.3 1.4
【分析】观察表格可知，随的值逐渐增大，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的的值在之间．
【详解】解：根据表格可知，时，对应的的值在之间，
即：．
故答案为：1.3，1.4．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
13．（本题3分）已知三角形两边长分别为7和4，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ．
【答案】20
【分析】本题考查解一元二次方程及三角形的三边关系，利用因式分解法解一元二次方程，再利用三角形的三边关系确定符合题意的x的值，然后计算其周长即可．
【详解】
因式分解得：
解得：
∵
∴舍去
∴这个三角形的周长是
故答案为：20 ．
14．（本题3分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，若此方程的两根均为正整数，则正整数m的值为 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了根的判别式以及求根公式．
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到和3， 利用求根公式解方程得到，，然后利用（1）的范围可确定m的值．
【详解】解∶由题意得：且，
∴当和3时，原方程有两个不相等的实数根．
∵此方程的两根均为正整数，即，
解方程得，．
∴可取的正整数m的值为1．
故答案为：1．
15．（本题3分）已知x为实数，若，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，设，则原方程转化为关于y的一元二次方程，然后利用因式分解法解该方程求得y的值即可．
【详解】解：设，则，
整理，得．
所以或．
解得或．
当时，，此时该方程无解，故舍去．
综上所述，．
故答案为：1．
16．（本题3分）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式的意义，解题的关键是记住：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义结合根的判别式的意义列不等式求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，且，
解得，且，
故答案为：且．
17．（本题3分）关于一元二次方程，有以下命题：
①若，则；
②若该方程的两根为和1，则；
③若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根；
④若r是该方程的一个根，则一定是方程的一个根．
其中真命题是 ．（只需填写序号）
【答案】①②④
【分析】本题主要考查一元二次方程的根，根据题意得，则，故①是真命题；根据题意得，则②是真命题；由题意得，则方程的判别式：，由于a的符号不确定，故③是假命题；由题意得，且，则，有，可得是的一个根，故④是真命题．
【详解】解：若，则，
∴，故①是真命题；
若该方程的两根为和1，则，
∴，
∴，故②是真命题；
若有两个相等的实数根，则，
∴的判别式：，
∵a的符号不确定，
∴方程根的情况不确定，故③是假命题；
若r是该方程的一个根，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的一个根，故④是真命题；
故答案为：①②④．
18．（本题3分）如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止．
（1）若经过x秒，用x的代数式表示，则 ；
（2）经过 秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出的长；（2）分及两种情况，列出关于的方程．
（1）利用的长的长点的运动速度运动时间，可用含的代数式表示出的长；
（2）当时，，，根据以、、为顶点的三角形面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值；当时，，根据以、、为顶点的三角形面积为，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值．再取符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：（1）动点从点出发，沿向终点以的速度移动，
经过秒，，
．
故答案为：；
（2），，．
当时，，，
，即，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）；
当时，，
，
解得：（不符合题意，舍去）．
经过秒时，以、、为顶点的三角形面积为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（本题6分）解方程
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法；
（1）用公式法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可；
【详解】（1）解：
，
，
，.
（2）解：
20．（本题6分）已知关于x的方程无实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)判断方程的根的情况．
【答案】(1)
(2)当时，有一个实数根；当且时，有两个不相等的实数根．
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，对于一般形式有：（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程没有实数根．
（1）根据一元二次方程的判别式求解即可；
（2）根据题意分和且两种情况讨论，然后利用一元二次方程的判别式求解即可．
【详解】（1）∵关于x的方程无实数根
∴
解得；
（2）∵方程
∴当时，即时，方程为
∴方程为一元一次方程，有一个实数根，
当且时，方程为一元二次方程
∴
∵
∴
∴一元二次方程有两个不相等的实数根；
综上，当时，有一个实数根；当且时，有两个不相等的实数根．
21．（本题6分）已知关于的方程．
(1)求证：不论取什么实数时，这个方程总有实数根；
(2)当为何正整数时，关于的方程有两个整数根？
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，
（1）当时，方程为一元一次方程．当时，方程为一元二次方程，证明出根的判别式即可；
（2）由一元二次方程的根与系数关系得到：，然后根据解是整数得到，即可算出m的值．
【详解】（1）证明：当时，方程为一元二次方程，，
一元二次方程有两个实数根．
当时，方程为，有实数根．
综上，不论取什么实数时，这个方程总有实数根．
（2）解：方程有两个整数根，∴方程为一元二次方程，即．
由根与系数关系得到：，
又和为整数，且为正整数，
∴，解之得：，
经检验，此时符合题意．
22．（本题8分）已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根
(1)直接写出m的取值范围
(2)若满足，求m的值．
(3)若，求证：；
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系；
（1）根据一元二次方程的两个不相等的实数根，得，即可列式作答；
（2）结合一元二次方程根与系数的关系，得和，因为，所以，解得，，结合，即可作答；
（3）因为，结合和，得，则，又因为，即可证明．
【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个不相等的实数根
∴，
即；
（2）解：∵，且，
∴
整理得，
解得：，
∵由（1）知，
∴
检验：当时，，即；
（3）证明：因为，
把和代入上式，
得，
∵，
∴
∴
∵，
∴，
∴，
即．
23．（本题8分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)若每件衬衫降价5元，则商场平均每天可售出衬衫______件，每天获得的利润为______元．
(2)若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？
(3)商场每天要获得利润有可能达到1400元吗？若能，请求出此时每件衬衫的利润；若不能，请说明理由．
【答案】(1)30，1050
(2)每件衬衫应降价20元
(3)无法达到，理由见解析
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．
（1）根据题意得到每天的销售量，然后由销售量×每件盈利进行解答．
（2）设每件衬衫应降价x元，利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可．
（3）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以．
【详解】（1）根据题意可得：商场平均每天可售出衬衫（件），每天获得的利润为（元）．
故答案为：30，1050；
（2）设每件衬衫应降价x元，根据题意，得
，
解得，，
∵要尽快减少库存，
∴，
答：每件衬衫应降价20元；
（3）设每件衬衫应降价x元
，
化简得，
，
∴方程无实根，
∴1400元的利润无法达到
24．（本题10分）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2＋4y＋8的最小值．
解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝（y＋2）2＋4
∵（y＋2）2≥0，
∴（y＋2）2＋4≥4
∴y2＋4y＋8的最小值是4．
（1）求代数式x2＋2x＋4的最小值；
（2）求代数式4－x2＋2x的最大值；
（3）如图，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）3；（2）5；（3）当x取5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2
【分析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；
（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值；
（3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及的值即可．
【详解】解：（1）x2＋2x＋4＝x2＋2x＋1＋3＝（x＋1）2＋3
∵（x＋1）2≥0，
∴（x＋1）2＋3≥3
∴x2＋2x＋4的最小值是3．
（2）4－x2＋2x＝－x2＋2x＋4＝－（x2－2x－4）＝－（x2－2x＋1－5）2＝－（x－1）2＋5
∵（x－1）2≥0，
∴－（x－1）2≤0
∴－（x－1）2＋5≤5
∴4－x2＋2x的最大值是5．
（3）设花园的面积为S（m2），根据题意，得
S＝AB·BC
＝x（20－2x）
＝－2x2＋20x
＝－2（x2－10x）
＝－2（x2－10x＋25－25）
＝－2（x－5）2＋50
∵－2（x－5）2≤0
∴－2（x－5）2＋50≤50
∴当x取5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．
【点睛】此题考查了配方法的应用，解题的关键是：熟练掌握完全平方公式．
25．（本题10分）教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式：．
解：原式
再如：求代数式的最小值．
解：，
当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：（应用配方法）
(2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
(3)利用配方法，尝试求出等式中，的值．
【答案】(1)
(2)当时，多项式有最大值，最大值是7
(3)，
【分析】本题考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握利用配方法和分组法分解因式．
（1）利用配方法，把所求整式写成一个完全平方式和一个常数差的形式，再利用平方差公式进行分解因式即可；
（2）利用配方法把所求整式写成一个完全平方式与一个常数和的形式，然后根据偶次方的非负性，求出答案即可；
（3）利用分组法把等式的左边分解因式，然后根据偶次方非负性，列出关于的方程，求出的值即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：，
，
当时，多项式有最大值，最大值是7；
（3）解：，
，
，
，，
解得，．
26．（本题12分）发现思考：已知等腰三角形的两边分别是方程的两个根，求等腰三角形三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．
涵涵的作业：
解：．
，，．
，①
．②
，．③
所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．④
当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．⑤
(1)涵涵的作业错误的步骤是_____（填序号），错误的原因是____．
(2)探究应用：
请解答以下问题：
已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于的方程的两个实数根．
①时，求的周长；
②当为等边三角形时，求的值．
【答案】(1)⑤；2，2，5不能构成三角形
(2)①当时，的周长为；②当为等边三角形时，的值为1．
【分析】（1）根据三角形的三边关系判断；
（2）①把的值代入方程，解方程得到，，根据三角形的三边关系、三角形的周长公式计算；
②根据一元二次方程根的判别式计算．
【详解】（1）解：涵涵的作业错误的步骤是⑤，错误的原因是2，2，5不能构成三角形，
故答案为：⑤；2，2，5不能构成三角形；
（2）解：①当时，方程为，
，，
当为腰时，，
、、不能构成三角形；
当为腰时，等腰三角形的三边为、、，
此时的周长为，
答：当时，的周长为；
②若为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，
△，
，
答：当为等边三角形时，的值为1．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的概念、等边三角形的概念、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
试卷第2页，共20页
