广东省惠州市2023-2024学年高一数学下学期期末测试卷（PDF版无答案）

惠州市 2023-2024 学年第二学期期末质量检测试题
高一数学
全卷满分 150 分，时间 120 分钟。
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写
在答题卡上。
2. 作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目
的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3. 非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写
在本试卷上无效。
一、 单选题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每个小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求，选对得 5 分，选错得 0分。
2 3i
1. 在复平面内，复数 对应的点的坐标在（ ）
1+ i
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2. 下列命题中正确的是（ ）
A.零向量没有方向 B.共线向量一定是相等向量
C.若 为实数，则向量 a 与 a 方向相同 D.单位向量的模都相等
3. 已 知 数 据 x , x , x , x 的 平 数 数 为 10 ， 方 差 为 10 ， 则1 2 3 8
3x1 +2,3x +2,3x +2, 3x +2的平数数和方差分别为（ ） 2 3 8
A.32,90 B.32,92 C.30,90 D.30,92
4. 已知向量a = (1, 2 )，b = (2,0)，则向量 a 在b 方向上的投影向量为（ ）
A.（1,2） B.（2,0） C.（1,0） D.（2,1）
5. 某校有小学生、初中生和高中生，其人数比是 5:4:3，为了了解该校学生的视力情况，
采用按比例分层抽样的方法抽取一个样本量为 n 的样本，已知样本中高中生的人数比小学
生的人数少 20，则 n=（ ）
A.100 B.120 C.200 D.240
6. 设 , 是两个不重合的平面，m，n是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A.若 m ，n ，m⊥n，则 ⊥ B.若 m∥ ，n ，则 m∥n
C.若 m ，n ，m∥ ，n∥ ，则 D.若 m⊥ ，n ，则 m⊥n
7. 掷两颗骰子，观察掷得的点数。设事件 A表示“两个点数都是偶数”，事件 B表示“两
个点数都是奇数”，事件 C表示“两个点数之和是偶数”，事件 D表示“两个点数的乘积是偶
数”。那么下列结论正确的是（ ）
A.A 与 B 是对立事件 B.A 与C D是互斥事件
C.B 与 D 是相互独立事件 D.B 与C D是相互独立事件
8. 已知直三棱柱 ABC- A1B1C1 的积积为 8，二面角C1 AB C 的大小为

，且 AC=BC，CC =2，则点 A1到平面 ABC 的距离为（ ） 1 1
4
2 2 2
A. 2 B. C. D.
2 3 4
二、多选题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每个小题给出的四个选项中，有
多项是符合题目要求的。全部选对的得 6分，有选错的得 0分，部分选对的得部分分。
9. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径 2R 相等，下列结
论正确的是（ ）
2
A.圆柱的侧面积为4 R
2
B. 圆柱的侧面积为 5 R
C.圆柱的侧面积与球的表面积相等
D.三个几何积的表面积中，球的表面积最小
10. 设 z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（ ）
A.若（1+i）z=-i，则|z|=1
B.对任意复数 z1, z ，有2 | z1z2 |=| z1 | | z 2 |
C.对任意复数 z , z ，有 z1 z2 = z1 z1 2 2
D.在复平面内，若 M= z || z 2 | 2 ，则集合 M所构成区域的面积为 6π
11. 在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，下列命题正确的是（ ）
A.若 A=60°，a=2，则△ABC 面积的最大值为 3
B.若 A=60°，a=1，则△ABC 面积的最大值为 3

C.若 a=2 3 ，b=4，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 A ,
6 3
3 2 2
D.若 a+b=c（cosA+cosB），且 c=1，则该三角形内切圆面积的最大值是
4
三、填空题：（本大题共 3小题，每题 5分，共计 15分）
2 3
12. 甲、乙两人独立的解同一道题，甲、乙解对题的概率分别是 、 ，那么恰好只有 1人
3 5
解对题的概率是 。
13. 已知频率分布直方图如右图所示，记其平数数为 a，中位数为 b，则 a
与 b的大小关系为 。
14. 如图，已知在直三棱柱 ABC A BC 中，F 为 A1C1 的中点，E 为棱BB1 的动点， AA1 1 1 1
=2，AB=2，BC=3 2 ，AC=4。当 E为棱BB1 的中点，则三棱锥 E-ABC 积积为 ；
当三棱锥 A1 AEF 的外接球的半径最小时，直线 EF 与 AA1 所成角的余弦值为 。
四、解答题：共 77 分。解答时应写出文字说明、解答过程或演算步骤。
15. （本小题 13 分）
2
在△ABC 中，BC=3,AC=4，点 P为线段 BC中点， AQ = AB，设CB = a,CA = b。
3
（1）用向量 a ，b 表示CQ；
（2）若 ACB =90°，求 AP CQ .
16. （本小题 15 分）
已知有下面三个条件：
3 a cos A+1 sin B sinC sin2 A
① S = (AC AB) ; ② = ； ③ + = +1
2 c 3 sin C sinC sin B sin B sinC
请从这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题：
在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，且 。
（1）求角 A的大小；
（2）若 AD 是△ABC 的角平分线，且 b=2，c=3，求线段 AD 的长。
17. （本小题 15 分）
为了研究学生每天总结整理数学错题情况，某课题组在我市中学生中随机抽取了 100 名
学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时总结整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计
图表，图 1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图 2为学生一个星期内总结整理数
学错题天数的扇形图。若本次数学成绩在 110 分及以上视为优秀，将一个星期有 4天及以上
总结整理数学错题视为“经常总结整理”，少于 4天视为“不经常总结整理”。已知数学成绩
优秀的学生中，经常总结整理错题的学生占 70%。
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理
不经常总结整理
合计
（1）根据图 1、图 2的数据，补全表格；
（2）求图 1中 m的值及学生期中考试数学成绩的第 65 百分位数；
（3）抽取的 100 名学生中按“经常总结整理错题”与“不经常总结整理错题”进行分
层抽样，随机抽取 5名学生，再从这 5名学生中随机抽取 2人进行座谈，求这 2名同学
数来自“经常总结整理错题”的概率。
18. （本小题 17 分）
如图，在四棱锥 Q-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 QAD 是正三角形，面 QAD⊥面
ABCD，M 是 QD 的中点。
（1）求证：BQ∥平面 AMC；
（2）求直线 AC与平面 QCD 所成角的正弦值；
QN
（3）在棱 QC 上是否存在点 N 使平面 BDN⊥平面 AMC 成立？如果存在，求出 ,如果
NC
不存在，说明理由。
19. （本小题 17 分）

将连续正整数 1,2，…，n (n N )从小到大排列构成一个数 123…n，F（ n）为这个数
的位数（如当 n=12 时，此数为 123456789101112，共有 15个数字，F（ 12）=15），现从这个
数中随机取一个数字，恰好取到 0的概率记为 p（n）。
（1）求 p（100）；
（2）当 n≤2021 时，求 F（n）的表达式；
（3）令 g（ n）为这个数中数字 0的个数，f（ n）为这个数中数字 9的个数，h（ n）=f
（n）-g（n）， S = n | h (n) =1,n 100,n N ，求当n S 时，p（n）的最大值。