12.2二次根式的乘除优生辅导练习题（含详解）苏科版八年级数学下册

苏科版八年级数学下册《12.2二次根式的乘除》优生辅导练习题
一．选择题
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A．＝±4 B．＝2 C．+＝ D．＝﹣3
3．在实数范围内要使＝a﹣2成立，则a的取值范围是（　　）
A．a＝2 B．a＞2 C．a≥2 D．a≤2
4．化简的结果是（　　）
A．﹣2x﹣1 B．2x﹣1 C．1 D．﹣1
5．当m＜0时，化简二次根式，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．若a＝2021×2022﹣20212，b＝1013×1008﹣1012×1007，c＝，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
二．填空题
7．将根号外的因式移到根号内：　 　．
8．若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则代数式﹣|b+c|+2（a﹣b）的化简结果为 　 　．
9．已知≈0.3984，≈1.260，聪明的同学你能不用计算器得出：
（1）≈　 　；
（2）﹣≈　 　．
10．若式子与的和为2，则a的取值范围是　 　．
三．解答题
20．计算：
（1）；
（2）．
21．已知：x＝+1，y＝﹣1，求下列各式的值．
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2+y2．
22．在数学课外学习活动中，小军和他的同学遇到一道题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：
∵a＝＝＝2﹣，∴a﹣2＝﹣，∴（a﹣2）2＝a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小军的解题过程，解决如下问题，
（1）＝　 　；
（2）若a＝，求a4﹣4a3﹣4a+3的值．
11．探究题：
＝_　 　，＝　 　，＝　 　，
＝　 　，＝　 　，02＝　 　，
根据计算结果，回答：
（1）一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来．
（2）利用你总结的规律，计算：
①若x＜2，则＝　 　；
②＝　 　；
（3）若a，b，c为三角形的三边，化简++．
12．【知识链接】
（1）有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．
例如：的有理化因式是；1﹣的有理化因式是1+．
（2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：
＝＝﹣1，＝＝﹣．
【知识理解】
（1）填空：2的有理化因式是　 　；
（2）直接写出下列各式分母有理化的结果：
①＝　 　；②＝　 　．
【启发运用】
（3）计算：+++…+．
13．【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：若设a+b＝（m+n）2＝m2+2n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）若a+b＝（m+n）2，当a、b、m、n均为整数时，则a＝　 　，b＝　 　．（均用含m、n的式子表示）
（2）若x+4＝（m+n）2，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．
【拓展延伸】
化简
阅读下列解题过程：
；请回答下列问题：
（1）观察上面的解题过程，化简：①②
（2）利用上面提供的解法，请计算：
．
17．观察下列各式，发现规律：
＝2；＝3；＝4；…
（1）填空：＝　 　，＝　 　；
（2）计算（写出计算过程）：；
（3）请用含自然数n（n≥1）的代数式把你所发现的规律表示出来．
18．观察下列等式：回答问题：
①＝1+﹣＝1
②＝1+﹣＝1
③＝1+﹣＝1，…
（1）根据上面三个等式的信息，猜想＝　 　；
（2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式；
（3）验证你的结果．
19．先阅读材料，再解决问题．
；
；
；
；
…
根据上面的规律，解决问题：
（1）＝　 　＝　 　；
（2）求（用含n的代数式表示）．
20．我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式．
（1）请根据以上信息，写出一个取值范围是x＞2的根分式：　 　；
（2）已知两个根分式M＝与N＝．
①是否存在x的值使得N2﹣M2＝1，若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由；
②当M2+N2是一个整数时，写出两个满足条件的无理数x的值．
参考答案
一．选择题
1．解：A.＝，故A不符合题意；
B.＝2，故B不符合题意；
C.＝|x﹣1|，故C不符合题意；
D.是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
2．解：A、原式＝4，故A不符合题意．
B、原式＝＝，故B不符合题意．
C、与不是同类二次根式，不能合并，故C不符合题意．
D、原式＝﹣3，故D符合题意．
故选：D．
3．解：原式＝|a﹣2|＝a﹣2，
∴a﹣2≥0，
解得：a≥2，
故选：C．
4．解：由题意得：2﹣x≥0，
解得：x≤2，
则原式＝﹣（）2
＝3﹣x﹣2+x
＝1，
故选：C．
5．解：由题意得：
m＜0，n＜0，
∴＝
＝ （）
＝，
故选：D．
6．解：a＝2021×2022﹣20212
＝2021×（2022﹣2021）
＝2021×1
＝2021；
b＝1013×1008﹣1012×1007
＝（1012+1）（1007+1）﹣1012×1007
＝1012×1007+1012+1007+1﹣1012×1007
＝1012+1007+1
＝2020；
c＝
＝
＝
＝；
∴2020＜＜2021，
∴b＜c＜a，
故选：D．
二．填空题
7．解：由题意得：
≥0，
∴≤0，
∵x≠0，
∴＜0，
∴x3＜0，
∴x＜0，
∴将＝﹣（﹣x）
＝﹣
＝﹣，
故答案为：﹣．
8．解：由数轴可得：a﹣c＜0，b+c＞0，a﹣b＜0，
故原式＝c﹣a﹣（b+c）+2（a﹣b）
＝c﹣a﹣b﹣c+2a﹣2b
＝a﹣3b．
故答案为：a﹣3b．
9．解：（1）
≈
≈
≈10×
≈10×1.260
≈12.60．
故答案为：12.60．
（2）﹣
≈
≈
≈
≈﹣1.260÷10
≈﹣0.1260．
故答案为：﹣0.1260．
10．解：∵+
＝+
＝|a﹣2|+|a﹣4|，
当a＞4时，原式＝a﹣2+a﹣4＝2a﹣6，因此不符合题意；
当2≤a≤4时，原式＝a﹣2+4﹣a＝2，因此符合题意；
当a＜2时，原式＝2﹣a+4﹣a＝6﹣2a，因此不符合题意；
∴2≤a≤4，
故答案为：2≤a≤4．
三．解答题
20．解：（1）原式＝﹣
＝﹣
＝3﹣4
＝﹣；
（2）原式＝3+5﹣4++4+18﹣12
＝18﹣4．
21．解：∵x＝+1，y＝﹣1，
∴x+y＝2，xy＝2﹣1＝1，
（1）x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（2）2＝8；
（2）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝8﹣2×1＝6．
22．解：（1）＝＝﹣，
故答案为：﹣；
（2）∵a＝＝＝+2，
∴a﹣2＝，
∴（a﹣2）2＝5，
∴a2﹣4a+4＝5，
∴a2﹣4a＝1，
∴a4﹣4a3﹣4a+3
＝a2（a2﹣4a）﹣4a+3
＝a2﹣4a+3
＝1+3
＝4，
∴a4﹣4a3﹣4a+3的值为4．
11．解：＝3，＝0.5，＝6，＝，＝，02＝0；
（1）不一定等于a．当a≥0时，＝a；当a≤0时，＝﹣a．
（2）①＝2﹣x；
②＝π﹣3.14；
（3）++＝a+b﹣c+c+a﹣b+b+c﹣a＝a+b+c．
12．解：（1）∵2×＝2x，
∴2的有理化因式是．
故答案为：．
（2）①＝＝﹣；
②＝＝3﹣．
故答案为：①﹣；②3﹣．
（3）原式＝+++…+，
＝﹣1+﹣+2﹣+…+﹣，
＝﹣1．
13．解：（1）（m+n）2＝m2+2mn+5n2，
∵a+b＝（m+n）2，且a、b、m、n均为整数，
∴a＝m2+5n2，b＝2mn，
故答案为：m2+5n2，2mn；
（2）（m+n）2＝m2+2mn+3n2，
∵x+4＝（m+n）2，
∴，
又∵x、m、n均为正整数，
∴或，
即m＝1，n＝2，x＝13或m＝2，n＝1，x＝7；
（3）原式＝
＝
＝，
故答案为：+．
16．解：（1）①＝＝+3；
②＝＝；
（2）
＝（﹣+﹣+﹣+…+﹣）（+）
＝（﹣）（+）
＝n．
17．解：（1）根据题意得：＝5；＝6；
故答案为：5；6；
（2）＝；
（3）归纳总结得：＝（n+1）（自然数n≥1）．
18．解：（1）根据上面三个等式的信息，猜想＝1，
故答案为：1；
（2）＝1+﹣．
（3）＝
＝
＝
＝
＝1+﹣．
19．解：∵中，1+2＝3，
＝6中，1+2+3＝6，
＝10中，1+2+3+4＝10，
∴等式中最左边的被开方数中各个幂的底数的和＝右边的结果．
∵1+2+3+4+5+6＝21，
∴（1）＝＝21．
故答案为：，21；
（2）由（1）中发现的规律可得：
＝＝1+2+3+ +n＝．
20．解：（1）．
（2）①∵，
∴，
∴x2﹣6x+8＝x2﹣4x+4，
解得x＝2，
检验，当x＝2时，（x﹣2）2＝0，
所以原分式方程无解，
从而不存在x的值使得N2﹣M2＝1．
②∵，
∴＝＝，
∴当M2+N2是一个整数时，（x﹣2）2可以取1或2，等，
∴当x是无理数时，或x﹣2＝±，
由于当时，x﹣1＜0，舍去，
∴，x＝2+，x＝2﹣（答案不唯一）．