内蒙古乌兰察布市集宁新世纪中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（含解析）

内蒙古集宁新世纪中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．数列,4,,20,…的一个通项公式可以是( )
A. B. C.D.
2．已知函数,则( )
A. B.1 C. D.2
3．抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
4．已知是等差数列的前n项和,且,则( )
A.30 B.60 C.90 D.180
5．已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点,则该椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
6．已知数列是等比数列,且,,则( )
A.3 B.6 C.3或－3 D.6或－6
7．已知双曲线的左,右焦点分别为,,O为坐标原点,点P是双曲线C上的一点,,且的面积为4,则实数( )
A. B.2 C. D.4
8．设点P是函数图象上的任意一点,点P处切线的倾斜角为,则角的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10．已知双曲线,则下列说法正确是( )
A.双曲线C的实轴长为 B.双曲线C的焦距为
C.双曲线C的离心率为 D.双曲线C的渐近线方程为
11．已知等差数列的前n项和为,公差为d,且,则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.当时,取得最小值
三、填空题
12．已知方程表示焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围是______.
13．曲线在点处的切线方程为______.
14．在数列中,,,且,则______.
四、解答题
15．已知数列的前n项和.
（1）求的通项公式;
（2）试判断1262是不是这个数列的项 如果是,是第几项
16．已知抛物线过点.
（1）求抛物线C的方程,并求其准线方程;
（2）过该抛物线的焦点,作倾斜角为的直线,交抛物线于A,B两点,求线段AB的长度.
17．已知等比数列的前n项和为,且.
（1）求的通项公式;
（2）若,求的前项和.
18．已知椭圆的离心率为,且过点.圆的圆心为M,M是椭圆上的动点,过原点O作圆两条斜率存在的切线,.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）记直线,的斜率分别为,,求的值.
19．已知数列满足,.
（1）求的通项公式;
（2）若,记数列的前n项和为,求证:.
参考答案
1．答案：B
解析：A选项,当时,,故A错误;
B选项,当时,,当时,,当时,,当时,,
故B正确;
选项,当时,,故C错误;
D选项,当时,,故D错误.故选B.
2．答案：C
解析：因为,所以,所以,故选C.
3．答案：A
解析：因为抛物线的标准方程为,所以焦点坐标为,故选A.
4．答案：C
解析：,解得,所以,故选C.
5．答案：C
解析：令,可得;令,可得.
则由已知可得,椭圆的两个顶点坐标为,.
因为,所以椭圆的焦点在y轴上.
设椭圆的方程为,则,,
所以椭圆的方程为.
故选:C.
6．答案：B
解析：设数列的公比为,则,所以,,所以.故选B.
7．答案：C
解析：因为的面积为4,所以的面积为8.
又,所以,所以.
设,,所以,,所以,
所以,又,所以.故选C.
8．答案：B
解析：,点P是曲线上的任意一点,点P处切线的倾斜角为,.
,.故选B.
9．答案：BC
解析：,故A错误;,故B正确;
,故C正确;,故D错误.故选BC.
10．答案：BC
解析:双曲线,则,,,双曲线C的实轴长为,故A错误;双曲线C的焦距为,故B正确;双曲线C的离心率,故C正确;
双曲线C的渐近线方程为,故D错误.
故选:BC.
11．答案：ACD
解析：因为,所以,,,
所以,故A正确,B错误,D正确;,故C正确.故选ACD.
12．答案：
解析：由解得或,即实数m的取值范围是.
13．答案：
解析：因为,所以,所以曲线在点处的切线方程为,即.
14．答案：
解析：因为,所以为等差数列,又,设的公差为,所以,解得,所以,所以.
15．答案：（1）
（2）第15项
解析：（1）当时,;
当时,.
时,也符合.
综上,的通项公式是;
（2）令,
解得（舍）或.
所以1262是数列的项,是第15项.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）过点,,解得,
抛物线,准线方程为;
（2）由（1）知,抛物线焦点为,
设直线,,,
由得,则,
则.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,,又,所以,即.
又数列是等比数列,所以,
当时,,解得,
所以;
（2）由（1）知,,
所以
.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）依题意得
解得,,,
所以椭圆的标准方程为;
（2）设过原点的圆的切线方程为,即,
则,两边平方并化简得,
其两根,满足,
是椭圆上的点,所以,.
.
19．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）因为,所以,
又,所以,所以是以9为首项,3为公比的等比数列,
所以,所以;
（2）证明:由（1）知,
所以
,
又,所以.