2023-2024学年天津市河东区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年天津市河东区高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共11小题，每小题5分，共55分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.对于任意实数，，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若为偶函数，则( )
A. B. C. D.
4.设，，，则( )
A. B. C. D.
5.某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为( )
A. B. C. D.
6.为了研究某班学生的脚长单位厘米和身高单位厘米的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为已知，，该班某学生的脚长为，据此估计其身高为( )
A. B. C. D.
7.若，则的值是( )
A. B. C. D.
8.空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是( )
A. 若，，，则 B. 若，，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
9.设函数在区间单调递减，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.某疾病预防中心随机调查了名岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表：
不吸烟者 吸烟者 总计
不患慢性气管炎者
患慢性气管炎者
总计
假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立．
通过计算统计量，得，根据分布概率表：
，，
，．
给出下列个命题，其中正确的个数是( )
“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于
有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关
分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
11.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，则( )
A. B. 该圆锥的侧面积为
C. 的面积为 D. 该圆锥的体积为
二、填空题：本题共7小题，每小题5分，共35分。
12.计算为虚数单位的值为______．
13.二项式展开式中的常数项是______．
14.某中学举行数学解题比赛，其中人的比赛成绩分别为：、，，，，，，则这人成绩的第分位数是______．
15.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立．设为该群体的位成员中使用移动支付的人数，，，则______．
16.已知正数，满足，则的取值范围为______．
17.在平行四边形中，，，，若，设，，则可用，表示为______；若点为的中点，点为线段上的动点，则的最小值为______．
18.曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______．
三、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
在中，角、、所对应的边分别为、、，其中．
若，，求边长；
若，，求的面积．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，，，，．
若在侧棱上，且，求证：平面；
求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
21.本小题分
已知函数．
求的最小正周期和其图象的对称轴方程；
若函数在存在零点，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若函数在单调递增，求的取值范围．
答案解析
1.
【解析】解：由于，
所以．
故选：．
2.
【解析】解：当，，满足，但，故充分性不成立，
当时，
则，
故，必要性成立，
综上所述，“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
3.
【解析】解：函数定义域为：，或，
若为偶函数，则，
则，
则，经检验，满足题意．
故选：．
4.
【解析】解：因为，
，
，
故．
故选：．
5.
【解析】解：根据题意，在该地的中学生中随机调查一位同学，设该同学爱好滑冰为事件，爱好滑雪为事件，
则，，，
则，
若选出的同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率．
故选：．
6.
【解析】解：，，
，
则，取，得．
故选：．
7.
【解析】解：，，
．
故选：．
8.
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，若，，则或，又，所以，故A正确；
对于，若，，则或，由，则与斜交、垂直、平行均有可能，故B错误；
对于，若，，则或，由，则与相交、平行、异面均有可能，故C错误；
对于，若，，则或，又，则或，故D错误．
故选：．
9.
【解析】解：函数在区间单调递减，
所以在上单调递减，
所以，即．
故选：．
10.
【解析】解：因为，
所以有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关，即“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于，
故正确，
分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生，故正确．
故选：．
11.
【解析】解：依题意，，，
所以，
圆锥的体积为，故D错误；
圆锥的侧面积为，故B选项错误，
设是的中点，连接，，
则，，
所以是二面角的平面角，
则，所以，
故，
则，故A选项正确；
，
所以，故C错误；
故选：．
12.
【解析】解：
故答案为：
13.
【解析】解：根据二项式的展开式，
当时，常数项为．
故答案为：．
14.
【解析】解：人的比赛成绩从小到大排列为：，，，，，，，
因为，
所以这人成绩的第分位数是第个，即为．
故答案为：．
15.
【解析】解：由题意，使用移动支付的人数服从二项分布，
则，解得或，
又，即，
化简得，解得，
所以．
故答案为：．
16.
【解析】解：正数，满足，
则，
故，
设函数，，
故在上单调递减，
，
所以则的取值范围为．
故答案为：．
17.
【解析】解：如图，因为平行四边形中，，所以四边形是矩形，
则以为原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，
因为，，若，为的中点，
所以，，．
因为，，
所以；
设，其中，
则，，
所以
，
所以当时，的值最小，最小值为．
故答案为：；．
18.
【解析】解：令，则，
令，则，
因为，
故当时，，单调递增，当时，，单调递减，
因为，，时，，
若使得有两个不同零点，
则的范围为．
故答案为：．
19.解：，且，
，
，
，，，
，
；
，
则，
，
，
，
为锐角，
，，，
，
，
．
【解析】由已知结合和差角公式及正弦定理进行化简可求，，，然后结合锐角三角函数即可求解；
由已知结合正弦定理先求出，进而可求，再由正弦定理求出，结合三角形面积公式可求．
20.解：底面，，，，，两两垂直，
故以为原点，建立如图的空间直角坐标系，则，
，，，，
证明：易得平面的法向量为，
，，
又平面，平面；
，
设平面的法向量为
由，可取
平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

【解析】由已知可得，，两两垂直，可以为原点，建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，利用向量法求解．
21.解：对于函数
，
故它的最小正周期为．
令，得，，
故图象的对称轴方程为，．
函数在存在零点，
即在上有解．
当时，，，
，．
【解析】
由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性、图象的对称性，得出结论．
由题意，方程在上有解，根据正弦函数的定义域和值域，求得的范围，可得的范围．
22.解：当时，
则，
求导可得，，
当时，，
当时，，
故曲线在点处的切线方程为：，即；
，
则，
函数在单调递增，
则，化简整理可得，，
令，
求导可得，，
当时，
则，，
故，即在区间上单调递减，
，不符合题意，
令，
则，
当，即时，
，，
故在区间上单调递增，即在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，
，符合题意，
当时，令，解得，
当时，，在区间上单调递减，即单调递减，
，
当时，，单调递减，
，
当时，，不符合题意，
综上所述，的取值范围为．
【解析】根据已知条件，先对求导，再结合导数的几何意义，即可求解；
先对求导，推得，构造函数，通过多次利用求导，研究函数的单调性，并对分类讨论，即可求解．
第1页，共1页