2023-2024学年河南省南阳二中高一（下）月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省南阳二中高一（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则的共轭复数( )
A. B. C. D.
2.若弧度的圆心角所对的弧长为，则这个圆心角所在的扇形的面积为( )
A. B. C. D.
3.平面向量满足，且，则( )
A. B. C. D.
4.若为第二象限角，且，则( )
A. B. C. D.
5.如图，在直角梯形 中，，，， 为 的中点，若，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数其中，，的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A.
B.
C.
D.
7.设，则( )
A. B. C. D.
8.在中，，，，为的中点，点在斜边的中线上，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. ，
B.
C. 若，，则的最小值为
D. 若是关于的方程的根，则
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值是
B. 若，则在上单调递减
C. 若在上恰有个零点，则的取值范围为
D. 函数的值域为
11.的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则可以是钝角三角形
C. 若，，，则有两解
D. 若，且，则为等边三角形
12.如图，的内角，，所对的边分别为，，若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是( )
A. 是等边三角形
B. 若，则，，，四点共圆
C. 四边形面积最大值为
D. 四边形面积最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，且与夹角为钝角，则的取值范围是 ．
14.已知函数，在区间上有解，则的取值范围是______．
15.已知，，则 ______．
16.在中，角，，所对的边分别为，，，若，且的外接圆的半径为，则面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知复数，其中是虚数单位，，，．
若为纯虚数，求的值；
若，求的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
若，求的值；
若，求的值．
19.本小题分
如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的四等分点，设，．
若长为，长为，，求的长；
若是上一点，且，试判断，，三点是否共线？并说明你的理由．
20.本小题分
在下面给出的三个条件：，，中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
问题：在中，内角，，所对的边长分别为，，，且满足，，____，
求角；
求的面积．
21.本小题分
如图，四边形是一块边长为的正方形铁皮，其中扇形的半径为，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用，是弧上一点，，工人师傅想在未被腐蚀部分截下一块边在与上的矩形铁皮，
求出矩形铁皮面积关于的表达式；
试确定的值，使矩形铁皮面积最大，并求出这个最大面积．
22.本小题分
已知函数．
求的最小正周期和单调增区间；
在中，角，，的对边分别为，，若，，求的面积的取值范围．
答案解析
1.
【解析】解：，
则．
故选：．
2.
【解析】解：弧度是的圆心角所对的弧长为，所以圆的半径为：，
所以扇形的面积为：；
故选：．
3.
【解析】解：，
又，
则，
可得，
又，
则，
解得．
故选：．
4.
【解析】解：为第二象限角，
，，
由得：，，
，
，
．
故选：．
5.
【解析】解：如图所示，建立直角坐标系．
不妨设，则，，，
，．
，，，
，
，
，
解得，．
则．
故选：．
6.
【解析】解：由函数的图象可得：，，
可得，解得，
则，
因为点在图象上，
所以则，即，
因为，则，
所以，
将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到．
故选：．
7.
【解析】解：当时，．
如图，角终边为，其中点为角的终边与单位圆的交点，轴，交轴于点，
点为单位圆与轴的正半轴的交点，轴，交角终边于点，
则有向线段为角的正弦线，有向线段为角的正切线，
设弧长为，
由图形可知：，即，
所以，即．
则，
所以，
而，
所以，
所以．
故选：．
8.
【解析】解：如图，
，
易知，，
则的最小值为，最大值为，
即的取值范围为．
故选：．
9.
【解析】解：设，
则，，故A正确；
，
则，故B错误；
，，表示以为圆心，为半径的圆，
表示该圆上的点到点的距离，
故的最小值为，故C正确；
是关于的方程的根，
则也是关于的方程的根，
故，解得，故D正确．
故选：．
10.
【解析】解：
，
选项A：因为，
所以，的最小值为，故A正确；
选项B：当时，，
由得，
所以在上单调递增，故B错误；
选项C：由，可得，
若在上恰有个零点，
则，得，故C正确；
选项D：因为，
所以，
所以，解得，故D错误．
故选：．
11.
【解析】解：：由且知：，正确；
：，则，
所以，
而且，，，
则，，，为锐角三角形，错误．
：由知：有两解，正确；
：由表示的平分线垂直，即是的等腰三角形，
又且，故，则是等边三角形，正确．
故选：．
12.
【解析】解：，
，即，
由，可得，或．
又，故A正确；
若四点，，，共圆，则四边形对角互补，由A正确知，
在中，，，，故B错；
等边中，设，，
在中，由余弦定理，得，
由于，，代入上式，得，
，
，，
四边形面积的最大值为，无最小值，
故C正确，D错误，
故选：．
13.且
【解析】解：由题意知， 与的夹角为钝角，
所以，
所以，
又当与共线时，
有，
则，
此时，
即与反向共线，
因为与夹角为钝角时，与不共线，
所以的取值范围为且，
故答案为：且．
14.
【解析】解：令，
则，令，
，
，即，
函数，
在内是单调递增的，且．
在区间上有解，
的取值范围为．
故答案为：．
15.
【解析】解：因为，
所以，
化简得，
所以，又，
所以，
故．
故答案为：．
16.
【解析】解：在中，，
根据正弦定理化简得，
结合余弦定理，可得
，
而角为的内角，即，可得，
根据的外接圆的半径，
结合正弦定理可得
，
所以，
由余弦定理得，
，即，
而，
可得，即，
当且仅当时取等号，
因此的面积，
当时，面积的最大值为．
故答案为：．
17.解：为纯虚数，，．
，，，
，当时，；当时，，．
【解析】由复数的概念列出关于的关系式即可；
由复数相等列出方程组求得，再求三角函数的值域即可．
18.解：由题意可得，
又，
所以，
故，
因为，
所以，
所以，
故．
已知，
则，
所以，
所以，
又，
所以，
因为，
所以，
所以．
【解析】由三角恒等变换，结合特殊角的三角函数求解．
由两角和与差的三角函数，结合二倍角公式求解．
19.解：由于，且点是的中点，
，
；
，，三点不共线，理由如下：
，
则，
，，
，
假设，则存在唯一实数，使得，
即，
所以，无解，
与不平行，
，，三点不共线．
【解析】先将用表示，再根据向量的模的求法及数量积的运算律即可得解；
先将分别用，再根据平面向量共线定理即可得出结论．
20.解：选：因为，
所以，
所以，因为为三角形的内角，．
，，由余弦定理，可得，
可得，解得或舍去，
．
选：，由正弦定理可得：，
可得：，
可得：，
，，
解得，，．
，，由余弦定理，可得：，
可得：，解得，或舍去，
．
选：由正弦定理得，，
，，
，即，，
又，．
，，由余弦定理，可得：，
可得：，解得，或舍去，
．
【解析】选：利用两角和与差的三角函数，转化求解；
结合余弦定理求解，然后求解三角形的面积．
选：利用正弦定理以及同角三角函数基本关系式转化求解；
结合余弦定理求解，然后求解三角形的面积．
选：由正弦定理结合两角和与差的三角函数求解；
结合余弦定理求解，然后求解三角形的面积．
21.解：如图，作垂直于点，
则，，
所以，，
所以矩形铁皮面积．
令，
则，
因为，所以，所以，
所以，
由二次函数性质可知，函数的图象开口向上，对称轴为，
所以当，即时，．
【解析】利用三角函数定义表示出铁皮面积，然后令换元，结合二次函数性质求解可得．
22.解：
，
的周期，
令，，可得，．
单调递增区间是，．
，
，
由正弦定理有，
，
，
，
．
【解析】由题意利用三角函数恒等变换的应用可求，利用正弦函数的图象和性质即可求解．
由题意可求，由正弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求，结合范围，利用正弦函数的性质即可求解其范围．
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