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第一章 有理数 易错与压轴专项训练
目录
易错题型一 带“非”字的有理数的分类 1
易错题型二 含乘方的有理数混合运算 4
易错题型三 根据点在数轴的位置判断式子的正负 7
易错题型四 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题 9
压轴题型一 利用数轴化简绝对值 13
压轴题型二 新定义型有理数混合运算 15
压轴题型三 与有理数乘方有关的新定义型问题 17
压轴题型四 数轴上的动点问题 19
易错题型一 带“非”字的有理数的分类
例1．（23-24七年级上·重庆渝北·阶段练习）把下列各数的序号填在相应的数集内：
，，，，，，，．
(1)正数集合______；
(2)整数集合______；
(3)负分数集合______；
(4)非负整数集合______．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】本题考查了正数、整数、负分数及非负整数的定义等有理数的相关基础知识，根据正数、整数、负分数及非负整数的定义依次填写即可，熟练掌握相关定义是解题的关键．
【详解】（1）正数集合；
（2）， ，
整数集合；
（3）负分数集合；
（4）非负整数集合．
巩固训练
1．（23-24七年级上·云南丽江·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号中
8，17，，3.1415，0，，，2022，，，，
正有理数集合：{ …}，
负有理数集合：{ …}，
整数集合：{ …}，
负分数集合：{ …}，
【答案】见解析
【分析】本题主要考查有理数的分类，化简绝对值，有理数的乘方，熟练掌握正有理数、负有理数集合、整数、负分数的定义是解决本题的关键．
【详解】解：，
正有理数集合：，
负有理数集合：，
整数集合：，
负分数集合：．
2．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）把下列各数分别填入相应的大括号里：
，，，，，，，，．
负整数集合：{________________________}；
非负数集合：{________________________}；
正分数集合：{________________________}；
负分数集合：{________________________}．
【答案】，；，，，，；，；，．
【分析】本题考查了负整数、非负数、正分数、负分数的定义，根据多重符号化简，绝对值化简，有理数乘方运算再根据定义即可求解，解题的关键是熟悉负整数、非负数、正分数、负分数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用．
【详解】，，，，，
根据有理数的分类及定义有：
负整数集合：{，}；
非负数集合：{，，，，}；
正分数集合：{，}；
负分数集合：{，}；
故答案为：，；，，，，；，；，．
3．将下列各数填在相应的集合里，
，，4.3，，，0，，
整数集合：{________________________}；
分数集合：{________________________}；
正数集合：{________________________}；
负数集合：{________________________}；
非负整数集合：{____________________}.
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了有理数的分类．先根据绝对值的性质和相反数的定义化简，有理数的乘方进行计算，再分别根据整数、分数、正数、负数、非负整数的定义进行分类，即可解题．
【详解】解：，，，，
整数集合有：、0、；
分数集合有：、、4.3、、；
正数集合有：4.3、、；
负数集合有：、、、；
非负整数集合：4.3、、0、；
易错题型二 含乘方的有理数混合运算
例2．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）计算：
(1)． (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数运算法则和顺序是解题的关键．
（1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可；
（3）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可．
【详解】（1）
；
（2）
巩固训练
1．（23-24七年级上·贵州黔东南·阶段练习）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据有理数的运算法则，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号，
本题考查了含乘方的有理数混合运算，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
【详解】（1）解：
，
（2）
．
2．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算的法则和运算顺序．
（1）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算；
（2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
3．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，以及绝对值化简，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．
（1）先算乘方，然后再进行有理数的混合运算即可；
（2）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题；
（3）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题；
（4）先算乘方、括号、以及绝对值化简，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
；
（3）解：，
，
，
；
（4）解：，
，
，
．
易错题型三 根据点在数轴的位置判断式子的正负
例3. （2024·江苏徐州·二模）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是观察各点与原点的位置，确定各数符号及绝对值大小．
根据数轴上点与原点的位置，确定各数符号及绝对值大小即可得到答案．
【详解】解：由图可得：，且，
∴A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：B．
巩固训练
1.（2023·江西九江·二模）如图，数轴上点A和点B分别表示数a和b，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查数轴，由数轴可得，，即可判定．
【详解】解：由数轴可得，
∴，
故选：C．
2.（23-24六年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知a、b、c三个数的位置如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了利用数轴上点对应的数确定代数式的符号，解答本题的关键是熟练掌握有理数的加法法则中对于符号的确定方法．同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数．
根据a、b、c三个数的位置，结合有理数的加法法则逐项分析即可．
【详解】解：∵从数轴可知：，，
∴A．，
∴，正确，故本选项不符合题意；
B．∵，
∴，正确，故本选项不符合题意；
C．∵，，
∴，错误，故本选项符合题意；
D．∵，，
∴，正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
3.（22-23七年级上·广西钦州·期末）有理数a，b在数轴上的对应位置如图所示，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数轴上有理数的位置，计算判断即可．本题考查了数轴上表示有理数，借助数轴进行数或式子的大小比较，符号确定，熟练掌握数轴上大小比较的原则是解题的关键．
【详解】∵，，
∴，，，
故A，C，D都是错误的，B是正确的，
故选B．
易错题型四 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题
例4. （2023秋·福建泉州·七年级统考期末）单项式a是一个正数，且，那么的值为 ．
【答案】0
【分析】由已知推出b、c都是负数，据此去绝对值符号，即可求解．
【详解】解：∵单项式a是一个正数，且，
∴b、c都是负数，
∴，，，，
∴，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，得到b、c都是负数是解答本题的关键.
巩固训练
1.（2023秋·七年级单元测试）如果 ， ， 是非零有理数，那么 的所有可能的值为（ ）．
A．-4，-4，0，2，4 B．-4，-2，2，4 C．0 D．-4，0，4
【答案】D
【分析】由题意分情况讨论：①a，b，c均是正数；②a，b，c均是负数；③a，b，c中有一个正数，两个负数；④a，b，c中有两个正数，一个负数；利用绝对值的性质，先化简绝对值，再求出结果．
【详解】解：①a，b，c均是正数，原式=；
②a，b，c均是负数，原式=；
③a，b，c中有两个负数，一个正数，原式=；
④a，b，c中有两个正数，一个负数，原式=．
所有可能的值为－4，0，4．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，有理数的计算等，注意多种情况讨论，不能丢解．
2.（23-24七年级上·云南昆明·期中）阅读下列材料：，即当时，．用这个结论解决下面问题：
(1)已知，是有理数，
①当，时，则________；
②当，时，则________；
③当，时，则_______；
(2)已知，，是有理数，当时，求
【答案】(1)①；②；③
(2)或
【分析】本题考查了有理数的除法， 绝对值的意义；
（1）①根据由，时，则，代入即可求解；
②根据由，时，则，代入即可求解；
③根据由，时，则，代入即可求解；
（2）当时，分两种情况讨论：①，，，②，，，进行求解即可．
【详解】（1）解：①由，时，则，
∴；
故答案为：．
②由，时，则，
∴；
故答案为：0．
③由，时，则，
∴；
故答案为：．
（2）当时，
都小于，或中一个小于，另外两个都大于，分两种情况讨论：
①当，，时，
；
②当，，时，
；
综上所述：或．
3.（23-24七年级上·福建福州·期末）阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题：
(1)已知m，n是有理数，当时，则______；
(2)已知m，n，t是有理数，当时，求的值；
(3)已知m，n，t是有理数，，且，求的值．
【答案】(1)0；
(2)1或；
(3)或3．
【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，化简绝对值，熟练的化简绝对值是解本题的关键；
（1）先判断同号，再分两种情况化简绝对值，再计算即可；
（2）先判断m，n，t全负或m，n，t两正一负，再分情况化简绝对值，再计算即可；
（3）先判断m，n，t两正一负，再结合（2）的结论即可得到答案．
【详解】（1）解：∵m，n是有理数，当时，
∴同号，
当，时，
，
当，时，
；
（2）∵
∴m，n，t全负或m，n，t两正一负
①当m，n，t全负时，
②当m，n，t两正一负时
Ⅰ）当，，时，
Ⅱ）当，，时，
Ⅲ）当，，时，
综上所述，的值为1或；
（3）∵
∴，，．
∴
又∵，
∴m，n，t两正一负
由（2）可知的值为或3．
压轴题型一 利用数轴化简绝对值
例1. （23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，化简．
【答案】
【分析】本题考查了根据数轴上的点判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，从而得到，，，再根据绝对值的性质化简即可．
【详解】解：由数轴可得：，，
，，，
．
巩固训练
1.（22-23七年级上·云南保山·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，
化简：．
【答案】
【分析】本题考查了数轴与有理数，绝对值化简，根据数轴可得，进而得到，，，，根据绝对值的性质即可化简求解，由数轴判断出、、与的符号是解题的关键．
【详解】解：由数轴可得，，
∴，，，，
∴原式，
，
．
2.（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示：
(1) 1，b 2，______________2（填“”或“”）
(2)化简：．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题主要考查了根据数轴比较大小，化简绝对值，合并同类项，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义；
（1）根据数轴上确定各个有理数的大小关系，然后比较即可；
（2）确定绝对值符号内代数式的正负情况再根据绝对值的性质去掉绝对值符号进行有理数运算即可求解．
【详解】（1）由数轴可知：，，且，
，，
故答案为：，，；
（2）由（1），得．
又，
所以，
所以
．
3.（23-24六年级下·北京海淀·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．
(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：
______0，______0，______0．
(2)化简：．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值的化简等知识点，掌握利用数轴确定代数式的正负成为解题的关键．
（1）先根据数轴取得a、b、c的大小关系，然后再确定所求代数式的正负即可；
（2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可．
【详解】（1）解：由数轴可得：，
则．
故答案为：，，．
（2）解：∵，
∴
．
压轴题型二 新定义型有理数混合运算
例2. 计算规定，试计算：的值．
【答案】5
【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【详解】解：∵，
∴．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
巩固训练
1.洪洪同学在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数“”加“★”键，再输入“”，就可以得到运算．按此程序 ．
【答案】8.5
【分析】根据题意列出算式进行计算即可．
【详解】解：根据题意得：
．
故答案为：8.5．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，有理数的混合运算，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算．
2.（2023·河北沧州·校考二模）若，是有理数，定义一种运算“▲”：，
(1)计算的值；
(2)计算的值；
(3)定义的新运算“▲”对交换律是否成立？请写出你的探究过程．
【答案】(1)8
(2)8
(3)不成立，见解析
【分析】（1）根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，进行计算即可；
（2）根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，进行计算即可；
（3）根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，分别计算和，再进行比较即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
（2）解：由题意得，
∴；
（3）解：不成立，理由如下：
∵，，
∴，即定义的新运算“▲”对交换律不成立．
【点睛】本题主要考查了新定义下的有理数四则混合运算，解题的关键是正确理解题意，明确题目所给新定义的运算顺序和运算法则．
3.若我们定义，其中符号“*”是我们规定的一种运算符号．例如：
．依据以上内容，求下列式子的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)38
(2)
【分析】（1）将、代入，根据有理数混合运算顺序和法则计算可得；
（2）将、代入，根据有理数混合运算顺序和法则计算可得．
【详解】（1）解：；
（2）．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键．
压轴题型三 与有理数乘方有关的新定义型问题
例3. （2023春·黑龙江哈尔滨·六年级统考期末）现规定一种新的运算“”：，如，则 ．
【答案】
【分析】根据题中所给的运算方法列出乘方的式子，再根据乘方的运算法则进行计算即可．
【详解】解：，如，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，熟知数的乘方法则是解答此题的关键．
巩固训练
1.（22-23七年级上·重庆开州·期中）用“”，“”定义新运算，对于任意有理数、，都有，，求的值．
【答案】
【分析】根据新定义，先计算再计算，即可求解．
【详解】解：依题意，
∴
．
【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解新定义是解题的关键．
2.（2023·浙江·七年级假期作业）规定:.
(1)求的值；
(2)若，求x的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据原式将、代入即可求解；
（2）将，代入等式，即可求解x的值．
【详解】（1）原式；
（2），
，
，
．
【点睛】本题考查新型定义下的数学运算，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题的关键．
3.（2023·江苏·七年级假期作业）如果，那么我们记为：．例如，则．
(1)根据上述规定，填空：______，______；
(2)若，则______；
(3)若，，求的值．
【答案】(1)3，2
(2)
(3)4
【分析】（1）理解题意，根据有理数乘方计算求解；
（2）根据题意得到，求得x的值即可；
（3）根据题意，由有理数的乘方计算求得a与b的值，然后求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：3，2．
（2）∵，
∴，
∵，，
∴；
故答案为：
（3）解：∵，
∴
∵，，
∴
∴
又∵
∴的值为4．
【点睛】此题主要考查了有理数的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
压轴题型四 数轴上的动点问题
例4. （23-24七年级上·吉林长春·期中）如图，点均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点是数轴上的两个动点．
(1)求出点所对应的数；
(2)当点到点的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数；
(3)若点分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度．若点先出发秒后点出发，当两点相距个单位长度时，直接写出此时点分别对应的数．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是．
【分析】（）根据两点间的距离公式即可求解；
（）分两种情况：点在点的左边，；点在点的右边，进行讨论即可求解；
（3）分两种情况：点在点的左边，点在点的右边，进行讨论即可求解；
本题考查了两点间的距离和数轴，解题的关键是熟练掌握数轴及“分类讨论”的数学思想．
【详解】（1），故点所对应的数是；
（2），
点在点的左边，
，
点在点的右边，
，
故点所对应的数是或；
（3）点在点的左边，
（秒），
点对应的数是，点对应的数是；
点在点的右边，
（秒），
点对应的数是，点对应的数是，
综上可知：点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是．
巩固训练
1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知：、分别是数轴上两点、所表示的有理数，满足．
(1)求、两点相距多少个单位长度？
(2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数；
(3)点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，如此下去，依次操作次后，求点表示的数．
【答案】(1)个单位长度；
(2)或；
(3)．
【分析】（）先由绝对值和平方数的非负性求出和，再根据数轴上表示的数之间的距离的公式即可求解；
（）根据点的位置分情况讨论即可求解；
（）点向左移个单位，再向右移动个单位，依次规律，列出算式即可求解．
【详解】（1）因为，，，
所以，，
所以，，
，
答：、两点相距12个单位长度；
（2）若点在B点的右侧，则．
所以．
所以点表示的数为．
若点在A，B点之间，则．
所以．
所以点表示的数为．
综上，点表示的数为或．
（3），
答：点表示的数为．
【点睛】此题考查了数轴，解题的关键是熟练掌握数轴两点间的距离及数轴上的动点问题．
2．（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且，若点A沿数轴向右移动12个单位长度后到达点B，且点A，B表示的数互为相反数．
(1)a的值为 ，的值为 ；
(2)动点P，Q分别同时从点A，C出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，点Q以每秒m个单位长度的速度向终点A移动，点P表示的数为x．
①若点P，Q在点B处相遇，求m的值；
②若点Q的运动速度是点P的2倍，当点P，Q之间的距离为2时，求此时x的值．
【答案】(1)
(2)① ②或
【分析】根据两点间的距离为且两点表示的数互为相反数即可求； 再根据绝对值为非负数求出，从而得出结论；
①根据相遇时走的路程是，根据速度时间路程列方程求出的值；②根据点的路程之差的绝对值等于列出方程，解方程即可.
【详解】（1）∵,
∴,
∵, 互为相反数,
∴,
∴,
故答案为: ；
（2）①∵点的速度是每秒个单位长度，点在点处相遇, ,
∴点从点运动到点所用时间为秒，
∵,
∴,
解得
②设运动时间为秒，
根据题意：,
解得或
或
∴或
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，路程、速度与时间关系的应用，两点间距离公式的应用，进行分类讨论是解题的关键.
3．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）阅读下面的材料：
如图①，若线段在数轴上，A，B点示的数分别为a，b（），则线段的长（点A到点B的距离）可表示为
请用上面材料中的知识解答下面的问题：
如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点，用1个单位长度表示
(1)请你在图②的数轴上表示出A，B，C三点的位置，并直接写出线段的长度．
(2)若数轴上有一点D，且，则点D表示的数是什么？
(3)若将点A向右移动，请用代数式表示移动后的点表示的数？
【答案】(1)，见解析；
(2)点D表示的数是或3；
(3)移动后的点表示的数为；
【分析】（1）根据题意容易画出图形；由题意容易得出的长度；
（2）设点D表示的数是a，由绝对值的意义容易得出结果；
（3）将点A向右移动，则移动后的点表示的数为．
【详解】（1）解：由题意可得：A，B，C三点的位置如下所示，
∴；
（2）解：设点D表示的数是a，
∵，
，
解得：或3，
∴点D表示的数是或3；
（3）解：将点A向右移动，则移动后的点表示的数为；
【点睛】本题考查了数轴上点的运动，掌握数轴上两点之间的距离求解是解决问题的关键．
4．（23-24七年级上·福建三明·阶段练习）数轴上有A，B，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”.
例：如图1所示，数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，因为，所以称点B 是点A，C的“关联点”．
图1
(1)如图2所示，点A表示数，点B 表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3其中是点A，B 的“关联点”的是 ;
图2
(2)如图3所示，点A 表示数，点B 表示数15，P 为数轴上一个动点：
①若点P 在点B 的左侧，且P 是点A，B 的“关联点”，求此时点P 表示的数；
②若点P 在点B 的右侧，点P，A，B 中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 请求出此时点P 表示的数.
图3
【答案】(1)C2
(2)①点P表示的数为，；②点P表示的数为
【分析】（1）分别求出点C1，C2，C3到两点间的距离，再进行验证即可；
（2）①分类讨论点在之间和点在点左侧时的情况即可；②分类讨论点为点的“关联点”、点为点的“关联点”、点为点的“关联点”即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴点C1不是点A，B的“关联点”
∵
∴
即：点是点A，B的“关联点”
∵
∴点不是点A，B的“关联点”
故答案为：
（2）解：解：设点P在数轴上表示的数为
①（i）当点在之间时，
若，则
解得：
若，则
解得：
（ii）当点在点左侧时，
则，即：
解得：
故：点P表示的数为，；
②（i）当点为点的“关联点”时，
则，即：
解得：
（ii）当点为点的“关联点”时，
则，即：
解得：
或,即：
解得：
（iii）当点为点的“关联点”时，
则，即：
解得：
故：点P表示的数为
【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了数轴上两点间的距离公式．掌握相关结论，进行分类讨论是解题关键．中小学教育资源及组卷应用平台
第一章《有理数》易错与压轴专项训练
目录
易错题型一 带“非”字的有理数的分类 1
易错题型二 含乘方的有理数混合运算 4
易错题型三 根据点在数轴的位置判断式子的正负 7
易错题型四 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题 9
压轴题型一 利用数轴化简绝对值 13
压轴题型二 新定义型有理数混合运算 15
压轴题型三 与有理数乘方有关的新定义型问题 17
压轴题型四 数轴上的动点问题 19
易错题型一 带“非”字的有理数的分类
例1．（23-24七年级上·重庆渝北·阶段练习）把下列各数的序号填在相应的数集内：
，，，，，，，．
(1)正数集合______；
(2)整数集合______；
(3)负分数集合______；
(4)非负整数集合______．
巩固训练
1．（23-24七年级上·云南丽江·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号中
8，17，，3.1415，0，，，2022，，，，
正有理数集合：{ …}，
负有理数集合：{ …}，
整数集合：{ …}，
负分数集合：{ …}，
2．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）把下列各数分别填入相应的大括号里：
，，，，，，，，．
负整数集合：{________________________}；
非负数集合：{________________________}；
正分数集合：{________________________}；
负分数集合：{________________________}．
3．将下列各数填在相应的集合里，
，，4.3，，，0，，
整数集合：{________________________}；
分数集合：{________________________}；
正数集合：{________________________}；
负数集合：{________________________}；
非负整数集合：{____________________}.
易错题型二 含乘方的有理数混合运算
例2．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）计算：
(1)． (2)
巩固训练
1．（23-24七年级上·贵州黔东南·阶段练习）计算：
(1)； (2)．
2．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）计算：
(1)； (2)．
3．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题：
(1) (2)
(3) (4)
易错题型三 根据点在数轴的位置判断式子的正负
例3. （2024·江苏徐州·二模）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1.（2023·江西九江·二模）如图，数轴上点A和点B分别表示数a和b，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.（23-24六年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知a、b、c三个数的位置如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3.（22-23七年级上·广西钦州·期末）有理数a，b在数轴上的对应位置如图所示，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
易错题型四 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题
例4. （2023秋·福建泉州·七年级统考期末）单项式a是一个正数，且，那么的值为 ．
巩固训练
1.（2023秋·七年级单元测试）如果 ， ， 是非零有理数，那么 的所有可能的值为（ ）．
A．-4，-4，0，2，4 B．-4，-2，2，4 C．0 D．-4，0，4
2.（23-24七年级上·云南昆明·期中）阅读下列材料：，即当时，．用这个结论解决下面问题：
(1)已知，是有理数，
①当，时，则________；
②当，时，则________；
③当，时，则_______；
(2)已知，，是有理数，当时，求
3.（23-24七年级上·福建福州·期末）阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题：
(1)已知m，n是有理数，当时，则______；
(2)已知m，n，t是有理数，当时，求的值；
(3)已知m，n，t是有理数，，且，求的值．
压轴题型一 利用数轴化简绝对值
例1. （23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，化简．
巩固训练
1.（22-23七年级上·云南保山·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，
化简：．
2.（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示：
(1) 1，b 2，______________2（填“”或“”）
(2)化简：．
3.（23-24六年级下·北京海淀·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．
(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：
______0，______0，______0．
(2)化简：．
压轴题型二 新定义型有理数混合运算
例2. 计算规定，试计算：的值．
巩固训练
1.洪洪同学在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数“”加“★”键，再输入“”，就可以得到运算．按此程序 ．
2.（2023·河北沧州·校考二模）若，是有理数，定义一种运算“▲”：，
(1)计算的值；
(2)计算的值；
(3)定义的新运算“▲”对交换律是否成立？请写出你的探究过程．
3.若我们定义，其中符号“*”是我们规定的一种运算符号．例如：
．依据以上内容，求下列式子的值．
(1)；
(2)．
压轴题型三 与有理数乘方有关的新定义型问题
例3. （2023春·黑龙江哈尔滨·六年级统考期末）现规定一种新的运算“”：，如，则 ．
巩固训练
1.（22-23七年级上·重庆开州·期中）用“”，“”定义新运算，对于任意有理数、，都有，，求的值．
2.（2023·浙江·七年级假期作业）规定:.
(1)求的值；
(2)若，求x的值.
3.（2023·江苏·七年级假期作业）如果，那么我们记为：．例如，则．
(1)根据上述规定，填空：______，______；
(2)若，则______；
(3)若，，求的值．
压轴题型四 数轴上的动点问题
例4. （23-24七年级上·吉林长春·期中）如图，点均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点是数轴上的两个动点．
(1)求出点所对应的数；
(2)当点到点的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数；
(3)若点分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度．若点先出发秒后点出发，当两点相距个单位长度时，直接写出此时点分别对应的数．
巩固训练
1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知：、分别是数轴上两点、所表示的有理数，满足．
(1)求、两点相距多少个单位长度？
(2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数；
(3)点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，如此下去，依次操作次后，求点表示的数．
2．（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且，若点A沿数轴向右移动12个单位长度后到达点B，且点A，B表示的数互为相反数．
(1)a的值为 ，的值为 ；
(2)动点P，Q分别同时从点A，C出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，点Q以每秒m个单位长度的速度向终点A移动，点P表示的数为x．
①若点P，Q在点B处相遇，求m的值；
②若点Q的运动速度是点P的2倍，当点P，Q之间的距离为2时，求此时x的值．
3．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）阅读下面的材料：
如图①，若线段在数轴上，A，B点示的数分别为a，b（），则线段的长（点A到点B的距离）可表示为
请用上面材料中的知识解答下面的问题：
如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点，用1个单位长度表示
(1)请你在图②的数轴上表示出A，B，C三点的位置，并直接写出线段的长度．
(2)若数轴上有一点D，且，则点D表示的数是什么？
(3)若将点A向右移动，请用代数式表示移动后的点表示的数？
4．（23-24七年级上·福建三明·阶段练习）数轴上有A，B，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”.
例：如图1所示，数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，因为，所以称点B 是点A，C的“关联点”．
图1
(1)如图2所示，点A表示数，点B 表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3其中是点A，B 的“关联点”的是 ;
图2
(2)如图3所示，点A 表示数，点B 表示数15，P 为数轴上一个动点：
①若点P 在点B 的左侧，且P 是点A，B 的“关联点”，求此时点P 表示的数；
②若点P 在点B 的右侧，点P，A，B 中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 请求出此时点P 表示的数.
图3
