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1.4 用一元二次方程解决问题 分层题型练习
题型一 面积问题
1．（2024·福建福州·二模）用一条长的绳子围成一个面积为的长方形，设该长方形一边长为，则下列符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：设该长方形一边长为，则长方形的另一边长为，
由题意得，，
故选：C．
2．（2023·吉林长春·模拟预测）《增删算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载“圆中方形”问题：其大意为“有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好平方步，从水池边到圆周，每边最大相距 步远，在这个不变图形中，应该能求出正方形的边长和圆的直径．”如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：设正方形的边长是步，则列出的方程是
故选：C．
3．（2024·天津河西·一模）一个矩形，它的长边比短边长6cm，面积为，则这个矩形的周长为______.
【解析】解：设这个矩形的宽为，则长为，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
，
这个矩形的周长为．
故答案为：24cm．
4．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是____________.
【解析】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，
依题意得：
解得：，（不合题意，舍去），
∴小路宽为．
故答案为：．
5．（2023·江苏盐城·模拟预测）一条长的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形，若两个正方形的面积和等于，其中较小正方形的边长为 ．
【解析】解：设一个正方形的边长为，
正方形的四边相等，
此正方形的周长是，另一个正方形的边长是，
根据题意得，
解得，．
当时，；
当时，，
所以另一个正方形的边长为和．
较小正方形的边长为．
故答案为：4．
6．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为_____.
【解析】解：设矩形场地垂直于墙一边长为 ，
则平行于墙的一边的长为，
由题意得，
解得：，，
当时，平行于墙的一边的长为；
当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意；
∴该矩形场地长为米，
故答案为：．
7．（2024·北京·三模）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米，若停车位总占地面积为390平方米，停车场内车道的宽都相等，求车道的宽．
【解析】解：设车道宽度为米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：车道的宽为4米．
8．（2023·山东东营·中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【解析】（1）解：设矩形的边，则边 ．
根据题意，得．
化简，得．
解得，．
当时，；
当时，．
答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为 的羊圈．
（2）解：不能，理由如下：
由题意，得．
化简，得．
∵，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到 ．
题型二 变化率问题
1．（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：根据题意，得
即，
故选：B．
2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：设每次降价的百分率为，由题意，得：
，
解得：（舍去）；
故选C．
3．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 ．
【解析】解：设平均增长率为x，由题意得：
，
解得：，（不符合题意，舍去）；
故答案为：．
4（2024·安徽马鞍山·三模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为__________（精确到0.1%）.
（参考数据：）
【解析】解：设每天遗忘的百分比为，
则，
解得：．
故答案为：．
5．（2023·湖南郴州·中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
【解析】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得：
，
解得：（负值已舍掉）；
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得：
，
解得：；
∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．
6．（2024·辽宁大连·三模）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
(1)求进馆人次的月平均增长率；
(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳．
【解析】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为x，
由题意得：，
化简得：，
解得：（舍去）；
答：进馆人次月平均增长率为；
（2）解：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次；
由于进馆人次的月平均增长率为，
则第四个月的进馆人次为：；
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
题型三 市场营销问题
1．（2024·浙江温州·三模）某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可销售200件．值此父亲节来临之际，该店实行降价促销．经调查发现，这款男士短袖的售价每下降1元，其销售数量就增加20件．当每件男士短袖降价多少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8000元？设每件男士短袖降价x元，可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：设每件男士短袖降价x元，可列出方程为：
，
故选：D．
2．（2024·黑龙江佳木斯·三模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
【答案】B
【解析】解：设设每件售价应定为x元，根据题意，得
解得：，，
∵商家想尽快销售完该款商品，
∴，
∴商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元．
故选：B．
3．（2024·上海·模拟预测）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价 元．
【解析】解：设每箱降价x元，则每天多售出箱，
∴ ，
整理得： ，
解得： 或 ，
故答案为：3或4．
4．（2024·山东潍坊·三模）在过去的年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 元．
【解析】解：设售价应定为元，则每件的利润为元，日销售量为件，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
故商家想尽快销售完该款商品，售价应定为元．
故答案为：．
5．（2024·安徽滁州·三模）2024年3月中国新能源汽车在国家积极政策的鼓励下，居民环保意识日渐增强，新能源汽车的市场非常火爆．某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆.若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价？
【解析】解：设下调后每辆汽车的售价万元，每辆汽车的销售利润为万元时，
，
整理可得：，解得：，，
因为要尽量让利顾客，所以．
答：下调后每辆汽车的售价为21万元．
6．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）某网店销售台灯，成本为每盏元．销售大数据分析表明：当每盏台灯售价为元时，平均每月售出盏，若售价每降价元，其月销售量就增加盏．为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为盏台灯的情况下，若预计月获利恰好为元，求每盏台灯的售价．
【解析】解：设每盏台灯的售价为元，
根据题意得，，
解得，，
当时，，不合，舍去；
当时，；
∴，
答：每个台灯的售价为元．
7．（2024九年级下·浙江·专题练习）某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工参加该旅行社旅游，共支付该旅行社旅游费用元，请问：
(1)该单位这次去旅游，员工有没有超过人？
(2)该单位这次共有多少员工去旅游？
【解析】（1）解：∵人数不超过人，人均费用为元，
∴，
∴员工人数一定超过人，
∴该单位这次去旅游，员工超过了20人；
（2）解：设该单位这次共有名员工去旅游，根据题意列方程得：
，
整理得，
即，
解得，，
当时，，故舍去；
当时，，符合题意．
答：该单位这次共有35名员工去旅游．
题型四 动态几何问题
1．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线匀速移动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．当的面积等于时，运动时间为（ ）
A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定
【答案】C
【解析】解：由题意，，运动时间，
，
，
，
解得或5，
∴运动时间为5秒或20秒时，的面积等于．
故选：C．
2．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ）
A． B．或4 C．或 D．
【答案】C
【解析】解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是,
作，垂足为H，
则，，.
，
可得：，
解得，．
答：P，Q两点从出发经过或秒时，点P，Q间的距离是.
故答案为：C.
3．（23-24九上·浙江宁波·阶段练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（ ）
A．步 B．步 C．步 D．步
【答案】C
【解析】设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：，
甲共行走：，
，
，
又 ，
，
，
解得：（舍去）或，
，
，
即甲走了步，
故选：C．
4．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当的面积等于时，运动时间为_______s．
【解析】解：设运动时间为，则，依题意，得：
，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
即当的面积等于时，运动时间为．
故答案为：．
5．（2024·甘肃武威·二模）如图，、、、为矩形的个顶点，，，动点从点出发，沿方向运动，动点同时从点出发，沿方向运动，如果点、的运动速度均为，经过__________秒，、两点之间的距离是.
【解析】解：设运动秒时，它们相距，则，，依题意有
，
解得，．
故运动秒或秒时，它们相距．
故答案为：秒或秒.
6．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，一个长为的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为．问：当梯子的顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等？
【解析】解：未滑动前梯子底端距墙的水平距离为，
设梯子顶端向下滑动，则梯子底端也滑动，
此时梯子的顶端距地面的垂直距离为，梯子的底端距墙面的垂直距离为，
可得方程：，
解得，（舍去），
当梯子的顶端下滑2米时，梯子底端滑动的距离和它相等．
7．（23-24九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为．
(1)填空：_____，_____；（用含t的代数式表示）
(2)当t为何值时，的长度等于？
(3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）解：由题意，得，．
故答案为：，；
（2）解：在中，由勾股定理，得，
解得：，；
（3）解：由题意，得，
解得：，（不符合题意，舍去），
当时，的面积等于．
四边形的面积．
答：当时，四边形的面积等于．
8．（23-24九年级上·河南郑州·期中）测完教学楼的高度，小明和小刚围着校园里的矩形花坛做起了游戏，并探究其中的数学问题．如图，矩形，小明（用点表示）以的速度从顶点出发沿折线向点运动，同时小刚（用点表示）以的速度从顶点出发向点运动，当其中一个同学到达末端停止运动时，另一同学也停止运动．
(1)问小明和小刚走动几秒，使四边形的面积是矩形面积的；
(2)问小明和小刚经过多长时间使得两人之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）解：设两动点运动秒，使四边形的面积是矩形面积的，
根据题意得，，
由题中矩形的面积是12，则，解得；
（2）解：设两动点经过秒使得点与点之间的距离为，
当时，如图所示：
，即，解得或；
②当时，如图所示：
，即，
由，此方程无解；
综上所述，当或时，点与点之间的距离为．
题型五 数字问题
1．（2024·云南昭通·二模）两个相邻奇数的乘积为783，若设较小的奇数为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：若设较小的奇数为x，则与它相邻奇数且比它大的为，
根据题意有：，
故选：A．
2．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为（ ）
A．25 B．36 C．25或36 D．或
【答案】C
【解析】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为，
由题意得：，
整理得：，
解得：或，
当时，，此时这个两位数为，
当时，，此时这个两位数为，
综上所述，这个两位数为25或36，
故选：C．
3．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）有一个两位数，两个数位上数字的和是6，这个两位数是这两个数位上数字的积的3倍，则这个两位数是 ．
【解析】解：设这个两位数字的个位数字是x，则十位数为，
根据题意得：，
解得：或，
∴或，
所以这个两位数为15或24．
故答案为：15或24．
4．（23-24九年级上·湖南岳阳）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为 岁．
【解析】解：设这位风流人物去世的年龄十位数字为，则个位数字为，
则根据题意：，
整理得：，解得，，
由题意，而立之年督东吴，则舍去，
∴这位风流人物去世的年龄为岁，
故答案为：．
5．（2024九年级上·全国·专题练习）一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数．
【解析】解：设该三位数的百位数字是为正整数），则十位数字是，个位数字是．则：
，
整理，得：，
所以．
所以或，
解得，或（舍去），
则，，
则该三位数是257．
答：这个数是257．
6．（2022·江苏常州·中考真题）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份．
(1)八进制数3746换算成十进制数是_______；
(2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值．
【解析】（1），
故答案为：2022；
（2）根据题意有：，
整理得：，
解得n=9，（负值舍去），
故n的值为9．
题型六 传播问题
1．（2024·山西太原·三模）某校九年级（1）班在举行元旦联欢会时，班长觉得快要毕业了，决定临时增加一个节目：班里面任何两个人都要拥抱一下．有好事者统计了一下，全班同学共拥抱了780下，你知道九年级（1）班有多少同学吗？如果设九年级（1）有x名同学，根据题意列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：根据题意，得，
故选：A．
2．（2023·贵州黔东南·一模）某校科技兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，那么全组共同学（ ）
A．12名 B．12名或66名 C．15名 D．33名
【答案】A
【解析】解：设全组共有名学生，由题意得
解得： 不合题意舍去，，
答：全组共有名学生．
故选：A．
3．（2024·重庆·一模）某人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x个人，则可得到方程 ．
【解析】解： 设每一轮传染中平均每人传染了x个人，，依题可得：
.
故答案为：.
4．（2024·江西九江·三模）某生物实验室需培育一批有益菌，现有40个有益菌，每个有益菌每次可分裂成若干个相同数目的有益菌，经过两轮分裂后，有益菌的数量为16000个． 设平均每个有益菌每次可分裂成x个有益菌，根据题意，可列方程： ．
【解析】解：由题意得：，
故答案为：．
5．（23-24九年级上·重庆永川·阶段练习）某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共31．若设主干长出x个支干，则可列方程是 ．
【解析】解：设主干长出x个支干，
，整理得：
故答案为：．
6．（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）有两人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，
由题意，得，
解得：舍去，，
答：每轮传染中平均一个人传染了个人．
7．（2024·广东东莞·三模）作为东莞的城市文化名片之一，篮球已成为不少东莞人生活的一部分．这个五一，我市举行“缤纷运动‘莞’精彩、‘篮’不住”的篮球邀请赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛．
(1)应邀请多少支球队参加比赛？
(2)若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛了多少场？
【解析】（1）解：设应邀请x支球队参加比赛，
由题意得：
解得：，（不合题意，舍去）．
答：设应邀请6支球队参加比赛．
（2）解：（场）
答：实际共比赛22场．
8．（23-24九年级下·山东威海·阶段练习）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信．
(1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
(2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
【解析】（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，
由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人；
（2）解：人，
答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信．
1．（2023·辽宁阜新·一模）如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设的长为米，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：篱笆的总长为18米，的长为米，
的长为米．
根据题意得：．
故选：D．
2．（2024·山东济南·三模）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．如图，墨涵同学装裱了一幅《雀华秋色图》的手卷，手卷长1000厘米，宽40厘米．引首和拖尾完全相同，其宽度都为100厘米，若隔水的宽度为x 厘米，画心的面积为15200厘米2，根据题意，可列方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：根据题意，得．
故选：D．
3．（2023·福建厦门·模拟预测）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩余椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意可列方程，其中x表示（ ）
A．剩余椽的数量 B．这批椽的数量 C．剩余椽的运费 D．每株椽的价钱
【答案】B
【解析】解：每株掾的运费是3文，那么少拿一株掾后，剩下的掾的运费恰好等于一株掾的价钱，
表示少拿一株掾后的运费，表示一株掾的价钱，
表示这批掾的数量．
故选：B．
4．（2024·安徽六安·二模）某企业今年3月份产值为万元，4月份比3月份减少了，5月份比4月份增加了，若这两个月的平均增长率为，则满足的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：该企业今年3月份产值为万元，4月份比3月份减少了，5月份比4月份增加了，
该企业今年4月份产值为万元，5月份产值为万元．
根据题意得：．
故选：D
5．（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：设P、Q同时出发后经过，的面积为S cm2．
则，，，
则．
∵，，点P的运动速度为，点Q的运动速度为，
∴，
∴，
∴时，S有最大值，最大值为9，即的最大面积为
故选：C．
6．（2022·浙江衢州·中考真题）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程： （不必化简）．
【解析】由包装盒容积为360cm3可得，，
故答案为：．
7．（23-24九年级上·江西上饶·期末）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为，乙的速度为，乙一直向东走，甲先向南走步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”若设甲乙两人相遇的时间为，则可列方程是 ．
【解析】设甲，乙两人相遇的时间为，
∴乙走了步，甲斜向北偏东走了步，
∴，
故答案为：．
8．（2023·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 尺．
【解析】解：设门高尺，依题意，竿长为尺，门的对角线长为尺，门宽为 尺，
∴，
解得：或（舍去），
故答案为：．
9．（2023·湖南娄底·一模）相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过、、、、、……，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数．若三角数为，则的值为 ．
【解析】解：第个三角点数和为，
第个三角点数和为，
第个三角点数和为，
第个三角点数和为，
第个三角点数和为，
∴第个三角形数和为，
，
解得或（舍去），
故答案为．
10．（2024·辽宁朝阳·一模）如图，菱形中，，交于，，，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，若，同时出发，问出发后 s时，的面积为菱形面积的？
【解析】解：设出发后秒时，．
四边形是菱形，，，
，，，，
，
当时，点在线段上，点在线段上．
此时，，
则；
解得，（舍去）
当时，点在线段上，点在线段上，
此时，
则；化简为，
此时方程，原方程无实数解；
当时，点在线段上，点在线段上，
此时，，
则；
解得（舍去），
综上所述，出发后或时，．
故答案为：1或4．
11．（2023·浙江金华·中考真题）如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加．
（1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是 ．
（2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是 ．
【解析】（1）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为，
∵，边减少，得到的矩形面积不变，
∴，
解得，
故答案为：6．
（2）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵有且只有一个的值，
∴，
∴，
解得（舍去），
故答案为：．
12．（22-23九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图， cm，OC是一条射线，，一只蚂蚁由A点以1cm/s速度向B点爬行，同时另一只蚂蚁由O点以2cm/s的速度沿OC方向爬行，则 秒钟后，两只蚂蚁所处位置与O点组成的三角形面积为100．
【解析】解：有两种情况：
（1）如图1，当蚂蚁在上运动时，
设x s后两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为100，
由题意，得，
整理，得，
解得；
（2）如图2，当蚂蚁在上运动时，
设x秒钟后，两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为100，
由题意，得，
整理，得，
解得，（舍去）．
答：10s或s后，两蚂蚁与O点组成的三角形的面积均为100．
故答案为：10或．
13．（2024·安徽合肥·三模）某农户种植花生，原来花生的亩产量为200千克，出油率为（即每100千克花生可加工成花生油50千克），现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．求新品种花生亩产量的增长率．
(1)这是一个增长率问题，可设所求增长率为，依题意填写下列表格：
亩产量（千克） 出油率（） 出油量（千克）
原来 200 50 100
现在 132
(2)求新品种花生亩产量的增长率．
【解析】（1）解：根据题意填写表格如下，
亩产量（千克） 出油率（） 出油量（千克）
原来 200 50 100
现在 132
故答案为：，；
（2）解：设新品种花生亩产量的增长率为，
根据题意，可得，
解得，（不合题意，舍去），
∴，
答：新品种花生亩产量的增长率为．
14．（2023·湖北宜昌·中考真题）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．
(1)求豆沙粽和肉粽的单价；
(2)超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）；
豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额
小欢妈妈 20 30 270
小乐妈妈 30 20 230
①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；
②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为包，包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值．
【解析】（1）解：设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为元，
依题意得，
解得；
则；
所以豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元；
（2）解：①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元，
依题意得，解得，
所以豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；
②依题意得，
解得或，
，
∴，
．
15．（22-23九年级下·山东淄博·阶段练习）如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离．
(1)如果这艘轮船不改变航向，经过10小时，轮船与台风中心相距多远？它此时是否受到台风影响？
(2)如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？请说明理由；
(3)如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？
(4)假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？
【解析】（1），，
，
如图1，
设经过10小时，轮船到达点，且航行了，台风中心到达，且，
，，
，
，
轮船与台风中心相距，它此时不受到台风影响；
（2）如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区；理由如下：
如图2，
设经过小时进行台风区域，则，，
当时，将受到台风影响，
根据勾股定理可得：，
整理得到：，
解得，
由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．
（3）由（1）可知经过就会进入台风影响区；
（4）由（1）可知受到台风影响的时间为（小时）．
16．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、．设点、运动的时间为．
(1)当__________时，四边形是矩形；
(2)当__________时，四边形是菱形；
(3)是否存在某一时刻使得，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由．
(4)在运动过程中，沿着把翻折，当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在边上．
【解析】（1）解：由已知可得，，，
在矩形中，， ，
当时，四边形为矩形，
∴，得，
故当时，四边形为矩形；
（2）解： ，
四边形为平行四边形，
当时，四边形为菱形，
即时，四边形为菱形，解得，
故当时，四边形为菱形；
（3）解：过作，交于，，
四边形是矩形，
，
，
矩形，
，
，
，
即：
方程无实数根
不存在某一时刻使得
（4）解：如图所示，
折叠
，
矩形，
，
，
，
在中，，
即：，解得：
答：当等于或时，翻折后点的对应点恰好落在边上．中小学教育资源及组卷应用平台
1.4 用一元二次方程解决问题 分层题型练习
题型一 面积问题
1．（2024·福建福州·二模）用一条长的绳子围成一个面积为的长方形，设该长方形一边长为，则下列符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·吉林长春·模拟预测）《增删算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载“圆中方形”问题：其大意为“有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好平方步，从水池边到圆周，每边最大相距 步远，在这个不变图形中，应该能求出正方形的边长和圆的直径．”如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·天津河西·一模）一个矩形，它的长边比短边长6cm，面积为，则这个矩形的周长为______.
4．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是____________.
5．（2023·江苏盐城·模拟预测）一条长的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形，若两个正方形的面积和等于，其中较小正方形的边长为 ．
6．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为_____.
7．（2024·北京·三模）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米，若停车位总占地面积为390平方米，停车场内车道的宽都相等，求车道的宽．
8．（2023·山东东营·中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
题型二 变化率问题
1．（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 ．
4（2024·安徽马鞍山·三模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为__________（精确到0.1%）.
（参考数据：）
5．（2023·湖南郴州·中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
6．（2024·辽宁大连·三模）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
(1)求进馆人次的月平均增长率；
(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳．
题型三 市场营销问题
1．（2024·浙江温州·三模）某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可销售200件．值此父亲节来临之际，该店实行降价促销．经调查发现，这款男士短袖的售价每下降1元，其销售数量就增加20件．当每件男士短袖降价多少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8000元？设每件男士短袖降价x元，可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·黑龙江佳木斯·三模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
3．（2024·上海·模拟预测）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价 元．
4．（2024·山东潍坊·三模）在过去的年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 元．
5．（2024·安徽滁州·三模）2024年3月中国新能源汽车在国家积极政策的鼓励下，居民环保意识日渐增强，新能源汽车的市场非常火爆．某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆.若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价？
6．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）某网店销售台灯，成本为每盏元．销售大数据分析表明：当每盏台灯售价为元时，平均每月售出盏，若售价每降价元，其月销售量就增加盏．为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为盏台灯的情况下，若预计月获利恰好为元，求每盏台灯的售价．
7．（2024九年级下·浙江·专题练习）某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工参加该旅行社旅游，共支付该旅行社旅游费用元，请问：
(1)该单位这次去旅游，员工有没有超过人？
(2)该单位这次共有多少员工去旅游？
题型四 动态几何问题
1．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线匀速移动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．当的面积等于时，运动时间为（ ）
A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定
2．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ）
A． B．或4 C．或 D．
3．（23-24九上·浙江宁波·阶段练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（ ）
A．步 B．步 C．步 D．步
4．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当的面积等于时，运动时间为_______s．
5．（2024·甘肃武威·二模）如图，、、、为矩形的个顶点，，，动点从点出发，沿方向运动，动点同时从点出发，沿方向运动，如果点、的运动速度均为，经过__________秒，、两点之间的距离是.
6．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，一个长为的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为．问：当梯子的顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等？
7．（23-24九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为．
(1)填空：_____，_____；（用含t的代数式表示）
(2)当t为何值时，的长度等于？
(3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
8．（23-24九年级上·河南郑州·期中）测完教学楼的高度，小明和小刚围着校园里的矩形花坛做起了游戏，并探究其中的数学问题．如图，矩形，小明（用点表示）以的速度从顶点出发沿折线向点运动，同时小刚（用点表示）以的速度从顶点出发向点运动，当其中一个同学到达末端停止运动时，另一同学也停止运动．
(1)问小明和小刚走动几秒，使四边形的面积是矩形面积的；
(2)问小明和小刚经过多长时间使得两人之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．
题型五 数字问题
1．（2024·云南昭通·二模）两个相邻奇数的乘积为783，若设较小的奇数为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为（ ）
A．25 B．36 C．25或36 D．或
3．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）有一个两位数，两个数位上数字的和是6，这个两位数是这两个数位上数字的积的3倍，则这个两位数是 ．
4．（23-24九年级上·湖南岳阳）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为 岁．
5．（2024九年级上·全国·专题练习）一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数．
6．（2022·江苏常州·中考真题）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份．
(1)八进制数3746换算成十进制数是_______；
(2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值．
题型六 传播问题
1．（2024·山西太原·三模）某校九年级（1）班在举行元旦联欢会时，班长觉得快要毕业了，决定临时增加一个节目：班里面任何两个人都要拥抱一下．有好事者统计了一下，全班同学共拥抱了780下，你知道九年级（1）班有多少同学吗？如果设九年级（1）有x名同学，根据题意列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·贵州黔东南·一模）某校科技兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，那么全组共同学（ ）
A．12名 B．12名或66名 C．15名 D．33名
3．（2024·重庆·一模）某人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x个人，则可得到方程 ．
4．（2024·江西九江·三模）某生物实验室需培育一批有益菌，现有40个有益菌，每个有益菌每次可分裂成若干个相同数目的有益菌，经过两轮分裂后，有益菌的数量为16000个． 设平均每个有益菌每次可分裂成x个有益菌，根据题意，可列方程： ．
5．（23-24九年级上·重庆永川·阶段练习）某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共31．若设主干长出x个支干，则可列方程是 ．
6．（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）有两人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
7．（2024·广东东莞·三模）作为东莞的城市文化名片之一，篮球已成为不少东莞人生活的一部分．这个五一，我市举行“缤纷运动‘莞’精彩、‘篮’不住”的篮球邀请赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛．
(1)应邀请多少支球队参加比赛？
(2)若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛了多少场？
8．（23-24九年级下·山东威海·阶段练习）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信．
(1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
(2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
1．（2023·辽宁阜新·一模）如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设的长为米，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·山东济南·三模）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．如图，墨涵同学装裱了一幅《雀华秋色图》的手卷，手卷长1000厘米，宽40厘米．引首和拖尾完全相同，其宽度都为100厘米，若隔水的宽度为x 厘米，画心的面积为15200厘米2，根据题意，可列方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·福建厦门·模拟预测）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩余椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意可列方程，其中x表示（ ）
A．剩余椽的数量 B．这批椽的数量 C．剩余椽的运费 D．每株椽的价钱
4．（2024·安徽六安·二模）某企业今年3月份产值为万元，4月份比3月份减少了，5月份比4月份增加了，若这两个月的平均增长率为，则满足的关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·浙江衢州·中考真题）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程： （不必化简）．
7．（23-24九年级上·江西上饶·期末）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为，乙的速度为，乙一直向东走，甲先向南走步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”若设甲乙两人相遇的时间为，则可列方程是 ．
8．（2023·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 尺．
9．（2023·湖南娄底·一模）相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过、、、、、……，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数．若三角数为，则的值为 ．
10．（2024·辽宁朝阳·一模）如图，菱形中，，交于，，，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，若，同时出发，问出发后 s时，的面积为菱形面积的？
11．（2023·浙江金华·中考真题）如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加．
（1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是 ．
（2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是 ．
12．（22-23九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图， cm，OC是一条射线，，一只蚂蚁由A点以1cm/s速度向B点爬行，同时另一只蚂蚁由O点以2cm/s的速度沿OC方向爬行，则 秒钟后，两只蚂蚁所处位置与O点组成的三角形面积为100．
13．（2024·安徽合肥·三模）某农户种植花生，原来花生的亩产量为200千克，出油率为（即每100千克花生可加工成花生油50千克），现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．求新品种花生亩产量的增长率．
(1)这是一个增长率问题，可设所求增长率为，依题意填写下列表格：
亩产量（千克） 出油率（） 出油量（千克）
原来 200 50 100
现在 132
(2)求新品种花生亩产量的增长率．
14．（2023·湖北宜昌·中考真题）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．
(1)求豆沙粽和肉粽的单价；
(2)超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）；
豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额
小欢妈妈 20 30 270
小乐妈妈 30 20 230
①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；
②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为包，包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值．
15．（22-23九年级下·山东淄博·阶段练习）如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离．
(1)如果这艘轮船不改变航向，经过10小时，轮船与台风中心相距多远？它此时是否受到台风影响？
(2)如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？请说明理由；
(3)如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？
(4)假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？
16．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、．设点、运动的时间为．
(1)当__________时，四边形是矩形；
(2)当__________时，四边形是菱形；
(3)是否存在某一时刻使得，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由．
(4)在运动过程中，沿着把翻折，当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在边上．
