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1.4反比例函数与k的几何意义 分层练习
一、单选题
1．（23-24九年级下·云南曲靖·期中）如图，点是反比例函数图象上任意一点，轴于点，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
（第1题） （第2题） （第3题）
2．（2024·云南昆明·三模）如图，点B是反比例函数图象上的一点，过点B分别作轴于点A，轴于点C．若四边形的面积为2，则k的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
3．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，反比例函数经过A、B两点，分别过A、B作x轴的垂线、，垂足分别为C、D，连接，连接交于点E，若的面积为3，则四边形的面积是（ ）
A．2 B． C． D．1
4．（23-24·山西长治·期中）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，若正方形的边长是4，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
（第4题） （第5题） （第6题）
5．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图、点A是第一象限内反比例函数 图象上的一点，轴，垂足为点B，点C在x轴上，的面积是4， 则k 的值等于（ ）
A．4 B．5 C．8 D．9
6．（23-24·山西临汾·期末）如图，是反比例函数的图像上的一点，过点作轴，垂足为，是轴上一点，连接，，若的面积为4，则的值为（ ）
A．4 B． C．8 D．
7．（2024·黑龙江鸡西·模拟预测）如图，的顶点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，点C，D均在x轴上，与y轴交于点E，若，则k的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．9
（第7题） （第8题） （第9题）
8．（2024·山西大同·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的一点，点是轴负半轴上一点，连接上轴正半轴交于点．若，的面积为3，则的值为（ ）
A．12 B．8 C．4 D．
9．（2024·内蒙古·二模）如图．已知双曲线经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若点A的坐标为，则的面积为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．4.5
10．（2024·吉林长春·一模）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，交x轴于点C，连结，取的中点D，连结，则的面积为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
二、填空题
11．（2024·广东惠州·三模）如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为 ．
（第11题） （第12题） （第13题）
12．（23-24·河南南阳·阶段练习）如图，平行四边形的顶点O在坐标原点上，点B在y轴上，点A在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上．若平行四边形的面积为10，则 ．
13．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，矩形、矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B在x轴正半轴上，E、D在y轴正半轴上，顶点C、P在第一象限，M为的中点，反比例函数（，k为常数，）的图像恰好经过点M、P，若阴影部分面积为8，则k的值为 ．
14．（2024·宁夏银川·二模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，反比例函数和的图象分别过顶点，，若，则的值为 ．
三、解答题
15．（2023·山东青岛·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，过点P作轴交反比例函数的图象于点M，作轴交反比例函数的图象于点N，连接．
(1)求k的值；(2)求的面积； (3)连接，直接写出的面积．
16．（23-24九年级下·江西抚州·阶段练习）已知点，点B的横坐标为均在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点A，过点B作轴于D，交反比例函数的图象于点C，连接
(1)当时，求直线AC的解析式；
(2)是否存在一个m，使得，若存在，求出m的值，不存在，说明理由．
17．（2023·宁夏吴忠·模拟预测）如图，直线分别交轴、轴于、两点，交反比例函数的图像于、两点．若，且的面积为．
(1)求的值；
(2)当点的横坐标为时，求的面积．
18．（23-24·江苏苏州·期中）如图，A为反比例函数的图像上一点，轴，垂足为P．
(1)连接，当时，求反比例函数的解析式；
(2)若点在函数的图像上，点先向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得点，点恰好落在函数的图像上，求的值．
(3)点B在直线上，且，过点B作直线轴，交反比例函数的图像于点C，若的面积为4，求k的值．
19．（2024·江苏泰州·二模）定义：如图所示，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若以点P、原点O、垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．
(1)若“美好点”在反比例函数（，且k为常数）的图像上，求k的值；
(2)命题“是美好点”是 命题（填“真”或“假”）
一、单选题
1．（23-24·浙江金华·阶段练习）如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，，与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接．若四边形的面积为6，则（ ）
A．6 B． C．3 D．
2．（2024·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在反比例函数的图象上，连结、，过点A作轴于点C，交于点D．若，的面积为4，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24·吉林长春·期中）如图，点和点是函数的图象上，且点B在点A的右侧，则下列说法中，不正确的是（ ）
A．该函数y与x之间的函数关系式为
B．矩形的面积为6
C．函数在第三象限，且y随x的增大而减小
D．b的取值范围是
4．（2024·吉林白城·一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P，Q，R在函数（常数，）图像上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线，若，且图中阴影部分图形的面积为12，则的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
5．（2024·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，矩形的边在上，．反比例函数的图象经过点B，若阴影部分面积为6，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
二、填空题
6．（2023·浙江温州·二模）如图，点是反比例函数上的点，过作轴，连接交于点，若，且的面积为5，则的值为 .
7．（23-24·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A是第二象限内的点，过点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别是B和C，将矩形对折，使点A与坐标原点O重合，折痕分别与边交于点D、E，点B的对应点为点F．经过点D的双曲线恰好经过折痕的中点．若矩形的面积是，则k的值是 ；点F的坐标是 ．
8．（2024·江苏盐城·二模）如图，点P是反比例函数图像上一点，作PA⊥x轴，PB⊥y轴，垂足分别为A、B，交反比例函数的图像于C、D两点，的面积是，则k的值是 ．
9．（2024·山东烟台·一模）如图，在x轴的正半轴上依次截取，过点，，分别作x轴的垂线与反比例函数（）的图象相交于点，，，得，，，并设其面积分别为，，，以此类推，则的值为 ．
三、解答题
10．（2024·河南洛阳·一模）如图，点A和B在反比例函数的图象上， 轴于点C，且的面积为2，点A的纵坐标为1，与x轴负半轴的夹角为α．
(1)求反比例函数的解析式和点A的坐标；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
(3)过点A作垂足为A，交的平分线于点D，若，直接写出线段的长．
11．（2024·江苏泰州·一模）已知，如图1，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图像上的一个动点，连接并延长交反比例函数的图像于点，过点A作轴于点．
(1)过点作轴，垂足为点，连接．当四边形是平行四边形时，求的值；
(2)连结，若，求的面积；
(3)如图2，过点作，交反比例函数的图像于点，连接．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？若不变，求出的面积（用含有的代数式表示）；若变化，请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
1.4反比例函数与k的几何意义 分层练习
一、单选题
1．（23-24九年级下·云南曲靖·期中）如图，点是反比例函数图象上任意一点，轴于点，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数，掌握知识点：过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得的矩形的面积为，正确理解的几何含义是解题关键．根据的几何含义可得答案.
【详解】解：∵点是反比例函数图象上任意一点，轴于点，
∴，
故选A．
2．（2024·云南昆明·三模）如图，点B是反比例函数图象上的一点，过点B分别作轴于点A，轴于点C．若四边形的面积为2，则k的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】本题考查值的几何意义，根据题意，得到四边形的面积为，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∵双曲线过第二象限，
∴，
∴；
故选B．
3．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，反比例函数经过A、B两点，分别过A、B作x轴的垂线、，垂足分别为C、D，连接，连接交于点E，若的面积为3，则四边形的面积是（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，由的几何意义得，即，即可求解；理解的几何意义“过反比例函数上任意一点作轴（轴）的垂线，则此点、垂足、坐标原点所构成的三角形面积为．”是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
，
，
；
故选：C．
4．（23-24八年级下·山西长治·期中）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，若正方形的边长是4，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】C
【分析】本题考查的是正方形与反比例函数图象的性质，根据正方形与反比例函数中心对称的性质，即可求解．
【详解】解：∵正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，正方形的边长是4，
∴，
∵反比例函数是中心对称图形，
∴．
故选C．
5．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图、点A是第一象限内反比例函数 图象上的一点，轴，垂足为点B，点C在x轴上，的面积是4， 则k 的值等于（ ）
A．4 B．5 C．8 D．9
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，解题关键是利用两平行线间的距离相等得到，再结合反比例函数的几何意义解答．
【详解】解：连结，如图，
∵轴，
∴，
∴，，
∴，
解得：，
∵反比例函数图像在一、三象限，
∴，即
故选D．
6．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，是反比例函数的图像上的一点，过点作轴，垂足为，是轴上一点，连接，，若的面积为4，则的值为（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，掌握反比例函数的图象与性质并能熟练运用数形结合的思想是解答函数问题的关键．如图，连接，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值．
【详解】解：如图，连结．
∵轴，是轴上一点，
∴．
∴，
∵，
∴，得．
∵图象位于第二象限，则，
∴．
故选：D．
7．（2024·黑龙江鸡西·模拟预测）如图，的顶点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，点C，D均在x轴上，与y轴交于点E，若，则k的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．9
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的性质、反比例函数系数k的几何意义，作轴于F，易得矩形的面积等于平行四边形的面积，等于三角形面积的2倍等于16，再利用等于矩形的面积即可求解．
【详解】解：如图，作轴于F，可得矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵反比例函数图象在第一象限，
∴，
故选C．
8．（2024·山西大同·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的一点，点是轴负半轴上一点，连接上轴正半轴交于点．若，的面积为3，则的值为（ ）
A．12 B．8 C．4 D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，根据三角形面积公式和反比例系数k列式可得结论．设，则，由的面积为3即可求解．
【详解】解：作轴于点D，
∵轴，
，
，
，
，
∴，
设，则，
∴，
∴，
故选：A．
9．（2024·内蒙古·二模）如图．已知双曲线经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若点A的坐标为，则的面积为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．4.5
【答案】D
【分析】此题主要考查线段的中点坐标、待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的比例系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的比例系数k的几何意义是解题关键．先根据线段的中点坐标公式得到D点坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k，根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后利用的面积进行计算，进而求出结论．
【详解】解：∵点A的坐标为，点D为的中点，
∴D点坐标为，
∴，即反比例函数解析式为，
∴，
∴的面积，
∵点D为的中点，
∴的面积．
故选：D．
10．（2024·吉林长春·一模）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，交x轴于点C，连结，取的中点D，连结，则的面积为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握反比例函数值的几何意义是关键．
根据反比例函数值的几何意义进行解答即可．
【详解】解：连接，
∵点在反比例函数的图象上，
，
∵点在反比例函数的图象上，
，
，
∵是的中点，
，
故选：D．
二、填空题
11．（2024·广东惠州·三模）如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为 ．
【答案】//
【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解．
【详解】解：延长交轴于点，
∵轴，
∴轴，
∵点A在函数的图象上，
∴，
∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上，
∴，
∴四边形的面积等于，
故答案为：．
12．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，平行四边形的顶点O在坐标原点上，点B在y轴上，点A在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上．若平行四边形的面积为10，则 ．
【答案】
【分析】过点A作轴于点E，过点C作轴于点D，根据平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质得出与的面积相等，与的面积相等，再由反比例函数的几何意义得出，确定，再次利用反比例函数的几何意义即可得出结果．
【详解】解：过点A作轴于点E，过点C作轴于点D，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴与的面积相等，
同理可得与的面积相等，
∵若的面积为10，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
∵在第二象限，
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数的几何意义，平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
13．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，矩形、矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B在x轴正半轴上，E、D在y轴正半轴上，顶点C、P在第一象限，M为的中点，反比例函数（，k为常数，）的图像恰好经过点M、P，若阴影部分面积为8，则k的值为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，中点坐标，矩形的性质，求出矩形的面积是解题的关键；
根据题意，可设出点P、M的坐标，然后利用反比例函数的性质和矩形的性质即可求得k的值．
【详解】解：反比例函数的图象恰好经过点M、P，
设点P的横坐标为a，则纵坐标为，点M的横坐标为b，则纵坐标为，
在矩形和矩形中，轴，轴，
M为的中点，
点C的横坐标为b，则纵坐标为，
A、B在x轴正半轴上，E、D在y轴正半轴上，顶点C、P在第一象限，阴影部分面积为8，
，，，，
阴影面积，
解得：，
故答案为：8.
14．（2024·宁夏银川·二模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，反比例函数和的图象分别过顶点，，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】题考查平行四边形的性质、反比例函数系数的几何意义，过点作轴于点，过点作轴于点，得出四边形是矩形，则利用反比例函数的比例系数的几何意义即可求解．
【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
∴
四边形为平行四边形，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题
15．（2023·山东青岛·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，过点P作轴交反比例函数的图象于点M，作轴交反比例函数的图象于点N，连接．
(1)求k的值；
(2)求的面积；
(3)连接，直接写出的面积．
【答案】(1)6
(2)
(3)
【分析】本题考查反比例函数解析式，反比例函数k的几何意义．掌握反比例函数图象上的任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为k的绝对值是解题关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）延长交y轴、x轴分别为A、B，得到，进而得到，求出即可求解；
（3）根据题意得到，由即可求解．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
k的值为6；
（2）解：如图，延长交y轴、x轴分别为A、B，
∵点
∴，
∵点M、点N在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
的面积为；
（3）解：的面积为．理由：
∵点M、点N在反比例函数的图象上，
∴，
∴
，
的面积是．
16．（23-24九年级下·江西抚州·阶段练习）已知点，点B的横坐标为均在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点A，过点B作轴于D，交反比例函数的图象于点C，连接
(1)当时，求直线AC的解析式；
(2)是否存在一个m，使得，若存在，求出m的值，不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）先求出，坐标，然后用待定系数法求出结果即可；
（2）根据点B的横坐标为，得出，，根据，得出，即，求出即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
∴，
把代入得：，
∴反比例函数的解析式为，
当时，点C的横坐标为2，
∴把代入得：，
∴，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：存在；此时．
∵点B的横坐标为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：，（舍去）．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键．
17．（2023·宁夏吴忠·模拟预测）如图，直线分别交轴、轴于、两点，交反比例函数的图像于、两点．若，且的面积为．
(1)求的值；
(2)当点的横坐标为时，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意求得的面积为，作轴于，证得，即可求得的面积为，从而求得，根据反比例函数系数的几何意义即可求得的值；
（2）由，求得，得到，把代入反比例函数解析式求得的坐标，根据待定系数法求得直线解析式，然后解析式联立，解方程组求得的坐标，最后根据即可求得．
【详解】（1）解：∵，且的面积为，
∴的面积为，
作轴于，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
根据题中所提供图形可知：反比例函数的图像位于二、四象限，
∴，
∴；
（2）∵点的横坐标为，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
把代入，得：，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立方程组，
解得：或，
∴，
∴
∴的面积为．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数系数的几何意义，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式等知识点．解题的关键是：（1）求出的面积；（2）求得点的坐标．
18．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，A为反比例函数的图像上一点，轴，垂足为P．
(1)连接，当时，求反比例函数的解析式；
(2)若点在函数的图像上，点先向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得点，点恰好落在函数的图像上，求的值．
(3)点B在直线上，且，过点B作直线轴，交反比例函数的图像于点C，若的面积为4，求k的值．
【答案】(1)
(2)1
(3)或
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式等知识．熟练掌握反比例函数的几何意义，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式是解题的关键．
（1）根据反比例函数的几何意义求解作答即可；
（2）由题意知，平移后的点坐标为，由点，点在函数的图像上，可得，计算求解即可；
（3）如图2， 设，则，，分当在点左侧时，当在点右侧时两种情况，根据的面积为列等式，计算求解即可．
【详解】（1）解：如图1，
由题意知，，
解得，或（舍去），
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：由题意知，平移后的点坐标为，
∵点在函数的图像上，点恰好落在函数的图像上，
∴，
解得，，
∴的值为1．
（3）解：如图2，
设，则，，
当在点左侧时，，则，
将代入得，，
∴，
解得，；
当在点右侧时，同理可得，，，，
∴，
解得，；
综上所述，k的值为或．
19．（2024·江苏泰州·二模）定义：如图所示，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若以点P、原点O、垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．
(1)若“美好点”在反比例函数（，且k为常数）的图像上，求k的值；
(2)命题“是美好点”是 命题（填“真”或“假”）
【答案】(1)
(2)假
【分析】本题主要考查了新定义，反比例函数与综合．熟练掌握新定义，待定系数法求反比例函数的解析式，是解题的关键．
（1）过点E作轴于点C，作轴于点D，根据“美好点”定义，写出矩形的周长和面积表达式，布列方程，解方程，得到，即得；
（2）根点E是“美好点”，列方程，解方程，判断即可．
【详解】（1）过点E作轴于点C，作轴于点D，
∵是“美好点”，
∴，
解得，
∴，
代入反比例函数，
得，
（2）假设是“美好点”，
则，
∴，矛盾，
∴不是“美好点”，
∴原命题是假命题．
故答案为：假．
一、单选题
1．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，，与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接．若四边形的面积为6，则（ ）
A．6 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的性质以及反比例函数的系数的几何意义，根据矩形的性质以及反比例函数系数的几何意义即可得出结论．
【详解】解：∵、的图象均在第一象限，
∴，，
∵点，均在反比例函数的图象上，
∴，
∵矩形的顶点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
2．（2024·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在反比例函数的图象上，连结、，过点A作轴于点C，交于点D．若，的面积为4，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是反比例函数的的几何意义，平行线分线段成比例，如图，连接，过作轴于，而轴于，证明，设，则，再利用面积列方程求解即可．
【详解】解：如图，连接，过作轴于，而轴于，
∴，而，的面积为4，
∴，，
∴，
设，
∴，
∴
∴，
解得：，
故选：C．
3．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，点和点是函数的图象上，且点B在点A的右侧，则下列说法中，不正确的是（ ）
A．该函数y与x之间的函数关系式为
B．矩形的面积为6
C．函数在第三象限，且y随x的增大而减小
D．b的取值范围是
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数，解题的关键是掌握反比例函数的性质．根据反比例函数图象的性质判断选项的正确性．
【详解】解：A．点是函数的点，
∴，
∴该函数y与x之间的函数关系式为，原说法正确，故该选项不符合题意；
B．∵，，根据k的几何意义可得出矩形的面积为6，原说法正确，故该选项不符合题意；
C．反比例函数分布在第三象限，且y随x的增大而减小，y随x的增大而减小，原说法正确，故该选项不符合题意；
D．点B在点A的右侧，b的取值范围是，原说法错误，故该选项符合题意；
故选：D．
4．（2024·吉林白城·一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P，Q，R在函数（常数，）图像上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线，若，且图中阴影部分图形的面积为12，则的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义和点到坐标轴的距离的几何意义，解题关键熟练掌握反比例函数比例系数k的几何意义和点到坐标轴的距离的几何意义．
根据反比例函数k的几何意义得到：，即可得出结论．
【详解】解：由反比例函数k的几何意义得到：，
∵，
∴，
，
∴，
故选：D．
5．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，矩形的边在上，．反比例函数的图象经过点B，若阴影部分面积为6，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数中k值的几何意义，全等三角形的性质和判定，不规则图形面积，掌握理解k值的几何意义，把不规则图形面积转化为规则图形面积是解题关键．
转化阴影部分面积为的面积，与k值的几何意义结合，根据图象的位置确定k值的正负即可．
【详解】解：设与的交点为Q，
，
设，，
，
四边形和四边形是矩形，
，
，，
．
，
．
阴影部分面积为， ，
，
，
点在反比例函数图像上，且在第一象限，
，
．
故选：D．
二、填空题
6．（2023·浙江温州·二模）如图，点是反比例函数上的点，过作轴，连接交于点，若，且的面积为5，则的值为 .
【答案】20
【分析】本题考查反比例函数的性质，数形结合思想以及运算求解能力，过点A作轴于点E，设，分析可知，结合的面积为5，可得，进而得解．
【详解】解：如图，过点A作轴于点E，
∵轴，轴，
∴，
∵，
∴，则，
∵点A是反比例函数上的点，
∴设，
∴，则，
将代入得：，
解得：，
∴，
∵的面积为5，
∴，整理得，，
解得．
故答案为：20．
7．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A是第二象限内的点，过点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别是B和C，将矩形对折，使点A与坐标原点O重合，折痕分别与边交于点D、E，点B的对应点为点F．经过点D的双曲线恰好经过折痕的中点．若矩形的面积是，则k的值是 ；点F的坐标是 ．
【答案】
【分析】连接交于Q，由折叠性质可得：，，先证明得到，过点Q作轴，证明，得到，即可求出k的值；过点F作轴，可以推出，设，则，根据勾股定理可求出a的值，再利用利用三角形面积法求出即可．
【详解】连接交于Q，
由折叠性质可得：，，
∵四边形是矩形，
∴
∴
∵
∴
∴，即点Q为的中点，
过点Q作轴，
∴
∴
∴
∵四边形是矩形
∴
∵点Q在反比例函数上，
∴；
过点F作轴，
∵点D在反比例函数上
∴
∵
∴
设，则
∴
∴，解得：
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴点F的坐标为.
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形面积公式，正确作出辅助线是解题的关键．
8．（2024·江苏盐城·二模）如图，点P是反比例函数图像上一点，作PA⊥x轴，PB⊥y轴，垂足分别为A、B，交反比例函数的图像于C、D两点，的面积是，则k的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，理解面积与k的关系是解题的关键；
设，可求，，根据的面积是，可得，结合，求出符合题意的k即可．
【详解】解：设，
则，
作轴，交反比例函数的图像于C，
，
，
作轴，交反比例函数的图像于D，
，
的面积是，
，
，
，
，
，或
，
．
9．（2024·山东烟台·一模）如图，在x轴的正半轴上依次截取，过点，，分别作x轴的垂线与反比例函数（）的图象相交于点，，，得，，，并设其面积分别为，，，以此类推，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，利用反比例函数系数k的几何意义求解是解答此题的关键．连接，根据反比例函数的几何性质，可得，又，可得到，，，按此规律，可得．
【详解】解：连接，如图所示，
，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于x轴，
，根据反比例函数的几何性质可得，
，
，
，，，依此规律，可得．
故答案为：．
三、解答题
10．（2024·河南洛阳·一模）如图，点A和B在反比例函数的图象上， 轴于点C，且的面积为2，点A的纵坐标为1，与x轴负半轴的夹角为α．
(1)求反比例函数的解析式和点A的坐标；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
(3)过点A作垂足为A，交的平分线于点D，若，直接写出线段的长．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了反比例函数综合题．熟练掌握反比例函数k的几何性质，尺规作角平分线，相似三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键．
（1）由的面积为2，结合k的几何意义可得反比例函数的解析式，再由A的纵坐标可得A的横坐标；
（2）按照基本作图的要求作的平分线即可；
（3）由勾股定理可求的长，通过证明，可求的长．
【详解】（1）∵轴于点C，且的面积为2，
∴，
∵，
∴，
故反比例函数的解析式为，
∵点A的纵坐标为1，
∴，
∴，
∴；
（2）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交、于点P、Q，
分别以点P、Q为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点M，
作射线，
射线即为所求作；
（3）如图，过点A作轴于H，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
11．（2024·江苏泰州·一模）已知，如图1，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图像上的一个动点，连接并延长交反比例函数的图像于点，过点A作轴于点．
(1)过点作轴，垂足为点，连接．当四边形是平行四边形时，求的值；
(2)连结，若，求的面积；
(3)如图2，过点作，交反比例函数的图像于点，连接．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？若不变，求出的面积（用含有的代数式表示）；若变化，请说明理由．
【答案】(1)1
(2)1
(3)不变，
【分析】（1）设点的坐标为，先证明四边形是平行四边形，则，
因此可得的坐标为，再代入即可求解；
（2）过点作轴于点，如图1，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案；
（3）过点作轴于点，与轴交于点，设点的坐标为，点的坐标为，则，，，证明，由相似三角形的性质得出，解方程得出，由三角形面积公式可得出答案．
【详解】（1）解：设点的坐标为，
∵四边形是平行四边形
，
，
∴四边形是平行四边形
的坐标为
；
（2）解：过点作轴于点，如图1，
轴，
，
，
，
当时，由反比例函数k的几何意义知，，
∴，
即，
而与共高，
；
（3）解：不改变．
理由如下：过点作轴于点，与轴交于点，则，
设点的坐标为，点的坐标为，
则，，，
，，
∴四边形是平行四边形，
，，
，
，
又，
，
∴
，
解得
异号，，
，
，
∴与同底等高
对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积不会发生变化．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
