【湘教版数学九年级上册同步练习】 第四章锐角三角函数检测题（含答案）

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【湘教版数学九年级上册同步练习】
第四章锐角三角函数检测题
一、单选题
1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosB的值是（　　）
A． B． C． D．
2．一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为（　　）
A．1：2 B．：2 C．1： D．：1
3．的值为（　　）
A． B． C．1 D．
4．如图，学校的保管室里，有一架5米长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成角为45°，如果梯子底端O固定不动，顶端靠到对面墙上，此时梯子与地面所成的角为60°，则此保管室的宽度AB为（　　）
A． 米 B． 米
C．3 米 D． 米
5．如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示出的值，正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如果 ，那么锐角 的度数是　 　.
7．计算： 　 　
8．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是　 　m（结果保留根号）
9．计算sin60°cos60°的值为　 　．
10．在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，若∠BPC=∠BAC，tan∠BPC=　 　．
11．在矩形ABCD中，，点E、F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形，连接CE，则　 　．
三、计算题
12．计算：
（1）；
（2）．
13．计算：.
14．根据背景素材，探索解决问题．
测算发射塔的高度
背景素材 某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度（如图1）．他们通过自制的测倾仪（如图2）在，，三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．
经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．
问题解决
任务1 分析规划 选择两个观测位置：点_________和点_________
获取数据 写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．
任务2 推理计算 计算发射塔的图上高度．
任务3 换算高度 楼房实际宽度为米，请通过测量换算发射塔的实际高度．
注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1．
四、解答题
15．如图，等腰三角形ABC的腰长为4，底为6，求它的顶角的度数（结果精确到1°）
16．周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）.小船从P处出发，沿北偏东60°划行200米到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处.在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到米）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）
17．习近平同志在十九大报告中指出，实现中华民族伟大复兴是近代以来中华民族最伟大的梦想．为弘扬和宣传“中国梦”理念，政府决定在某大厦楼顶立宣传牌，如图，宣传牌AB被一钢缆DB固定，BD与地面DC成45°夹角，且DC=3m，在B点上方加固另一条钢缆AD，钢缆AD与地面DC夹角60°．且A、B、C三点在一条直线上，AC⊥CD．求宣传牌AB的高度及加固钢缆AD和BD的长．（结果保留根号）
五、综合题
18．如图，某栋楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物的、两点处测得该塔顶端F的仰角分别为、，矩形建筑物高度．计算该信号发射塔顶端到地面的高度．
19．如图， 的直角顶点 为坐标原点， ，点A在反比例函数 的图象上，点 在反比例函数 的图象上， 交y轴于点C，C为 中点.
（1）求点A的坐标；
（2）求 的面积；
（3）求k的值.
20．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD﹣DO﹣OC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．
（1）求点N落在BD上时t的值；
（2）直接写出点O在正方形PQMN内部时t的取值范围；
（3）当点P在折线AD﹣DO上运动时，求S与t之间的函数关系式；
（4）直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值．
六、实践探究题
21．仁皇阁是一个著名景点，某校九年级研学期间参观了仁皇阁，数学兴趣小组对仁皇阁高度产生了浓厚的兴趣，他们想运用所学知识估算出仁皇阁的高度。
课题 估算仁皇阁高度
测量工具 测量角度的仪器，皮尺，刻度尺等
组别 测量方案示意图 测量方案说明
组1 如图1，先在仁皇阁底部广场的C处用仪器测得阁楼顶端A的仰角为27°，然后从C处向阁楼底部前进10m到达D处，此时在D处测得阁楼顶端A的仰角为30°．
组2 如图2，身高1.5m的组员站在仁皇阁正门边上合影．打印出照片后量得此组员图上高度GH为0.5cm，量得仁皇阁图上高度EF为12.9cm.
（1）任务一 请分别计算两组中测量得到的阁楼高度；（结果保留小数点后一位．参考数据）
（2）任务二 后续经过查证后发现小组2数据更为精确，请你帮小组1分析可能产生误差的原因．（写出一条即可）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
2．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
3．【答案】A
【知识点】求特殊角的三角函数值
4．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
5．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；锐角三角函数的定义
6．【答案】60°
【知识点】求特殊角的三角函数值
7．【答案】0
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
8．【答案】40
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
9．【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值
10．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
11．【答案】3或
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；锐角三角函数的定义
12．【答案】（1）
（2）
【知识点】完全平方公式及运用；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
13．【答案】解：
.
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
14．【答案】规划一：[任务 1]选择点和点；，，，测得图上；[任务 2]；[任务 3]发射塔的实际高度为米；规划二：[任务 1]选择点和点．[任务 2]；[任务 3]发射塔的实际高度为米；
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
15．【答案】解：作AD⊥BC于点D，如图所示，
∵等腰三角形ABC的腰长为4，底为6，
∴AB＝4，BC＝6，
∴BD＝3，
∴sin∠BAD＝ ，
∴∠BAD≈48.6°，
∴∠BAC＝2∠BAD＝97.2°≈97°，
即等腰三角形ABC的顶角是97°.
【知识点】等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义
16．【答案】解：作PD⊥AB于点D，
由已知得PA＝200米，∠APD＝30°，∠B＝37°，
在Rt△PAD中，
由cos30°＝，得PD＝PAcos30°＝200×＝100米，
在Rt△PBD中，由sin37°＝，
得PB＝≈≈288米.
答：小亮与妈妈的距离约为288米.
【知识点】计算器—三角函数；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
17．【答案】解：在Rt△ADC中，
∵∠ADC=60°，
∴∠DAC=30°，
∴tan∠ADC= ，即 ，
在Rt△BDC中，
∵∠BDC=45°，
∴BC=CD=3，
∴ 米；
在Rt△ADC中，
∵∠DAC=30°，
∴cos∠ADC= ，即AD=2DC=6米，
在Rt△BDC中，
∵∠BDC=45°，
∴cos∠BDC= ，即 米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
18．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
19．【答案】（1）解：在 中， 为 的中点
∴
又
∴
设点A的坐标为 ，将其代入
解得 ， （舍）
∴点 的坐标为
故答案为：
（2）解：∵点 的坐标为
∴
∴
∴ 的面积为
又 为 中点
∴
故答案为：
（3）解：如图，过点 作 轴于点M，过点A作 轴于点N.
∵
∴
∵
∴
又
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；反比例函数图象上点的坐标特征
20．【答案】（1）解：当点N落在BD上时，如图1．
∵四边形PQMN是正方形，
∴PN∥QM，PN=PQ=t．
∴△DPN∽△DQB．
∴ ．
∵PN=PQ=PA=t，DP=3﹣t，QB=AB=4，
∴ ．
∴t= ．∴当t= 时，点N落在BD上
（2）解：①如图2，
则有QM=QP=t，MB=4﹣t．
∵四边形PQMN是正方形，∴MN∥DQ．∵点O是DB的中点，∴QM=BM．∴t=4﹣t．∴t=2．②如图3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°．∵AB=4，AD=3，∴DB=5．∵点O是DB的中点，∴DO= ．∴1×t=AD+DO=3+ ．∴t= ．∴当点O在正方形PQMN内部时，t的范围是2＜t＜
（3）解：①当0＜t≤ 时，如图4．
S=S正方形PQMN=PQ2=PA2=t2．
②当 ＜t≤3时，如图5，
∵tan∠ADB= = ，∴ = ．∴PG=4﹣ t．∴GN=PN﹣PG=t﹣（4﹣ t）= ﹣4．∵tan∠NFG=tan∠ADB= ，∴ ．∴NF= GN= （ ﹣4）= t﹣3．
∴S=S正方形PQMN﹣S△GNF
=t2﹣ ×（ ﹣4）×（ t﹣3）=﹣ t2+7t﹣6．③当3＜t≤ 时，如图6，∵四边形PQMN是正方形，四边形ABCD是矩形．∴∠PQM=∠DAB=90°．∴PQ∥AD．∴△BQP∽△BAD．∴ = = ．∵BP=8﹣t，BD=5，BA=4，AD=3，∴ ．∴BQ= ，PQ= ．∴QM=PQ= ．∴BM=BQ﹣QM= ．
∵tan∠ABD= ，
∴FM= BM= ．∴S=S梯形PQMF= （PQ+FM） QM= [ + ] = （8﹣t）2= t2﹣ t+ ．综上所述：当0＜t≤ 时，S=t2．当 ＜t≤3时，S=﹣ t2+7t﹣6．当3＜t≤ 时，S= t2﹣ t+
（4）解：设直线DN与BC交于点E，∵直线DN平分△BCD面积，∴BE=CE= ．①点P在AD上，过点E作EH∥PN交AD于点H，如图7，
则有△DPN∽△DHE．
∴ ．∵PN=PA=t，DP=3﹣t，DH=CE= ，EH=AB=4，∴ ．解得；t= ．
②点P在DO上，连接OE，如图8，
则有OE=2，OE∥DC∥AB∥PN．
∴△DPN∽△DOE．
∴ ．∵DP=t﹣3，DO= ，OE=2，∴PN= （t﹣3）．∵PQ= （8﹣t），PN=PQ，∴ （t﹣3）= （8﹣t）．解得：t= ．
③点P在OC上，设DE与OC交于点S，连接OE，交PQ于点R，如图9，
则有OE=2，OE∥DC．∴△DSC∽△ESO．∴ ．∴SC=2SO．∵OC= ，∴SO= = ．∵PN∥AB∥DC∥OE，∴△SPN∽△SOE．∴ ．∵SP=3+ + ﹣t= ，SO= ，OE=2，∴PN= ．∵PR∥MN∥BC，∴△ORP∽△OEC．∴ ．∵OP=t﹣ ，OC= ，EC= ，∴PR= ．∵QR=BE= ，∴PQ=PR+QR= ．∵PN=PQ，∴ = ．
解得：t= ．
综上所述：当直线DN平分△BCD面积时，t的值为 、 、 ．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
21．【答案】（1）解：组1，，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
解得；
（2）解：组2，设阁楼高度为，
根据题意得，
解得，
任务二：能产生误差的原因：测角仪摆放不平衡（答案不唯一）
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
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